ML 31. Площадь параллелепипеда

Условие задачи:

Найти площадь полной поверхности параллелепипеда три стороны которого образованы векторами [latex] \overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z), \overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z) [/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)[/latex].

Входные данные:

Координаты векторов [latex] \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}[/latex] и [latex] \overrightarrow{c} [/latex].

Выходные данные:

Площадь полной поверхности параллелепипеда.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 -5.6 8.3 -7.1 2 11 -8 2.1 1 3.3 389.289
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 58.7878
3 -9 2 4 -3 5 1 -6 7 8 305.533
4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 6
6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2
7 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2

 

Код

Алгоритм

По определению Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Для решения данной задачи нужно сперва найти площади трёх сторон (параллелограммов) данного параллелепипеда. Воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения:

  • Модуль векторного произведения [latex] [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] [/latex] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах [latex]\overrightarrow { a }[/latex] и [latex]\overrightarrow { b } [/latex]

Рассчитаем площадь каждого параллелограмма по формуле [latex] \left|\left[ \overrightarrow { a } , \overrightarrow { b } \right]\right| =
\left|(a_{ y }b_{ z }-a_{ z }b_{ y }, a_{ z }b_{ x }-a_{ x }b_{ z }, a_{ x }b_{ y }-a_{ y }b_{ x })\right|[/latex].

Найдя все три стороны, получим площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле

[latex] S=2*(S_1+S_2+S_3) [/latex], где [latex] S_n [/latex] — площадь стороны параллелепипеда.

 

Ссылки:

Условие задачи ML31.
Работающая версия программы на ideone.
Геометрические свойства векторного произведения.