e-olymp 5274. Фенечка

Задача

Саша находится в процессе творческого поиска. Она хочет сплести ещё одну фенечку, но испытывает сложности при выборе цветов. Сейчас все $n$ ниток, которые она планирует использовать для плетения, выложены в ряд. В процессе размышления Саша время от времени заменяет нитку одного цвета ниткой другого, а также для проверки того, что узор получается тем, который подразумевается, проверяет, что некоторые последовательности цветов ниток равны.

Напишите программу, которая автоматизирует эти проверки.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $k$ — количество ниток в фенечке и запросов к программе, соответственно $(1 \leq n, k \leq 100000).$ Во второй строке записана строка из $n$ символов — цвета ниток в начальном состоянии. Каждый цвет обозначается строчной или прописной буквой латинского алфавита или цифрой. В следующих $k$ строках заданы запросы двух видов:

«* i c» — заменить нитку с номером $i$ на нитку цвета $c$,
«? i j len» — проверить, равны ли последовательности цветов ниток, начинающиеся в позициях $i$ и $j$ и имеющие длину $len$.

Выходные данные

Для каждого запроса второго вида выведите «+», если последовательности равны, или «-« в противном случае.

Тесты

Входные данные Выходные данные
6 3
abccba
? 2 4 2
* 4 a
? 1 4 2
-+
7 4
abacaba
? 1 5 3
* 6 c
? 2 6 2
? 3 5 3
+-+
8 3
atgthcta
? 2 4 3
* 8 h
? 4 7 2
-+
9 3
abbababba
? 1 6 4
* 2 c
? 1 6 4
+-

Код программы

Решение задачи

Наивный алгоритм тратит на выполнение первого запроса $O\left(1\right)$ единиц времени, а на выполнение запросов второго типа — $O\left(n\right)$ единиц времени. Таким образом получаем ассиптотическую временную сложность $O\left(kn\right),$ из-за чего задача не проходит по времени.
Для сравнения строк будем использовать полиномиальный хеш, зависящий от $p$ (в нашем случае $p = 61$), при этом будем отождествлять равенство хешей по модулю $m$ (в нашем случае $m = 2^{64}$) и самих строк (при этом может случиться так, что хеши будут совпадать, а сами строки — нет, но вероятность достаточно мала и мы будем ею пренебрегать). Таким образом мы получаем возможность сравнивать строки за $O\left(1\right)$ единиц времени. Будем использовать для хранения текущего состояния строки (а точнее ее хеша) дерево отрезков, при этом на нижнем ярусе будем хранить хеши каждого отдельного символа строки с учетом его месторасположения в строке. Таким образом получим возможность выполнять запросы и первого, и второго типов за $O\left(\log{n}\right)$ единиц времени, при этом следует учесть, что хеши двух одинаковых подстрок будут отличаться в $p^{j-i} \mod m$ раз, где $i$ — меньший из индексов начала сравниваемых подстрок, $j$ — больший. Таким образом, получаем итоговую асимптотическую сложность алгоритма $O\left(k\log{n}\right)$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Решение на e-olymp
Код решения на Ideone

e-olymp 4493. Трое из Простоквашино 3

Задача

[latex]-[/latex] Печкин, а я научился работать с деревом отрезков.

[latex]-[/latex] Заняться тебе нечем просто, Шарик. Лучше бы помог мне письма разносить.

[latex]-[/latex] Ну, Печкин, я уже даже выполнил задания Дяди Федора и Кота Матроскина, только этот Матроскин не захотел проверять, правильно ли я сделал.

[latex]-[/latex] Ну ладно, давай я проверю, что там надо было сделать?

[latex]-[/latex] У меня был массив чисел и множество запросов – представляющих собой либо запрос на изменение в массиве, либо содержащий число, для которого мне нужно было найти такой промежуток [[latex]l;r[/latex]], что максимум на этом промежутке был бы равен заданному числу. Можешь прочитать предыдущую задачу.

[latex]-[/latex] Разберемся…

Входные данные

В первой строке содержится одно число [latex]N[/latex] ([latex]1≤N≤106[/latex]) – количество элементов в массиве. В следующей строке находится [latex]N[/latex] целых, неотрицательных чисел, не превосходящих 109 – сами элементы массива. Затем следует число [latex]M[/latex] ([latex]1≤M≤105[/latex]) – количество запросов. Затем [latex]М[/latex] строк, первое число в каждой из которых означает тип запроса: если оно равно единице, то далее следует единственное число [latex]x[/latex], и Шарику надо было найти два числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], такие, что максимум на промежутке [[latex]l;r[/latex]], был равен [latex]x[/latex]. Если же тип запроса равен двум, то далее следует два числа [latex]pos[/latex] и [latex]val[/latex] и это значит, что элемент массива, стоящий на позиции [latex]pos[/latex], теперь изменен и он стал равен значению [latex]val[/latex]. Далее для каждого запроса с номером один содержится по строке с двумя числами [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex] – ответы Шарика.

Выходные данные

Для каждого ответа Шарика выведите [latex]»Yes»[/latex], если он ответил правильно и [latex]»No»[/latex], если Шарик ошибся. Заметьте, что хотя в предыдущей задаче было необходимо найти минимальные числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], здесь Печкин проверять этого не будет.

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
1 2 4 3 1
5
1 4
1 5
2 3 5
1 1
1 4
1 3
1 5
5 5
2 4
Yes
No
Yes
No

Код программы

Решение

Учитывая то, что максимум является ассоциативной операцией, для решения задачи
воспользуемся универсальным деревом отрезков.
Так как во входном потоке сперва идут требуемые результаты максимума на
отрезке, затем модификации отрезка и в конце отрезки, для которых необходимо
совпадение требуемого и реального максимума, то не обойтись без
запоминания/меморизации входных данных.
После этого задача упрощается, и для решения остаётся только пересматривать
все события, и сопоставлять требуемые резальтаты максимума на заданных
отрезках с реальными.

Ссылки
Код на ideone.com
Задача с сайта e-olymp.com.
Засчитанное решение.

e-olymp 4496. Приключение Незнайки и его друзей

Задача с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

Все мы помним историю о том, как Незнайка со своими друзьями летали на воздушном шаре путешествовать. Но не все знают, что не все человечки влезли в шар, так как у него была ограниченная грузоподъемность.

