e-olymp 1154. Кружок хорового пения

Задача

В некотором учебном заведении функционирует кружок хорового пения. Начало кружка всегда происходит единообразно: по сигналу руководителя кружка все [latex]N[/latex] участников становятся в круг и каждый [latex]M[/latex]-й для распевки поёт гамму.

Руководитель кружка заметил, что размять голосовые связки не всегда удаётся всем участникам кружка. По заданным [latex]N[/latex] и [latex]M[/latex] помогите ему определить, или в очередной раз в разминке примут участие все участники хора.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких тестовых случаев. Каждый тестовый случай расположен в отдельной строке и содержит два целых числа [latex]N[/latex] и [latex]M[/latex]. ([latex]1 ≤ N, M ≤ 103[/latex]).

Выходные данные

Для каждого тестового случая в отдельной строке выведите «YES», если в разминке примут участие все участники хора, в противном случае выведите «NO».

Тесты

Входные данные Выходные данные
1000 1000
1 1
NO
YES
2 5
3 7
14 15
49 37
YES
YES
YES
YES
14 16
891 6
441 9
777 111
NO
NO
NO
NO
4 1
6 3
YES
NO

Решение задачи

Пусть у нас есть [latex]N[/latex] певцов. Пронумеруем их по порядку от [latex]0[/latex] до [latex]N — 1[/latex]. Распевается каждый [latex]M[/latex]-й. И пусть НОД ([latex]M, N) = k \geq 2[/latex]. Тогда, например, [latex]k — 1[/latex]-ый певец никогда не распоется. На рисунке ниже приведен пример. [latex]6[/latex] певцов,  распевается каждый [latex]2[/latex], начиная из верхнего левого угла при смене по часовой стрелке. Переливающимся кружочком обозначен поющий в данный момент певец.


Докажем, что если [latex]M[/latex] и [latex]N[/latex] взаимно просты, то все участники распоются. Для начала заметим, что при [latex]i[/latex]-ой смене (где [latex]i[/latex] некоторое натуральное число) очередь вернется к участнику, с которого распевка начиналась,то есть смена циклическая. Поскольку НОД ([latex]M, N) = 1 [/latex], то НОК ([latex]M, N) = M*N [/latex], то есть распевающий сменится [latex]N[/latex] раз для завершения цикла. Покажем, что ни один из певцов не споет более [latex]1[/latex] раза. Пусть есть некоторый [latex]k[/latex]-ый распевающий, очередь которого наступила более [latex]1[/latex] раза за время цикла. Однако, как и для первого распевающего, очередь для [latex]k[/latex] наступит через [latex]N[/latex] смен, то есть после завершения цикла. Получили опровержение. Значит каждый распоется не более [latex]1[/latex] раза. Теперь, учитывая количество смен, получим, что каждый распоется ровно [latex]1[/latex] раз. В случае, когда НОД ([latex]M, N) \geq 2 [/latex] получим, что за цикл распоется менее, чем [latex]N[/latex] участников хора.

 

Ссылки

Условие задачи на сайте  E-Olymp

код задачи на Ideone

e-olymp 1128. Проблема Лонги

Задача

Лонги хорошо разбирается в математике, он любит задумываться над трудными математическими задачами, которые могут быть решены при помощи некоторых изящных алгоритмов. И вот такая задачка возникла:
Дано целое число [latex]n[/latex] [latex](1 < n < 231)[/latex], Вы должны вычислить [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].
"О, я знаю, я знаю!" — воскликнул Лонги! А знаете ли Вы? Пожалуйста, решите её.

Входные данные

Каждая строка содержит одно число [latex]n[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения [latex]n[/latex] следует вывести в отдельной строке сумму [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]2[/latex] [latex]6[/latex] $3$
$15$
[latex]1[/latex] [latex]50[/latex] [latex]100[/latex] $1$
$195$
$520$
[latex]7[/latex] [latex]4791[/latex] [latex]12345678[/latex] [latex]478900[/latex] $13$
$15965$
$170994915$
$4980040$
[latex]123[/latex] [latex]7777[/latex] [latex]157423949[/latex] [latex]904573[/latex] $2147483648$ $405$
$54873$
$613124817$
$1809145$
$35433480192$

