e-olymp 7504. Три прямоугольника

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

На белом листе бумаги в клетку нарисовали три закрашенных прямоугольника так, что их стороны лежат на линиях сетки, а вершины имеют известные целые координаты. Найти общее количество закрашенных клеток.
null

Входные данные

Одно число — количество закрашенных клеток

Выходные данные

В трех строках по четыре целых числа — координаты двух противоположных вершин каждого прямоугольника (значения по модулю не превышают 100).

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 0 0 1 1
1 1 2 2
0 0 2 2
4
2 2 -2 -2 2
-1 -1 1 1
40 40 41 41
17
3 -1 2 2 -1
1 0 4 2
1 0 3 6
21
4 -100 -100 -99 -99
100 100 99 99
-100 -100 100 100
40000
5 3 0 4 1
1 0 3 3
1 0 3 3
7

Решение

Для решения этой задачи создадим структуру «точка» и структуру «прямоугольник». Поскольку для построения прямоугольника достаточно двух точек, структура будет содержать только наименьшую и наибольшую точки прямоугольника. Напишем функции для  построения прямоугольника, ввода прямоугольника, вычисления площади прямоугольника, построения пересечения прямоугольников и вычисления площади всех трех прямоугольников. О последних двух стоит написать подробнее.

Для нахождения пересечения прямоугольников рассмотрим проекции координат прямоугольника на координатные оси $x$ и $y$. В случае, если интервалы пересекаются, началом пересечения будет наибольшее из начал интервалов, а концом —  наименьшее из их концов. В ином же случае дадим точкам по этой координате одинаковые значения, в результате чего площадь такого прямоугольника и всех пересечений, которые он образует будет равна нулю. Координатами точек пересечения прямоугольников будут, следовательно, соответствующие координаты пересечения интервалов на осях.

После этого задача сводится к написанию функции общей площади. То, что решение, в котором мы просто суммируем площадь трех прямоугольников проходит лишь на один тест, наводит на мысль о том, что мы добавляем площадь пересечений несколько раз. Следовательно, от суммы площадей трех прямоугольников отнимем площадь их пересечения друг с другом и добавим площадь пересечения всех трех(поскольку в случае, если существует пересечение трех, то мы лишний раз отнимаем его площадь).

Записав прямоугольники, в динамический массив, передадим его в функцию нахождения общей площади, и выведем результат.

Решение. Многомерные массивы

Для решения с помощью многомерных массивов сдвинем все точки так, чтобы они всегда находились в положительной координатной четверти. Далее, заведем  массив, значения которого будут соответствовать квадрату длины 1 координатной плоскости. Далее, заполним единицами все квадраты,содержащиеся в прямоугольника. После этого проходим все значения массива и прибавляем 1 к выводимому значению, если элемент массива равен единице.

Код задачи на ideone
Еще один код задачи на ideone(многомерные массивы)
Засчитанное решение на e-olymp

e-olymp 914. Модуль максимального

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

Задана послідовність дійсних чисел. Обчислимо їх модулі. Знайдіть максимальне значення серед цих модулей.

Вхідні дані

У першому рядку задано кількість елементів $n\left(n  \leqslant 100  \right)$ у послідовності. У наступному рядку задано $n$ дійсних чисел — елементи послідовності, значення яких не первищують за модулем 100.

Вихідні дані

Виведіть максимальне значення серед цих модулей з 2 десятковими знаками.

Тести

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 0 -1 1 1.00
2 3
-1.1 1.2 -1.3
1.30
3 5
5.16 0 -7.18 3 4.99
7.18
4 4
-75.111 7.5 -5.1 75.110
75.11
5 10
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1
9.00

Решение

Задача сходиться до пошуку максимального елемента послідовності. Зрозуміло, що найменше можливе значення модуля числа — 0. Тому, считуючи дані зі вхідного потоку будемо порівнювати їх зі змінною, що  дорівнює 0. Якщо значення модуля числа більше за змінну — надаємо змінній значення модуля числа. Таким чином після завершення вхідного потоку змінна буде дорівнювати найбільшому числу послідовності за модулем.

  • Зараховане рішення на e-olymp
  • Код задачі на ideone

e-olymp 8654. Целочисленное умножение

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

Даны три целых числа $a, b, c.$ Вычислить значение выражения $a \cdot b \text{ mod } c.$

Входные данные

Три целых положительных числа $a, b, c \left( a, b, c < 2^{63} \right).$

Выходные данные

Вывести значение выражения $ a \cdot b \text{ mod } c.$

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 2 3 2 0
2 11 3 2 1
3 123456789
987654321
17
0
4 5000400000023
23000400400500
100000000070707
68238553233174
5 10000018585
10000000000005
101020304050607080
85850050000993845

Решение

Для решения задачи напишем рекурсивную функцию умножения, основанную на том, что [latex]\displaystyle a\cdot b =\displaystyle[/latex][latex] \begin{cases}\left(a+a\right)\cdot\frac{b}{2} &\text{} b\equiv_{2} 0 \\a+a\cdot\left(b-1\right) &  \text{} b \not \equiv_{2} 0\ \end{cases}.[/latex] Поскольку максимальное значение из условия задачи в два раза меньше максимального числа из 64-битных беззнаковых чисел и[latex]\left(a\cdot b\right)\text{ mod } c =\left(a\text{ mod } с \cdot b\text { mod }c\right)\text{ mod }c,[/latex] мы можем на каждом шагу применять к $a$ и $b$  операцию остатка от деления на $c$ , за счет чего произведение никогда не будет превосходить $2^{64}-1$.

  • Засчитанное решение на e-olymp
  • Код на ideone

e-olymp 2060 Сказка о яблоке

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен $n$ заборами, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». То же ему сказали и второй, и третий сторож и т.д. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?

Входные данные

Количество заборов $n (1 \leqslant n \leqslant 62)$ в саду.

Выходные данные

Вывести количество яблок, которое должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 1 4
2 3 22
3 30 50331646
4 60 3458764513820540926
5 62 13835058055282163710

Решение

Циклы

Последовательность необходимых количеств яблок задается формулой $x_{n+1}=2 \cdot (x_{n}+1);x_{1}=1.$ Мы можем поочередно вычислять элементы последовательности через цикл.

Линейное решение

Преобразуем исходное выражение для $x_{n+1}=2 \cdot x_{n}+2.$ Можно видеть, что каждая следующая итерация увеличивает степень всех двоек входящих в предыдущую на 1 и добавляет 2. Выпишем формулу для $x_{n+m}=2^{m}x_n+2^{m-1}x_n+\cdots+2.$ Можно увидеть, что $x_{n+m}$ содержит слагаемое $2^{m}x$, а так же сумму слагаемых вида $\displaystyle \sum_{i=1}^{m}2^i \displaystyle.$ Если учесть, что $x_{1}=1$, то $\displaystyle x_n=2^{n}+ \sum_{i=1}^{n}2^i \displaystyle=2^{n+1}+2^n-2=2^{n}\cdot(2+1) -2.$ Следовательно формула $n$-го члена — [latex]x_n=3\cdot 2^n-2.[/latex]

Решения на ideone