В этой задаче Вам необходимо узнать, сколько же человечков улетело путешествовать. Известно, что посадка в шар не является оптимальной, а именно: человечки садятся в шар в той очереди, в которой они стоят, как только кому-то из них не хватает места, он и все оставшиеся в очереди разворачиваются и уходят домой.

Входные данные

В первой строке содержится количество человечков [latex]n (1 ≤ n ≤ { 10 }^{ 6 })[/latex] в цветочном городе. Во второй строке заданы веса каждого из человечков в том порядке, в котором они будут садиться в шар. Все веса натуральные числа и не превышают [latex]{ 10 }^{ 9 }[/latex]. Далее следует количество запросов [latex]m (1 ≤ m ≤ { 10 }^{ 5 })[/latex]. Каждый запрос представляет собой одну строку. Если первое число в строке равно единице, то далее следует еще одно число [latex]v (1 ≤ v ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] – грузоподъемность воздушного шара. Если же оно равно двум, то далее следует два числа [latex]x (1 ≤ x ≤ n)[/latex] и [latex]y (1 ≤ y ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] — это значит, что вес человечка, стоящего на позиции [latex]x[/latex], теперь равен [latex]y[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса с номером один выведите в отдельной строке количество человечков, поместившихся в шар.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 5
1 2 3 4 5
5
1 7
1 3
2 1 5
1 7
1 3
3
2
2
0
2 2
1 2
3
1 4
2 1 10
1 4
2
0
3 2
999999999 1000000000
4
1 999999999
2 1 1000000000
1 999999999
1 1000000000
1
0
1

Код на C++

Код на Java

Описание

В данной задаче требуется эффективно выполнять две операции: изменять значение одного из элементов массива и находить, сколько человечков поместится в шар при заданной грузоподъёмности. Это было реализовано при помощи структуры segment_tree. В функции main сначала вводится значение n и заполняется массив весов человечков weights, после чего по нему выполняется построение дерева отрезков tr. В его вершинах хранятся частичные суммы элементов массива. Да и в целом функции для построения и выполнения запроса модификации у него такие же, как и у обычного дерева отрезков для нахождения суммы на отрезке. Для удобства в массиве weights и в самом дереве используются элементы с первого по [latex]n[/latex]-й, а не с нулевого по [latex]\left( n-1 \right) [/latex]-й. Далее в ходе работы функции main в цикле выполняется обработка запросов. Сначала вводится тип запроса type. Если запрос второго типа, вводятся позиция человечка x, его новый вес y и вызывается метод update, пересчитывающий значения суммы в вершинах, на которые влияет это изменение. Иначе вводится грузоподъемность воздушного шара v и вызывается метод find_numb_of_p, который находит количество человечков, поместившихся в шар. Работает он следующим образом: если выполняется условие tree_l == tree_r, значит, рассматриваемый отрезок состоит из одного элемента, и функция возвращает [latex]1[/latex], если человечек может поместиться в шар, и [latex]0[/latex], если он слишком тяжёлый. Если отрезок больше, вычисляется индекс элемента, находящегося посередине tree_m. Далее, если сумма весов человечков в левом поддереве tree[v*2] больше, чем грузоподъёмность шара, то никто из правого поддерева уже не поместится, и искать следует только в левом поддереве. Иначе в шар следует посадить всех человечков из левого поддерева (их количество равно tree_m - tree_l + 1) и посмотреть, сколько поместится человечков из правого поддерева. При этом необходимо от максимально допустимого веса отнять вес человечков из левого поддерева, уже сидящих в шаре ( max_w-tree[v*2]).

Код на ideone.com. (C++)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (C++)
Код на ideone.com. (Java)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (Java)
При решении задачи был использован материал с сайта e-maxx.ru.

e-olymp 3358. Чёрный ящик

Задача

В черный ящик кладутся листки с написанными на них числами. На каждом листке — ровно одно целое число. Иногда некоторые листки исчезают из ящика. После каждого события (когда в ящик положили листок, или когда из ящика исчез листок), нужно вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в данный момент в ящике. Если таких чисел несколько, выведите наименьшее.

Входные данные

Первая строка содержит количество событий [latex]n[/latex] [latex]\left(1 \le n \le 2 \times 10^{5} \right)[/latex]. Каждая из следующих n строк содержит описание одного события:

  • [latex]+ x[/latex] — положен листок с числом [latex]x[/latex] [latex]\left(1 \le x \le 10^{6} \right)[/latex];
  • [latex]- x[/latex] — исчез листок с числом [latex]x[/latex] (гарантируется, что в ящике был хотя бы один листок с числом [latex]x[/latex]).

Выходные данные

Вывести в точности [latex]n[/latex] строк — по одной для каждого события. Каждая строка должна содержать одно число — ответ к задаче. Если после какого-то события ящик оказался пуст, следует вывести [latex]0[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
3
+ 1
— 1
+ 2
1
0
2
6
+ 1
+ 1000000
— 1
+ 4
+ 4
— 1000000
1
1
1000000
4
4
4
8
+ 71
+ 91
+ 99
+ 71
— 71
— 91
— 71
— 99
71
71
71
71
71
71
99
0

Код программы

Решение задачи

Проанализируем задачу: так как требуется вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в ящике после запроса удаления/добавления, а если таких чисел несколько, то вывести наименьшее, то задачу можно переформулировать следующим образом:

«Даётся последовательность (массив) объектов leaf [latex]x_{1}[/latex], [latex]x_{2}[/latex], [latex]x_{3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{999999}[/latex], [latex]x_{1000000}[/latex], представляющих из себя пару (number, amount)[latex]=x_{i}=\left(i, a_{i}\right) \in {\mathbb{N}_{0}}^{2}[/latex], где первые элементы пар [latex]i[/latex] представляет из себя число/номер листка, а вторые элементы [latex]a_{i}[/latex] — число листков с этим номером. Изначально все элементы пар [latex]a_{i}[/latex] равны нулю (так как изначально ящик пуст). Для запросов первого типа [latex]+ x[/latex] необходимо увеличивать на единицу число [latex]a_{i}[/latex] объекта, у которого номер [latex]i[/latex] равен [latex]x[/latex], а для запросов второго типа — уменьшать. Для каждого запроса необходимо вывести число [latex]j[/latex], удовлетворяющее условию [latex]j = \min\limits_{i \in \mathbb{K}}{i}[/latex], где [latex]\mathbb{K} = \{i \mid a_{i} = \max\limits_{k \in \{1, 2, \ldots, 1000000\}}{a_{k}} \}[/latex]».