Код программы

Решение задачи

Согласно свойству НОД, если некоторые числа [latex]a_1[/latex] и [latex]a_2[/latex] взаимно просты, то [latex]\gcd \left(a_1 \cdot a_2, c\right) = \gcd \left(a_1, c\right) \cdot \gcd \left(a_2, c\right)[/latex], где [latex]c[/latex] — некоторая константа. Если же вместо [latex]c[/latex] взять [latex]i[/latex] ([latex] 1 ≤ i ≤ a_1 \cdot a_2[/latex]) и просуммировать по [latex]i[/latex] обе части равенства, получим:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \gcd \left(a_1 \cdot a_2, i\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \left(\gcd \left(a_1, i\right) \cdot \gcd \left(a_2, i\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1} \gcd \left(a_1, i\right) \cdot \sum\limits_{i=1}^{a_2} \gcd \left(a_2, i\right)[/latex].
Значит мы можем данное число представить как произведение простых в некоторых степенях. Эти числа, очевидно, будут взаимно простыми, из чего следует возможность применения данного свойства и последующего суммирования по [latex]i[/latex].
Теперь докажем, что для любого простого числа [latex]p[/latex] в степени [latex]a\geqslant 1[/latex] верно следующее равенство:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{p^a} \gcd\left(p^a, i\right) = \left(a + 1\right)\cdot p^a — a \cdot p^{a-1} [/latex].
Обозначим $\sum\limits_{i=1}^{r} \gcd\left(r, i\right)$ как $g\left(r\right)$.
База индукции:
[latex]a = 1[/latex]:
$$g\left(p\right) = \gcd\left(p, 1\right) + \gcd\left(p, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p, p\right) = \left(p — 1 \right) + p = 2 \cdot p — 1.$$
Если [latex]a = 2[/latex]:
$$g\left(p^{2}\right) = \gcd\left(p^{2}, 1\right) + \gcd\left(p^{2}, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p\right) + \gcd\left(p^{2}, p + 1\right) + \ldots + \\ + \gcd\left(p^{2}, 2 \cdot p\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p^{2}\right) = 1 + 1 + \ldots + p + 1 + \ldots + p + \ldots + p^{2} = \\ = \left( p^{2} — p \right) + p \cdot \left( p — 1 \right) + p^{2} = 3 \cdot p^{2} — 2\cdot p.$$
Для любых $a \geqslant 2$:
$$g\left(p^{a}\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a-1}} \gcd\left(p^a, j\right) + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a, j\right) + p^{a} =g\left(p^{a — 1}\right) + p^{a} + \\ + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right).$$
Причем:
$$\sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1} — 1} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) = \\ = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1}} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) — p^{a — 1} = \left( p — 1\right)\cdot g\left(p^{a-1}\right) — p^{a-1}.$$
Откуда следует:
$$g\left(p^{a}\right) = p^{a} — p^{a-1} + p\cdot g\left(p^{a-1}\right).$$
Предположение индукции:
Пусть [latex]a = b[/latex]:
$$g\left(p^{b}\right) = \left(b + 1\right) \cdot p^b — b \cdot p^{b-1}.$$
Шаг индукции:
Пусть [latex]a = b + 1[/latex]:
$$g\left(p^{b + 1}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot g\left(p^{b}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot \left[\left(b+1\right) \cdot p^{b} + b\cdot p^{b-1}\right] = \\ = \left(b + 2\right)\cdot p^{b+1} — \left(b + 1\right)\cdot p^{b}.$$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

e-olymp 176. Выбор вождя

Условие задачи
Орки – одна из рас, населяющих мир Драэнор. Не отличаясь высоким интелектом, орки все же славятся своею силой и отвагой в бою. Ежегодно орки из разных кланов собираются в Долине Силы для того, чтобы избрать вождя всей Орды. В отличие от глупых людей, орки презирают выборы посредством голосования (да и, скажем прямо, все эти бюлетени, урны и избирательные участки чужды и непонятны орку, не державшему в руках ничего, кроме дубины и топора). Кандидаты в вожди сражаются друг с другом в честных поединках. В каждом поединке участвуют два претендента, один из которых выходит из него победителем, а другой оказывается поверженным. Проигравший в одном поединке орк выбывает из числа претендентов и не может участвовать в последующих поединках. Оставшийся в конце концов после всех боев кандидат и становит вождем Орды.

Старейшины орков всегда наблюдают за выборами и любят предугадывать кто победит на них. Однако далеко не всегда можно предсказать не то, что общую победу на выборах, но даже победителя в одном конкретном бою. Конечно же все зависит от силы сражающихся – кто сильнее, тот и победит, однако в случае равенства сил может победить любой из них – тут уж как звезды станут.

