e-olymp 1060. Линии

Задача взята с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

В таблице из [latex]n[/latex] строк и [latex]n[/latex] столбцов некоторые клетки заняты шариками, другие свободны. Выбран шарик, который нужно переместить, и место, куда его переместить. Выбранный шарик за один шаг перемещается в соседнюю по горизонтали или вертикали свободную клетку. Требуется выяснить, возможно ли переместить шарик из начальной клетки в заданную, и если возможно, то найти путь из наименьшего количества шагов.

Входные данные

В первой строке находится число [latex]n \left (2\leq n\leq 40 \right )[/latex], в каждой из следующих [latex]n[/latex] строк — по [latex]n[/latex] символов. Символом точки обозначена свободная клетка, латинской заглавной [latex]O[/latex] — шарик, [latex]@[/latex] — исходное положение шарика, который должен двигаться, латинской заглавной [latex]X[/latex] — конечное положение шарика.

Выходные данные

В первой строке выводится [latex]Y[/latex], если движение возможно, или [latex]N[/latex], если нет. Если движение возможно далее следует [latex]n[/latex] строк по [latex]n[/latex] символов — как и на вводе, но [latex]X[/latex], а также все точки на пути заменяются плюсами.

Тесты

Входные данные Выходные данные

Код программы

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи можно использовать волновой алгоритм.  Считывая исходный массив с лабиринтом находим индексы начального и конечного положения шарика. Затем, начиная с начальной позиции проверяем проходимы ли соседние с ней клетки . Если клетка проходима и не была посещена ранее, помещаем ее в очередь и присваиваем соответствующей клетке массива, в котором хранится путь, значение на единицу большее, чем в начальной клетке. Так каждая помеченная клетка становится начальной, порождая шаги в соседние клетки, пока очередь не опустеет.

Затем, если клетка с конечным положением шарика достижима, необходимо восстановить кратчайший путь. Двигаясь от конечной позиции в начальную, на каждом шаге выбираем клетку значение которой на единицу меньше текущего положения, при этом символы в соответствующих клетках исходного лабиринта заменяем на символ [latex]+.[/latex]

e-olymp 2941. Дима и массив

Задача взята с сайта e-olymp.com

Условие задачи

Мама подарила мальчику Диме массив длины [latex]n[/latex]. Массив этот не простой, а особенный. Дима может выбрать два числа [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex] ([latex]1\leq i\leq n[/latex], [latex]-1000\leq d\leq 1000[/latex]), и элемент с индексом [latex]i[/latex] магически становится равным [latex]d[/latex]. Дима играет со своим массивом, а мама время от времени задает ему вопросы — какова сумма всех чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex]? Дима легко справился с этими вопросами, сможете ли Вы?

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа [latex]n[/latex] и [latex]q[/latex] [latex]1\leq n\leq 5\cdot 10^{5},~1\leq q\leq 10^{5}[/latex] — количество элементов в массиве и суммарное количество операций и запросов соответственно. В следующей строке дано [latex]n[/latex] чисел [latex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/latex] [latex]\left ( -1000\leq a_{i}\leq 1000 \right )[/latex] — начальное состояние массива. В следующих [latex]q[/latex] строках заданы операции и запросы. Первый символ в строке может быть [latex]=[/latex] или [latex]?[/latex]. Если строка начинается с [latex]=[/latex], то это операция присваивания. Далее следуют [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex], ограничения на которые описаны в условии. Если строка начинается с [latex]?[/latex], то это запрос. Далее следуют числа [latex]f[/latex] и [latex]t[/latex] [latex]\left (1\leq f,~t\leq n \right )[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса выведите сумму чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex], по одному результату в строке.

Тесты

Входные данные Выходные данные
3 3
1 2 3
? 1 3
= 3 2
? 1 3
6
5
5 3
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 7
? 1 3
15
12
5 6
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 0
? 1 5
= 2 7
? 1 5
? 1 3
15
14
19
10

Код программы

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться структурой данных «дерево отрезков».

Для построения дерева считываем исходный массив, затем запускаем функцию построения от корня дерева. Если длина массива не равна единице или функция была запущена не от листа, то она вызывается рекурсивно от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения. Если функция построения была вызвана от листа, то значения элементов массива записываются в дерево.

Для операции присваивания передаем рекурсивной функции  текущую вершину дерева и она выполняет вызов от одного из своих сыновей, который содержит элемент с данным индексом. Пересчитывает суммы и доходит до листа, которому присваивается новое значение.

Для выполнения запроса суммы также используется рекурсивная функция. Она запускается либо от правого, либо от левого сына текущей вершины, если границы исходного запроса лежат в одном из их отрезков. Либо запускается от обоих сыновей, если границы исходного запроса принадлежат пересечению их отрезков, суммируя результаты двух запросов. Таким образом функция доходит до отрезка, границы которого совпадают с текущим запросом или до листа и возвращает их значение.

Для решения данной задачи были использованы материалы сайта e-maxx.ru.

e-olymp 1342. Периодические строки

Задача взята с сайта e-olymp.com

Условие задачи

Будем говорить, что символьная строка имеет период [latex]k[/latex], если она может быть образована путем объединения одной или нескольких одинаковых строк длиной [latex]k[/latex]. Например, строка «[latex]abcabcabcabc[/latex]» имеет период [latex]3[/latex], так как она может быть образована путём объединения [latex]4[/latex]-х строк «[latex]abc[/latex]». Она также имеет период [latex]6[/latex] (объединение двух строк «[latex]abcabc[/latex]») и [latex]12[/latex] (сама строка «[latex]abcabcabcabc[/latex]»).