Иными словами, число [latex]i[/latex] соответствует некоторому элементу [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex], который в свою очередь определяется операцией такой, что [latex]i[/latex] и [latex]a_{i}[/latex] удовлетворяют приведённым выше условиям. Очевидно, что данная операция является ассоциативной (как объединение минимума и максимума на заданных множествах), а потому для решения задачи воспользуемся универсальным деревом отрезков.

Создадим дерево отрезков box методом read_and_construct из объектов leaf. Так как нумерация листков начинается с единицы, а их число не превышает [latex]10^{6}[/latex], зададим размер базы дерева отрезков [latex]10^{6}+1[/latex], добавив неё элемент с индексом [latex]0[/latex]. Модифицируем метод read_and_construct таким образом, чтобы в функцию-препроцессор передавался номер элемента [latex]i[/latex], дабы была возможность задавать элементам [latex]x_{i}[/latex] их первоначальные значения [latex]\left(i, 0\right)[/latex]. Вышеупомянутую операцию назовём max_leafs и определим таким образом, чтобы она принимала два аргумента [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex] и [latex]x_{j} = \left(j, a_{j}\right)[/latex] и возвращала тот из них, у которого значение [latex]a[/latex] является большим, а в случае равенства этих значений — аргумент с меньшим индексом. Нейтральным элементом относительно данной операции будет, очевидно, пара [latex]\left(+\infty, 0\right)[/latex], но в силу того, что номера элементов не превышают [latex]10^6[/latex], вместо неё мы будем пользоваться парой [latex]\left(2 \times 10^{6}, 0\right)[/latex].

Далее при запросах вида [latex]+ x[/latex] будем увеличивать соответствующее значение [latex]a_{x}[/latex] пары [latex]\left(x, a_{x}\right)[/latex] на единицу, а при запросах вида [latex]- x[/latex] — уменьшать. Для обоих запросов будем выводить номер заданного листка, который удовлетворяет приведённым в задаче условиям, с использованием метода result_on_segment на всём отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex]. Ответом для каждого запроса будет значение number пары, которую вернёт метод.

Примечание: ситуация когда ящик становится пустым нигде не обрабатывается, но в силу того, что мы определили массив на отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex] вместо [latex]\left[1, 10^{6}\right][/latex] в нём всегда есть пара [latex]\left(0, 0\right)[/latex] (листки с номером [latex]0[/latex], число (значение [latex]b[/latex]) которых всегда равно [latex]0[/latex] в силу того, что листки с номером [latex]0[/latex] в ящик не добавляются). Так как определённая нами операция всегда возвращает минимальный номер листка, число которого максимально, то в случае, когда ящик пуст (т.е. значения всех [latex]a_{i} = 0, i = 0, 1, \ldots, 10^{6}[/latex]) будет выводится номер листка [latex]0[/latex]. Этот побочный эффект данного нами определения массива решает эту ситуацию и завершает решение задачи.

Ссылки

Универсальное дерево отрезков

Некоторые теоретические сведения

Обобщённое условие задач на дерево отрезков, как правило, выглядит так:
«Пусть дан моноид [latex]\left(\mathbb{G}, \circ\right)[/latex], где [latex]\mathbb{G}[/latex] — некоторое непустое множество, [latex]\circ[/latex] — ассоциативная бинарная алгебраическая операция на этом множестве, имеющая нейтральный элемент, [latex]A[/latex] — последовательность (массив) элементов из [latex]\mathbb{G}[/latex], содержащая [latex]n[/latex] элементов ([latex]n \in \mathbb{N}[/latex]; с математической точки зрения [latex]A[/latex] — вектор, построенный из элементов [latex]\mathbb{G}[/latex], или [latex]А = \left( x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1} \right) \in \mathbb{G}^{n}[/latex]).
Даётся [latex]m[/latex] ([latex]m \in \mathbb{N}[/latex]) запросов двух типов:
1) вычислить значение выражения [latex]x_{i} \circ x_{i+1} \circ \ldots \circ x_{j-1} \circ x_{j}[/latex] с заданными [latex]i[/latex], [latex]j[/latex] ([latex]0 \le i \le j \le n-1[/latex], [latex]i, j \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex]) и вывести его;
2) заменить значение элемента с индексом [latex]k[/latex] на [latex]y[/latex] ([latex]k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex], [latex]k \le n-1[/latex], [latex]y \in \mathbb{G}[/latex]).»

Как правило, человек, впервые увидевший задачу подобного рода, решает её следующим образом: для запросов первого типа (далее — запросы значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex]) создаётся вспомогательная переменная, изначально равная нейтральному элементу моноида (к примеру, если [latex]\left( \mathbb{G}, \circ \right) = \left( \mathbb{Z}, + \right)[/latex] то нейтральным элементом относительно [latex]+[/latex] является [latex]0[/latex]), и запускается цикл на заданном отрезке, который «прибавляет» к ней новые «слагаемые», а обработка запросов из пункта 2 реализуется через простое присваивание элементу массива с заданным индексом [latex]i[/latex] значения [latex]y[/latex]. Таким образом вычислительная сложность запросов замены составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], а запросов поиска значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex] в лучшем случае составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], когда [latex]i = j[/latex], а в худшем [latex]O\left(n\right)[/latex], когда [latex]i = 0[/latex], [latex]j = n-1[/latex].

Дерево отрезковструктура данных, которая позволяет сбалансировать операции замены и вычисления значения на заданном отрезке до вычислительной сложности [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex] и значительно улучшить общую сложность программы с [latex]O\left(n+n\cdot m\right) = O\left(n\cdot m\right)[/latex] до [latex]O\left(n+m\cdot\log_{2}{n}\right)[/latex].

Определение: массив/последовательность элементов/вектор, над которым построено дерево отрезков, называется базой дерева или просто базой, а число её элементов — её размерностью.