Старейшины обратились к вам с просьбой написать программу для определения количества претендентов, которые могут стать вождями.


Входные данные
В первой строке входного файла записано количество [latex]N[/latex] претендентов на звание вождя в этом году [latex](1 ≤ N ≤ 1000000)[/latex], а во второй – [latex]N[/latex] целых чисел в пределах от [latex]1[/latex] до [latex]10000[/latex], каждое из которых определяет силу соответствующего кандидата.

Выходные данные
Выходной файл должен содержать одно число – количество претендентов, которые могут стать вождями.

Continue reading

e-olymp 49. Кот учёный

Задача

Уезжая из дома, поэт оставлял коту, прикованному к дубу цепью длиной $l$, $n$ рыбин. Зная координаты головы и хвоста каждой из них, подсчитайте, на какие сутки у кота визникнет чувство голода, если оно возникает тогда, когда за сутки он съест меньше, чем $k$ рыбин. Рыбину он может съесть, если сможет дотянуться хотя бы к одной её точке. Координаты дуба $(0, 0)$.

Входные данные

В первой строке находятся числа $l$, $n$, $k$. Далее идет $n$ строк: координаты головы $(x_{1i}, y_{1i})$ и хвоста $(x_{2i}, y_{2i})$ каждой рыбины. Все входные данные — целые числа, не превышающие по модулю $100$.

Выходные данные

Вывести день, на который у кота появится чувство голода.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]4\, 4\, 2[/latex] [latex]2[/latex]
[latex]1\, 1\, -1\, 3[/latex]
[latex]2\, 2\, 4\, 2[/latex]
[latex]-3\, -4\, -3\, 4[/latex]
[latex]1\, -5\, 4\, -4[/latex]
[latex]3\, 2\, 1[/latex] [latex]3[/latex]
[latex]1\, 2\, 3\, 4[/latex]
[latex]1\, -1\, -1\, 1[/latex]
[latex]3\, 5\, 4[/latex] [latex]1[/latex]
[latex]2\, 4\, 5\, 7[/latex]
[latex]1\, -1\, -1\, 1[/latex]
[latex]8\, 10\, 2\, 7[/latex]
[latex]12\, 3\, 4\, 2[/latex]
[latex]100\, 100\, -100\, -100[/latex]

Код программы

Решение задачи

Для каждой рыбы мы будем делать такой процесс.
Для начала проверим расстояния от начала координат до каждого из концов рыбы. Если хотя бы одно из них меньше либо равно длине цепи, то кот сможет съесть эту рыбу и ничего больше проверять не надо. Если же эти расстояния больше длины цепи поступим так. Найдем уравнение прямой проходящей через две точки (координаты начала и конца рыбы). Оно имеет вид: $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ Приведем его к виду $ax+by+c=0$. Получим, что $a=y_2-y_1$, $b=-(x_2-x_1)$, $c=y_1(x_2-x_1)-x_1(y_2-y_1)$. Теперь проверим длину перпендикуляра к этой прямой от начала координат (т. к. если длина перпендикуляра больше длины цепи, кот точно не дотянется до рыбы). Расстояние $d$ от точки $(0,0)$ до прямой $ax+by+c=0$ посчитаем по формуле: $$d=\frac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ Избавляясь от корня и деления, получим условие: $$c^2\leq l^2(a^2+b^2)$$ (где $l$ — длина цепи). Если это условие выполняется, остается проверить, что точка пересечения перпендикуляра и прямой лежит между началом и концом рыбы (нам достаточно проверить по одной из координат, например по второй). Прямая, перпендикулярная исходной и проходящая через точку $(0,0)$, будет иметь вид: $$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$ (т. к. $(a,b)$ — нормальный вектор к прямой, проходящей через начало и конец рыбы). Получаем систему из двух уравнений и двух неизвестных. Решая эту систему, получаем, что вторая координата точки пересечения равна: $$y=\frac{-cb}{a^2+b^2}$$ Теперь проверяем, лежит ли эта координата, между вторыми координатами начала и конца рыбы. Если да, то кот сможет съесть эту рыбу, иначе — нет.
Ответом на задачу будет $\left \lfloor\frac{count}{k}\right \rfloor+1$, где $count$ — количество рыб, до которых смог дотянуться кот, $k$ — минимальное количество рыб, которое кот должен съесть в сутки.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

e-olymp 907. Первый не больший чем 2.5

Задача

Задан массив вещественных чисел. Найти первый элемент массива, значение которого не превышает 2.5.