Напишите программу определяющую наименьший период заданной строки.

Входные данные

В первой строке задано количество тестовых случаев [latex]N[/latex] во входных данных. Каждый тестовый случай размещен в отдельной строке и содержит не более [latex]80[/latex] символов без пробелов.

Выходные данные

Вывести для каждого тестового случая искомое значение наименьшего периода строки. Разные тестовые случаи должны быть разделены пустой строкой.

Тесты

Входные данные Выходные данные
2
HoHoHo
mama
2

2

2
abcdefg
abcabcabc
7

3

3
b
bbb
bbbbb
1

1

1

Код программы

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com

Решение

Строка длины [latex]s[/latex] может быть образована подстрокой, длина которой не превышает половины длины строки. Следовательно, период лежит в промежутке [latex]\left [ 1;s/2 \right ][/latex], либо равен длине строки. Последовательно разбивая строку на подстроки длиной от [latex]1[/latex] до [latex]s/2[/latex], проверяем равны ли они между собой. Если такие подстроки не нашлись, то период равен длине строки.

A294

С.А.Абрамов. Задачи по программированию.

Задача

Даны действительные числа [latex]r_{1},\ldots,r_{n}[/latex], среди которых заведомо есть как отрицательные, так и не отрицательные. Получить [latex]x_{1}y_{1}+\ldots+x_{s}y_{s}[/latex], где [latex]x_{1},\ldots,x_{p}[/latex] — отрицательные члены последовательности [latex]r_{1},\ldots,r_{n}[/latex], взятые в порядке следования, [latex]y_{1},\ldots,y_{q}[/latex] — неотрицательные члены, взятые в обратном порядке, [latex]s=min\left ( p,q \right )[/latex] .

Тесты

 Входные данные Выходные данные
 -1 1  -1
 -1  0
-1 -1  0
 1 2 -5 10 -2  -54
 4 6 3 4 -8 2 7 5  -40

Код программы

ideone.com

Решение

Считывая числа из входного потока, выполняем проверку и записываем положительные в вектор [latex]y[/latex], отрицательные — в вектор [latex]x[/latex]. Затем вычисляем [latex]s[/latex]. Вычисляем [latex]x_{1}y_{1}+\ldots+x_{s}y_{s}[/latex].

e-olymp 2040. Обычная перестановка.

Задача взята с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

По заданным двум строкам a и b следует вывести такую строку x наибольшей длины, которая одновременно является подстрокой перестановки a и подстрокой перестановки b.

Входные данные

Состоит из нескольких тестов, каждый их которых содержит две строки. То есть строки 1 и 2 — это первый тест, строки 3 и 4 — второй тест и т.д. Каждая строка состоит из символов нижнего регистра, причём первой строкой в паре является a, а второй строкой b. Максимальная длина каждой строки 1000 символов.

Выходные данные

Для каждого теста следует в отдельной строке вывести строку x. Если таких строк несколько, то вывести наименьшую в алфавитном порядке.

Тесты

Входные данные Выходные данные
walking
down
nw
the
street
 et
abcd
efg
abbcdd
badbc
 abbcd

Код программы

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи необходимо проходя по алфавиту, искать есть  ли текущая буква в обеих строках и удалять её. Если буквы нет одновременно в обеих строках, необходимо перейти к следующей букве алфавита.

MLoop 17

Задача

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Входные данные

В одной строке заданы значение переменной [latex]x[/latex] и точность вычислений [latex]\varepsilon[/latex].
[latex]\left | x \right |< 1[/latex]

Выходные данные

Значение функции в точке [latex]x[/latex] .

Тесты

[latex]\varepsilon[/latex] [latex]x[/latex]  [latex]ln(1-x^2)[/latex] Результат
0.001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287435
0.0001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287671
0.01 0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.001 -0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.1 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0
0.01 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0

 

Код программы

ideone.com

 

Решение

Функцию [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] можно представить в виде:
[latex]ln\left ( 1-x^2 \right )= ln\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right ) = ln\left ( 1-x \right )+ln\left ( 1+x \right )[/latex] (по свойствам логарифма).

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора  для натурального логарифма с опорной точкой [latex]x_{0}=0[/latex] (ряд Маклорена). Для функции [latex]ln\left (1+x\right )[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]ln\left (1+x\right )=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}[/latex]

Подставив в формулу [latex]-x[/latex] вместо [latex]x[/latex] , получим:

[latex]ln\left (1-x\right )=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\cdots -\frac{x^{n}}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}[/latex]

Тогда,

[latex]ln\left (1+x\right )+ln\left (1-x\right )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=[/latex] [latex]=\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\frac{x^{n}}{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}\left (\left (-1\right )^{n-1}-1\right )}{n}=[/latex][latex]=-x^{2}+0-\frac{x^{4}}{2}+0-\frac{x^{6}}{3}+0-\cdots[/latex]

Так как при нечетном [latex]n[/latex] члены данного ряда обращаются в ноль, его можно записать в виде:

[latex]-\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{3}-\cdots-\frac{x^{2n+2}}{n+1}[/latex]

Далее необходимо найти рекуррентную формулу для членов данного ряда.

[latex]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{x^{2n+2}}{n+1}\cdot\frac{n-1+1}{x^{2\left ( n-1 \right )+2}}=\frac{x^{2}\cdot n }{n+1}[/latex]

Затем необходимо суммировать до тех пор пока очередное слагаемое не будет меньше заданной точности.