Задача 1: единичная модификация

Написать класс «дерево отрезков», применимый к любой задаче на моноиде, в которой присутствуют запросы замены элемента и результата операции на отрезке,
и таблицу его базовых функций и параметров.

Код класса


Описание класса

Далее [latex]n[/latex] — размерность базы дерева.

Название объекта Описание
Параметр
TYPE Тип объектов дерева, над которыми будут проводится вычисления.
Внутренние объекты
SegmentTree Массив, хранящий в себе дерево отрезков.
base_capacity Переменная, хранящая округлённую к ближайшей большей степени двойки размерность базы дерева отрезков.
g Указатель на функцию, которая представляет из себя ассоциативную бинарную операцию. Формально определяется как функция/операция.
neutral Нейтральный элемент относительно бинарной операции g.
Методы класса
construct

Аргументы:

  1. Адрес начала полуинтервала [latex]a[/latex];
  2. Адрес конца полуинтервала [latex]b[/latex];
  3. Ассоциативная бинарная операция f;
  4. Нейтральный элемент относительно f.

Генерирует базу на основе полуинтервала [latex]\left[a; b\right)[/latex], копируя его элементы внутрь дерева, и строит на основе этой базы дерево отрезков.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

read_and_construct Аргументы:

  1. Размер базы дерева;
  2. Функция-препроцессор;
  3. Ассоциативная бинарная операция f;
  4. Нейтральный элемент относительно f.

Генерирует базу на основе элементов, возвращаемых функцией-препроцессором, и строит на их основе дерево отрезков.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

assign Аргументы:

  1. Индекс элемента;
  2. Новое значение элемента.

Заменяет значение элемента с заданным индексом на новое.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

result_on_segment Аргументы:

  1. Индекс левого конца отрезка;
  2. Индекс правого конца отрезка.

Возвращает результат функции на заданном отрезке.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

Инструкция по применению

Прежде всего, код универсального дерева отрезков необходимо скопировать в исходную программу.

Построение:

  • Создать тип объектов (структуру данных), который будет использоваться в дереве для вычислений; (в зависимости от задачи. Вполне может быть, что необходимый для решения задачи класс уже создан. Например — int или double.)
  • Инициализировать дерево отрезков, передав классу segments_tree в качестве параметра тип объектов, над которыми будут проводиться вычисления, и задав дереву имя. (инициализация класса segments_tree происходит аналогично инициализации класса vector)
  • Построить дерево отрезков на основе заданных элементов при помощи метода construct или read_and_construct, передав методу соответствующие параметры (упомянутые в таблице выше);

Далее для вычисления результатов на отрезках и модификаций элементов с заданным индексом использовать методы result_on_segment и assign соответственно.

Пример использования

Примечание: условие и альтернативное решение приведённой ниже задачи находится по этой ссылке.

Решение задачи №4082 на www.e-olymp.com

Так как в задаче необходимо выводить знак или произведения на заданных отрезках (либо нуль), то очевидно, что сами числа не интересуют нас. Тогда каждое из них можно представить в виде пары (zero, plus)[latex]= \left(a, b\right) \in \mathbb{B}^{2}[/latex] (где [latex]\mathbb{B}[/latex] — булево множество), где первый элемент пар [latex]a[/latex] будет характеризовать равенство числа нулю, а [latex]b[/latex] — его положительность. Назовём структуру данных пар такого типа number_sign. Функция make_number_sign будет преобразовывать числа типа short в number_sign. Затем определим для этой структуры функцию умножения prod формулой prod(number_sign a, number_sign b)[latex]=[/latex] (a.zero|b.zero, !(a.plus^b.plus));. В первой части формулы используется дизъюнкция, так как произведение нуля и произвольного числа всегда должно возвращать нуль, а во второй части — эквиваленция, так как результат произведения является отрицательным, если оба аргумента различны по знаку.

Затем, предварительно считав размер базы, конструируем дерево отрезков методом read_and_construct, передавая ему число элементов базы, анонимную функцию-препроцессор, которая считывает элементы базы из входного потока и которая преобразует их в тип данных number_sign, функцию произведения prod и её нейтральный элемент number_sign(), являющийся парой [latex]\left(0, 1\right)[/latex], который по сути представляет из себя число [latex]+1[/latex] (нейтральный элемент умножения).

Остальная часть решения требует только замены старых элементов новыми и вычислений результатов на отрезках, для чего есть готовые методы класса.

Фрагмент кода


Задача 2

Дополнить класс «дерево отрезков» из первой задачи таким образом, чтобы для базы дерева были реализованы:

  • параметры «вместимость» и «размер»;
  • функции добавления нового элемента в базу;
  • функции, возвращающие размер базы и вместимость дерева;
  • функция изменения размера базы.

Написать таблицу новых функций и параметров.

Код класса

Описание дополнительных объектов класса

Название объекта Описание
Новый внутренний объект
base_size Переменная, хранящая размерность базы дерева отрезков.
Новые методы класса
begin

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает адрес начала базы.
Вычислительная сложность: константа.

end Аргументы: отсутствуют.
Возвращает адрес конца базы.
Вычислительная сложность: константа.
push_back Аргумент: значение нового элемента базы.
Добавляет новый элемент в конец базы.
Вычислительная сложность: если база заполнена, то [latex]O\left(n\right)[/latex], иначе — [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

pop_back

Аргументы: отсутствуют.
Удаляет элемент в конце базы.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

insert

Аргументы:

  1. Индекс нового элемента;
  2. Значение нового элемента.

Добавляет на заданную позицию базы новый элемент с заданным значением.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

erase

Аргумент: индекс удаляемого элемента.
Удаляет из базы элемент с заданным индексом.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

size

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает размерность базы дерева.
Вычислительная сложность: константа.

capacity

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает размерность базы дерева, округлённую к ближайшей большей степени двойки. Позволяет оценить число неиспользованных ячеек, на которые уже выделена память.
Вычислительная сложность: константа.

resize

Аргумент: новый размер базы.
Изменяет размер базы дерева, и преобразовывает незадействованные элементы в нейтральные
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex], если новый размер базы превысил вместимость дерева или является меньше, чем старый, и константа в противном случае.

Ссылки

Просто RSQ

Задача RSQ (Range Sum Query). Вам дан массив, необходимо отвечать на запросы получения суммы на отрезке и изменение одного элемента массива.