Входные данные

В первой строке задано количество элементов массива [latex]n (0 < n ≤ 100)[/latex]. В следующей строке задано [latex]n[/latex] вещественных чисел.

Выходные данные

Вывести в одной строке сначала индекс найденного первого указанного элемента массива и его значение с 2 десятичными знаками. В случае отсутствия такого элемента в массиве вывести «Not Found» (без кавычек).

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]5 \\ 6 \; 7.5 \; 2.1 \; 2.0 \; 0[/latex] [latex]3 \; 2.10[/latex]
[latex]5 \\ 6 \; 7.5 \; 5.1 \; 7.0 \; 80[/latex] [latex]Not \; Found[/latex]
[latex]7 \\ 5 \; 4.7 \; 50 \; 8.9 \; 2.7 \; 3 \; 1.5[/latex] [latex]7 \; 1.5[/latex]

Решение задачи с помощью массивов

Код программы

Решение задачи

Введем обозначения: [latex]x[/latex] – имя массива, [latex]n[/latex] – количество элементов в массиве, [latex]i[/latex] – индекс элемента массива. Нам необходимо просмотреть весь массив. Если значение просматриваемого элемента не превышает 2,5, то в ответе вывести в одной строке сначала индекс найденного первого указанного элемента массива и его значение с 2 десятичными знаками. Если же такого элемента в массиве нет, вывести Not Found.

Решение задачи с помощью потоковой обработки

Код программы

Решение задачи

Будем просматривать все веденные элементы и для каждого осуществлять проверку, если элемент не превышает 2.5, тогда в ответе выводим в одной строке сначала индекс найдененого первого указанного элемента и его значение с 2 десятичными знаками. Если же такого элемента в массиве нет, выводим на экран Not Found.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения с помощью массивов на ideone
Код решения с помощью потоковой обработки на ideone

e-olymp 441. Наиболее круглое число

Наиболее круглое число

Назовем число более круглым, чем другие числа, если оно имеет больше заключительных нулей. Если два числа имеют одинаковое количество заключительных нулей, то более круглым считается меньшее число.

Входные данные

В первой строке входных данных задано количество чисел [latex]N[/latex] [latex](1  ≤  N  ≤  100)[/latex]. Каждая из последующих N строк содержит одно число в пределах от [latex]1[/latex] до [latex]10^{9}[/latex].

Выходные данные

Вывести наиболее круглое число среди заданных [latex]N[/latex] чисел.

Тесты

Входные данные Выходные данные
4
71200
10
200
10001
200
5
711
1
2
10001
234567
1
10
7
1
2
1
2
3
4
6
8
9
1
4
100000
200000
500000
800000
100000

Код программы

Решение задачи

Имеет смысл проверять каждое введенное число: не является ли оно меньше либо равно чем [latex]p[/latex], где [latex]p[/latex] — наименьшее число с количеством нулей равным [latex]maxk[/latex]. [latex]maxk[/latex] — текущее наибольшее количество нулей. Для того, чтобы найти [latex]p[/latex], мы в цикле умножаем [latex]1[/latex] [latex]maxk[/latex]-раз на [latex]10[/latex]. Очевидно, что [latex]p[/latex] нужно менять только тогда, когда меняется [latex]maxk[/latex], также следует до цикла полагать [latex]p[/latex]=1. Для того чтобы [latex]p[/latex] не умножалось на [latex]10[/latex] лишнее количество раз. Таким образом мы отсеиваем заведомо негодные числа и ускоряем код.
Положим [latex]maxn[/latex] — наиболее круглое число.
Так как по условию числа не могут быть больше чем [latex]10^{9}[/latex], имеет смысл изначально поставить переменную [latex]maxn=10^{9}[/latex]. Это делается для того случая, когда во всех числах [latex]m[/latex] не будет нулей и нужно будет выбрать наименьшее. Если мы положим в переменную [latex]maxn[/latex] любое другое число то [latex]maxn[/latex] может быть меньше чем [latex]m[/latex] и мы не сможем выбрать ответ так как все [latex]m[/latex] будут больше его.

Условие задачи на e-olimp
Код решения ideone