КМ 29. Монеты

Задача

Задача из журнала «Квант» №6 1970 г. стр. 28 В.И.Арнольд

[latex]n[/latex] одинаковых монет лежат на столе, образую замкнутую цепочку. Сколько оборотов сделает монета [latex]M[/latex] такого же размера за то время, пока она один раз обкатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке (монета [latex]M[/latex] =2 коп.)?
Как изменится ответ, если монета [latex]M[/latex] будет иметь радиус, отличающийся в [latex]k[/latex] раз от радиуса каждой из монет в цепочке?

Условие
Представлю вам предложенное для данной задачи изображение из самого журнала.

Тесты

Входные данные Выходные данные
 № [latex]n[/latex] [latex]k[/latex]  Количество оборотов
 1  3  1  3
 2  12  1  6
 3  182  1  62.667
4  12  2.22 3.19998
 5  145  2.28101  22
 6  8  0.53884  8

 

Код.

 

Решение.

Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. За то время, пока монета радиуса [latex]k[/latex] прокатится по дуге [latex]\alpha[/latex] неподвижной окружности радиуса 1, она повернется на угол [latex]\alpha(1+1/k)[/latex] следовательно весь угол на который повернётся монета, равен [latex]\alpha+\alpha/k[/latex](в частности, при [latex]k[/latex]=1 этот угол равен 2[latex]\alpha[/latex]).
Теперь найдем сумму дуг,состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета [latex]M[/latex] касалась при качении по цепочке. Если принять центры монет цепочки за точки [latex]O_1[/latex], [latex]O_2[/latex], … , [latex]O_n[/latex], то сумма дуг, лежащих внутри многоугольника [latex]O_1[/latex][latex]O_2[/latex]…[latex]O_n[/latex], равна сумме его внутренних углов, то есть [latex]\pi(n-2)[/latex]. Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна [latex]\pi(n+2)[/latex].Из неё нужно вычесть ещё сумму дуг лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые [latex]M[/latex] не попадает. В каждом из [latex]n[/latex] углублений сумма двух таких дуг равна [latex]2\pi/3[/latex] при [latex]k[/latex]=1 и [latex]2arccos\frac{1}{k+1}[/latex] в общем случае. Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета [latex]M[/latex], равна [latex]\pi(n+2)-2\pi n/3[/latex] (в общем случае [latex]\pi(n+2)-2n\arccos\frac{1}{k+1}[/latex]. Чтобы узнать искомое число оборотов, нужно умножить эту велечину на [latex]2[/latex]( в общем случае на [latex]1+1/k[/latex]) и разделить на 2[latex]\pi[/latex].
А значит ответ ([latex]\frac{n}{3}+2[/latex]) оборота при k=1, и [latex]\frac{k+1}{2k}(n-\frac{2}{\pi}n \arccos\frac{1}{k+1}+2)[/latex] оборота в общем случае.

Ссылка на решение:Ideone

ML 35. Бильярдные шары

Задача. Для аккуратной расстановки шаров в «пирамидку» бильярдисты используют специальный равносторонний треугольник. Вычислите какое наибольшее количество шаров радиуса [latex]r[/latex] можно расставить на бильярдном столе при помощи треугольника со стороной [latex]a[/latex].

Входные данные.

Длина стороны [latex]a[/latex], и радиус шаров [latex]r[/latex].

Выходные данные.

Число [latex]n[/latex], количество шаров.

Изображение.

Бильярдные шары

Тесты.

Входные данные Выходные данные
[latex]a[/latex] [latex]r[/latex] [latex]n[/latex]
1 2 0.33 3
2 5 0.33 19
3 10 1 8
4 10 2 2
5 10 2.88 1
6 10 2.90 0
7 10 3 0

Код.

 

Решение.
Для решения данной задачи нужно понимать что каждый шар занимает пространство вокруг себя которое равняется площади описанного вокруг данного шара треугольника. Чтобы посчитать количество шаров вмещаемых в треугольник надо воспользоваться формулой площади равностороннего треугольника через сторону для большого треугольника [latex]S=\frac{a^2\sqrt3}{4}[/latex] , и соответственно формулой площади треугольника в который вписан круг основываясь на радиус [latex]S1=3\sqrt3x^2[/latex]. В результате деления данных формул получим количество шаров радиуса [latex]r[/latex] которые поместятся в Треугольника со стороной [latex]a[/latex].

Ссылка на условие задания: http://cpp.mazurok.com/mtasks/

Ccылка на решение задачи на сайте Ideon.com http://ideone.com/3LTMnW