Ссылка на задачу на codeforces.com.

Имя входного файла: rsq.in
Имя выходного файла: rsq.out
Ограничение по памяти: 2 секунды
Ограничение по времени: 256 мегабайт

Формат входного файла

Входной файл в первой строке содержит два числа [latex]n[/latex] [latex]\left(1 \le n \le 10^{5} \right)[/latex] — размер массива и [latex]m[/latex] [latex]\left(1 \le m \le 10^{5} \right)[/latex] — количество запросов. Во второй строке задано начальное состояние массива [latex]a_{1}[/latex], [latex]a_{2}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]a_{n}[/latex] [latex]\left( -10^{5} \le a_{i} \le 10^{5} \right)[/latex].

Далее идёт [latex]m[/latex] строк с запросами вида [latex]t[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex] [latex]\left( 0 \le t \le 1 \right)[/latex]. Если [latex]t = 0[/latex], тогда на запрос нужно вывести сумму элементов массива с индексами от [latex]x[/latex] до [latex]y[/latex] (в данном случае [latex]1 \le x \le y \le n[/latex]). Если [latex]t = 1[/latex], тогда надо присвоить элементу массива с индексом [latex]x[/latex] значение [latex]y[/latex] (в этом случае [latex]1 \le x \le n[/latex], [latex]-10^{5} \le y \le 10^{5}[/latex]).

Формат выходного файла

На каждый запрос суммы отрезка выведите одно число в новой строке — запрашиваемая сумма.

Примеры

rsq.in rsq.out
5 3
1 2 3 4 5
0 1 5
1 1 -14
0 1 5
15
0
8 2
7 3 -10 4 1 2 5 6
0 2 4
0 5 7
-3
8

Код программы

Решение задачи

Основная идея приведённого выше решения этой задачи заключается в оптимизации обработки запросов суммы построением дерева отрезков.
Сохраним сумму всех элементов массива в переменной sum. Теперь, если нам дан запрос суммы на отрезке [latex]\left[ x; y \right][/latex], то если [latex]y — x > \frac{n}{2}[/latex] (то есть если данный отрезок содержит больше элементов, чем половина всего отрезка) то считаем сумму элементов на отрезке [latex]\left[ 1; x-1 \right] \cup \left[ y+1; n \right] = \left[ 1; n \right] \setminus \left[ x; y \right][/latex] и отнимаем от суммы всех элементов, иначе (если [latex]y — x \le \frac{n}{2}[/latex], то) просто считаем сумму элементов на отрезке [latex]\left[ x; y \right][/latex]. Если же поступает запрос на замену значения элемента, то вычитаем из sum старое значение и прибавляем новое.

Таким образом, максимальная сложность запросов суммы (при простом подходе к задаче) уменьшается вдвое.

Ссылки

e-olymp 4482. В стране невыученных уроков 2

Задача

Теперь у Вити есть программа, которая помогает ему быстро находить НОД многих чисел. Поэтому стражи решили изменить правила: теперь Витя должен найти наибольший общий делитель (НОД) чисел на промежутке [l; r], а стражи – наименьшее общее кратное (НОК), у кого получится число меньше, тот и выиграет.

Входные данные

Первая строка содержит количество элементов в массивеn (1n106). Во второй строке находится n чисел – элементы ai (1ai109) массива. В третьей строке находится количество запросовm (1m 105). Далее в m строках находится по три числа q, l, r (1lrn). Если q = 1, требуется определить победителя для промежутка [l; r], если q = 2, то нужно заменить элемент в позиции l на число r.

Выходные данные

Для каждого запроса с номером 1 в отдельной строке выведите строку «wins«, если Витя выиграл, строку «loser«, если он проиграл и «draw«, если была ничья.

Решение

В данной задаче нам нужно реализовать дерево отрезков, но поменять функцию которую определяет значение в узлах. Прочитав условие можно понять, что ответ «loser» мы не выведем никогда, так как НОД не может быть больше НОК. Тогда остается определить когда выводить «wins» или «draw». НОД и НОК некоторого количества чисел равны тогда и только тогда, когда все числы для которых мы считаем НОД и НОК равны между собой. Поэтому ассоциативной функцией для построения дерева выберем функцию равенства, если числа равны возвращаем само число, иначе 0. Тогда для ответа на вопрос задачи просто следует узнать что находится в соответсвующем узле.
Если это 0, то НОК больше НОД, иначе они равны и мы выведем «draw».

Код

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 4 6 10 8
6
1 1 5
1 2 3
2 5 15
2 3 10
1 3 5
1 1 1
wins
wins
wins
draw
5
7 7 7 7 7
4
1 1 5
2 2 1
1 1 5
1 3 5
draw
wins
draw

Задача взята отсюда.

Решенная задача на e-olymp.

Код программы.

 

e-olymp 4481. В стране невыученных уроков

Задача

Витя попал в страну невыученных уроков. Для того, чтобы вернуться домой ему нужно выполнить множество заданий. В этой задаче он должен выиграть у стражей в НОД-игру. Правила этой игры очень простые: есть массив натуральных чисел, после чего игроки выбирают два числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], и им надо посчитать наибольший общий делитель (НОД) всех элементов в массиве с индексами от [latex]l[/latex] до [latex]r[/latex] включительно. Кто быстрее посчитает, тот и выиграл. Чтобы избежать нечестных игр, они иногда заменяют некоторые числа в массиве на другие.

Витя очень хочет домой, помогите ему в этом, для чего напишите программу, которая будет очень быстро считать НОД на заданном промежутке.

Входные данные

Первая строка содержит количество элементов [latex]n[/latex] [latex](1\leq n\leq 10^5)[/latex] в массиве. Во второй строке находится [latex]n[/latex] чисел – элементы [latex]a_i[/latex] [latex](1\leq a_i\leq 10^9)[/latex] массива. В третьей строке находится количество запросов [latex]m[/latex] [latex](1\leq m\leq 10^5)[/latex]. Далее в [latex]m[/latex] строках находятся по три числа [latex]q[/latex], [latex]l[/latex], [latex]r[/latex] [latex](1\leq l\leq r\leq n)[/latex]. Если [latex]q=1[/latex], требуется посчитать НОД элементов на промежутке [latex][l,r][/latex], если [latex]q=2[/latex], то надо заменить элемент в позиции [latex]l[/latex] на число [latex]r[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса с номером [latex]l[/latex] в отдельной строке выведите ответ на запрос.

Тесты

Входные данные: Выходные данные:
5
2 4 6 10 8
6
1 1 5
1 2 3
2 5 15
2 3 10
1 3 5
1 1 5
2
2
5
1

Код программы

Алгоритм решения

Данная задача решена с помощью структуры данных «дерево отрезков». В каждой вершине дерева храним НОД всех чисел на соответствующем отрезке массива. Функции, отвечающие за построение самого дерева отрезков, нахождение  НОД на отрезке и запрос на модификацию элемента являются рекурсивными.  Дерево строим следующим образом: листьями данного дерева будут сами элементы исходного массива, а значения элементов, находящихся на уровень выше, будут представлять собой НОД двух соседних листов. Таким же образом считаем значения вершин следующего уровня и т.д. Чтобы найти НОД на заданном отрезке рассматриваем случаи расположения данного отрезка. Он может полностью принадлежать одному потомку, а может быть разбит между правым и левым потомками. В первом случае функцию запускаем от одного потомка и получаем требуемое, во втором случае функцию запускаем от двух потомков и находим от полученных результатов НОД. При выполнении запроса на модификацию запускаем функцию от корня, спускаемся до требуемого элемента, изменяем его, и поднимаемся обратно к корню, модифицируя значения вершин, для которых данный элемент является подотрезком.

В самой задаче, в зависимости от требуемого, в цикле находим НОД на заданном отрезке или выполняем модификацию элемента.

Для получения подробной информации о структуре данных «Дерево отрезков» можно перейти по данной ссылке
Ссылка на засчитанное решение на e-olymp
Ссылка на условие задачи
Ссылка на решение задачи на ideone.com

e-olymp 4082. Произведение на отрезке

Условие задачи

Это нормально чувствовать себя взволнованным и напряженным за день до олимпиады по программированию. Чтобы расслабиться, вы пошли выпить со своими друзьями в соседний паб. Для сохранения остроты ума до следующего дня, Вы решили сыграть в следующую игру. Для начала Ваши друзья написали последовательность [latex] n [/latex] целых чисел [latex] x_{1}, x_{2},\cdots , x_{n} [/latex]. Потом следует  [latex] k [/latex] раундов, на каждом из которых выполняется одна из следующих команд:

  • команда изменения, когда необходимо изменить одно значение в последовательности;
  • команда умножения, когда по заданным значениям [latex] i [/latex] и [latex] j [/latex] необходимо определить, является ли произведение [latex] x_{i}\cdot x_{i+1} \cdot \; \; \cdots \; \; \cdot x_{j-1} \cdot x_{j} [/latex] положительным, отрицательным или равным нулю.

Так как Вы находитесь в пабе, то штрафом за неправильный ответ будет употребление дополнительной пинты пива. Вы беспокоитесь, что это может негативно повлиять на Вас при участии в конкурсе на следующий день, и у Вас нет желания проверять на корректность теорию пика Баллмера. К счастью, друзья разрешили Вам пользоваться ноутбуком. Поскольку Вы больше доверяете Вашим способностям программировать, нежели математике, то было решено написать программу, которая поможет сыграть в игру.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких строк. Первая строка каждого теста содержит два числа [latex] n [/latex]  и [latex] k [/latex]   ([latex] 1\leq n,k\leq 10^{5}[/latex]) — количество элементов в последовательности и число раундов в игре. Вторая строка содержит [latex] n [/latex] целых чисел [latex] x_{i} [/latex] — начальные значения последовательности ([latex] -100\leq x_{i}\leq 100[/latex] для [latex]i=1,2, \cdots ,n[/latex]). Каждая из следующих [latex] k [/latex]  строк описывает команду, начинающуюся заглавной буквой  [latex] C [/latex] или [latex] C [/latex]. Если это буква [latex] C [/latex], то строка содержит команду замены, за буквой следуют два числа [latex] i [/latex] и [latex] v [/latex], указывающих на то что [latex] x_{i} [/latex] необходимо заменить на [latex] v [/latex] ([latex] 1\leq i\leq n[/latex] и [latex]-100\leq v\leq 100[/latex]). Если это буква [latex] P [/latex], то строка задает команду умножения, за буквой следуют два числа [latex] i [/latex] и [latex] j [/latex] — необходимо вычислить произведение от [latex] x_{i} [/latex] до [latex] x_{i} [/latex] включительно ([latex] 1\leq i\leq j\leq n [/latex]) . Каждый тест содержит как минимум одну команду умножения.

Выходные данные

Для каждого теста вывести одну строку, содержащую ответы на все команды умножения. [latex] i [/latex]-ый символ строки является результатом [latex] i [/latex]-ой команды умножения. Если произведение положительно, то вывести символ [latex] + [/latex] (плюс); если произведение отрицательно, то вывести [latex] — [/latex] (минус); если произведение равно нулю, то вывести [latex] 0 [/latex] (ноль).

Тесты

Входные данные Выходные данные
4 6

-2 6 0 -1

C 1 10

P 1 4

C 3 7

P 2 2

C 4 -5

P 1 4

5 9

1 5 -2 4 3

P 1 2

P 1 5

C 4 -5

P 1 5

P 4 5

C 3 0

P 1 5

C 4 -5

C 4 -5

0+-

+-+-0

5 5

10 -2 0 5 1

C 1 0

P 1 4

C 2 7

P 1 1

C 2 0

00
6 4

0 20 0 30 0 -10

P 2 2

P 2 3

P 3 6

P 2 6

4 3

0 -1 -2 0

P 2 3

C 1 9

P 1 2

3 3

5 2 0

C 1 7

C 3 0

C 1 0

6 5

100 10 55 11 0 -33

P 1 4

C 5 6

C 3 72

C 5 -20

P 5 6

+000

+-

 

++

Код программы

Решение

Данная задача решается при помощи стандартного алгоритма по теме «Дерево отрезков» (данный алгоритм можно посмотреть на сайте e-maxx). Следовательно, при построении дерева сначала считывается массив, а после выполняется построение дерева (от корня). В том случае, если функция, строящая дерево, вызывалась от листа,  все значения элементов массива записываются в дерево как [latex]1[/latex], если элемент больше нуля, если меньше нуля, то записывается как [latex]-1[/latex], а в случае равенства элемента нулю, он записывается [latex]0[/latex] (нулём).  В ином случае (если функция вызывалась не от листа), она начинает вызываться рекурсивно от каждого из двух сыновей и перемножает вычесленные значения.

Для выполнения функции изменения элемента ей (функции) передаётся текущая вершина. Затем выполняется вызов из сына, сожержащего элемент с данным номером. Таким образом процесс доходит до листа, которому и присваевается значение. При чём, аналогично построению дерева, элементы записываются как [latex]1[/latex],[latex]-1[/latex] или же [latex]0[/latex].

Для выполнения команды умножения проверяется интервал запроса. В том случае, если они равны интервалам отрезка, возвращается значение элемента (вершины) с соответствующим индексом. Иначе, вызывается рекурсивная функция, которая запускается  от правого, если границы запроса лежать в правом отрезке, или от левого сына текущей вершины, если, соответственно, границы исходного запроса лежат в левом отрезке. Рекурсивная функция перемножает полученные результаты в том случае, если она запускает и от левого, и от правого сыновей (т.е. интервал запроса принадлежит пересечению интервалов отрезка).

Далее  (в программе) идёт процесс построения дерева и выполнение действий, удовлетворяющих команды, описанные в уловии задачи.

Ссылки

  • Рабочий код на Ideone.com
  • Засчитанное решение на e-olymp.com
  • При ришении данной задачи был использован материал по структурам данных «дерево отрезков» с сайта e-maxx.ru
  • Задача взята с сайта e-olymp.com

e-olymp 2941. Дима и массив

Задача взята с сайта e-olymp.com

Условие задачи

Мама подарила мальчику Диме массив длины [latex]n[/latex]. Массив этот не простой, а особенный. Дима может выбрать два числа [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex] ([latex]1\leq i\leq n[/latex], [latex]-1000\leq d\leq 1000[/latex]), и элемент с индексом [latex]i[/latex] магически становится равным [latex]d[/latex]. Дима играет со своим массивом, а мама время от времени задает ему вопросы — какова сумма всех чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex]? Дима легко справился с этими вопросами, сможете ли Вы?

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа [latex]n[/latex] и [latex]q[/latex] [latex]1\leq n\leq 5\cdot 10^{5},~1\leq q\leq 10^{5}[/latex] — количество элементов в массиве и суммарное количество операций и запросов соответственно. В следующей строке дано [latex]n[/latex] чисел [latex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/latex] [latex]\left ( -1000\leq a_{i}\leq 1000 \right )[/latex] — начальное состояние массива. В следующих [latex]q[/latex] строках заданы операции и запросы. Первый символ в строке может быть [latex]=[/latex] или [latex]?[/latex]. Если строка начинается с [latex]=[/latex], то это операция присваивания. Далее следуют [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex], ограничения на которые описаны в условии. Если строка начинается с [latex]?[/latex], то это запрос. Далее следуют числа [latex]f[/latex] и [latex]t[/latex] [latex]\left (1\leq f,~t\leq n \right )[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса выведите сумму чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex], по одному результату в строке.

Тесты

Входные данные Выходные данные
3 3
1 2 3
? 1 3
= 3 2
? 1 3
6
5
5 3
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 7
? 1 3
15
12
5 6
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 0
? 1 5
= 2 7
? 1 5
? 1 3
15
14
19
10

Код программы

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться структурой данных «дерево отрезков».

Для построения дерева считываем исходный массив, затем запускаем функцию построения от корня дерева. Если длина массива не равна единице или функция была запущена не от листа, то она вызывается рекурсивно от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения. Если функция построения была вызвана от листа, то значения элементов массива записываются в дерево.

Для операции присваивания передаем рекурсивной функции  текущую вершину дерева и она выполняет вызов от одного из своих сыновей, который содержит элемент с данным индексом. Пересчитывает суммы и доходит до листа, которому присваивается новое значение.

Для выполнения запроса суммы также используется рекурсивная функция. Она запускается либо от правого, либо от левого сына текущей вершины, если границы исходного запроса лежат в одном из их отрезков. Либо запускается от обоих сыновей, если границы исходного запроса принадлежат пересечению их отрезков, суммируя результаты двух запросов. Таким образом функция доходит до отрезка, границы которого совпадают с текущим запросом или до листа и возвращает их значение.

Для решения данной задачи были использованы материалы сайта e-maxx.ru.

e-olimp №2907. Можете ли Вы ответить на эти вопросы — 3

Условие

Задана последовательность целых чисел [latex]a_1, a_2, \ldots, a_n[/latex] ([latex]| a_i | \le 10000[/latex], [latex]1 \le n \le 50000[/latex]). Над ней Вам следует выполнить [latex]m[/latex] ([latex]m \le 50000[/latex]) операций:

  • модифицировать [latex]i[/latex]-ый элемент последовательности
  • для заданных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] вывести [latex]MAX[/latex] [latex]\{ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j[/latex], [latex]x \le i \le j \le y \}[/latex]

Входные данные

Первая строка содержит значение n. Следующая строка содержит n целых чисел, задающих последовательность [latex]a_1, a_2, \ldots, an[/latex]. Третья строка содержит число [latex]m[/latex]. Следующие [latex]m[/latex] строк содержат запросы вида:

  • [latex]0[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex]: изменить [latex]a_x[/latex] на [latex]y[/latex] ([latex]| y | \le 10000[/latex]).
  • [latex]1[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex]: вывести [latex]MAX[/latex] [latex]\{ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j, x \le i \le j \le y \}[/latex]

Код программы

Для запроса на выполнение программы нажать здесь.

Ссылка на использованный алгоритм.

Ссылка на засчитанное решение.

e-olymp 2307. The sum

The array of [latex]n[/latex] elements is given. Find the sum of numbers on a segment.

Input

The first line contains two integers [latex]n[/latex] and [latex]k[/latex] [latex](1 \le n \le 10^5, 0 \le k \le 10^5)[/latex] — the number of elements in array and the number of queries. The next [latex]k[/latex] lines contain the queries of two forms:

  • [latex]A[/latex] [latex]l[/latex] [latex]r[/latex] [latex]x[/latex]  — assign the value of [latex]x[/latex] to each element form position [latex]l[/latex] to [latex]r[/latex] [latex](1 \le l \le r \le n, 0 \le x \le 10^9)[/latex]
  • [latex]Q[/latex] [latex]l[/latex] [latex]r[/latex] — find the sum of array elements on positions from [latex]l[/latex] to [latex]r[/latex] [latex](1 \le l \le r \le n)[/latex]

Initially the array is filled with zeroes.

Output

For each query of the form «[latex]Q[/latex] [latex]l[/latex] [latex]r[/latex]» print the sum of numbers on a segment.

Tests

Input Output
1 5 9
A 2 3 2
A 3 5 1
A 4 5 2
Q 1 3
Q 2 2
Q 3 4
Q 4 5
Q 5 5
Q 1 5
3
2
3
4
2
7
2 10 6
A 1 10 1
Q 1 10
A 1 5 2
Q 1 10
A 4 7 3
Q 1 10
10
15
21
3 100000 2
A 1 100000 1000000000
Q 1 100000
100000000000000

Algorithm

After reading the statement of the problem it is understandable that we should implement segment tree with support for multiple modification request — assignment. To make modifications to the whole segment and quickly answer for the amounts queries, we organize data structure in which each node store «colored» — if it is painted in any color or not and a sum on corresponding to this node segment.

Under the node coloring we will understand that all segment with all its subsegments should be colored in the appropriate color (assigned a specific number). Also define the mark that the node isn’t colored (in the code defined as WHITE), for example, any negative number, because queries contain only positive. This implementation allows us to do «delayed» update of the tree. Specifically, for each request of modification, instead of changing the values at all vertices where it is required, change only some of them, leaving «colored» markers for the other segments, which means that the whole segment with its subsegments should be painted in this color.
But if we do it so, after each modification request segment tree will stop being up to date. For resolving this problem, organise a function, that will «push» information from parents to children: void push(Node *tree, int currentNode, int left, int right) . This function is called during requests processing to update the appropriate values:

  • assign parent’s color to the children
  • recalculate the amount of the segment for children (as the length of the segment multiplied by the current color (number))
  • set parent node as uncolored

Thus, to solve this task, we need two usual for segment tree functions:

  • void update(Node *tree, int currentNode, int left, int right, int leftBorder, int rightBorder, int color)
  • long long sum(Node *tree, int currentNode, int left, int right, int leftBorder, int rightBorder)

With the difference that, when we are going down by the tree, pushes information only as far as necessary (it should be noted, that in this way the asymptotic doesn’t impair and remains standard [latex]O(\log n)[/latex]).

Rest details of the implementation can be found in the code of the program or in the sources of information listed at the end of the article.

Footnote: such realization, where the problem constraints too large queries, and in the current version when we update a range and only mark its child that it needs to be updated and update it when needed, usually calls lazy propagation. This approach allows us to solve a variety of new at first glance seemed complex tasks. More information listed at the end of the article.

Code

Links

e-olymp 2906. Can you answer these queries — 1

You are given an integer sequence.

[latex]a_1, a_2, \ldots, a_n (|a_i| \le 15007, 1 \le n \le 50000)[/latex].

A query is defined as follows:

[latex]Query(x, y) = MAX (a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j, x \le i \le j \le y)[/latex]

Given [latex]m[/latex]  queries, your program must output the results of these queries.

Input

The first line contains the integer [latex]n[/latex]. In the second line [latex]n[/latex] integers of the sequence are given. The third line contains the integer [latex]m[/latex]. Then [latex]m[/latex] lines follow, where line [latex]i[/latex] contains two numbers [latex]x_i[/latex] and [latex]y_i[/latex].

Output

Print the results of the [latex]m[/latex] queries, one query per line.

Tests

Input Output
1 3
-1 2 3
1
1 2
2
2 5
1 2 3 4 5
1
1 5
15
3 5
-1 -2 -3 -4 -5
1
1 5
-1
4 8
1 2 -3 -2 10 1 -15 7
4
1 1
3 4
3 6
1 8
1
-2
11
11
5 9
1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9
3
1 9
2 8
2 4
9
7
3

Algorithm

After analyzing the condition of the problem, we can understand that we need on a given segments of array to find subsegment with a maximum amount. We can solve this task by using segment tree, but before this we should modify it a bit. Create a structure of which our tree consists:

That is, in each vertex of tree we store [latex]4[/latex] values:
  • the answer to the task for the current subsegment
  • the maximum amount among all prefixes
  • the maximum amount among all suffixes
  • the sum on the segment

First we need to get the values in the leaves. It’s simple enough all [latex]4[/latex] fields take the value of the number, that corresponds to this leaf. Now, having values in the leaves, we need to learn how to get the values in parent. For this we use the function Node mergeNodes(Node leftChild, Node rightChild), which assign to parent’s fields such values:

  • Answer in the parent equal to the answer in the right or the left child (means that the best subsegment of the current node is entirely in the left or right child), or the maximum amount of the maximum suffix in the left child and the maximum prefix in the right child (which means that it is partially is in the left child and partially is in the right child).
  • The maximum amount of the parent on prefix is equal to the maximum prefix of left child or sum on segment of left child and maximum prefix of right child.
  • The maximum amount of the parent on suffix is equal to the maximum suffix of right child or sum on segment of right child and maximum suffix of right child.
  • Amount on segment of the parent is equal to the sum on segment of left child and sum on segment of right child.

Now, with all the auxiliary functions for working with a built data structure, we need only to construct a tree and learn to get an answer on it.
We need two more functions:

  • void build(int *base, Node *tree, int currentNode, int left, int right) — recursive construction of a tree from the leaves to the root by initial sequence numbers.
  • Node answer(Node *tree, int currentNode, int left, int right, int leftBorder, int rightBorder) — as in the usual tree segments we get an answer going down by the tree, but instead of any associative function (eg sum or maximum) we execute the merger of nodes described earlier. Resulting node will store an answer corresponding to a given in the query segment.

Rest details of the implementation can be found in the code of the program or in the sources of information listed at the end of the article.

Code