И опять «низкая» таблица

Задача

В тридевятом государстве новое соревнование. Организаторы поняли, что предыдущая задача «Низкая таблица» была слишком простой и решили усложнить жизнь нашей Аленушке. Она совсем растерялась и снова умоляет Вас о помощи. Итак, вот новое условие: каждому участнику дается лист бумаги, ширина которого строго равна одному магическому метру, на котором надо начертить таблицу, состоящую из $n$ строк и $n$ столбцов. В каждой строке и столбце выбрано по одной ячейке, для которой указана минимальная площадь, которую должна занимать эта ячейка — $S_i$ для ячейки, расположенной в $i$-ой строке. Остальные могут иметь площадь $0.$ Задача участников аналогична предыдущей — начертить таблицу наименьшей высоты.

Входные данные

В первой строке содержится единственное натуральное число $n \leqslant 20.$
Во второй строке содержатся $n$ натуральных чисел $S_{1}, \ldots, S_{n}$, не превышающие $10^{4}.$

Выходные данные

Минимальная высота таблицы в магических миллиметрах, округленная до ближайшего меньшего целого.

Тесты

Входные данные Выходные данные
3
1 2 3
17191
19
2899 338 8846 5896 3325 9199 6493 211 7878 6083 2074 8493 2889 3743 133 5725 9453 7890 3594
1548340398
18
3823 5708 1356 9979 8801 5310 2123 4575 566 5039 9367 26 1966 6540 1514 7193 7667 994
1252560358
8
8283 8769 3568 869 8285 4494 7185 4519
340953967
9
6375 3059 6206 4221 6027 2064 6278 1347 996
301905233
17
2765 8226 4472 1139 9080 675 3712 7735 9566 223 8899 9716 6594 9631 8871 6176 313
1414903854
10
2654 7458 2284 8767 6061 1149 7243 607 757 8532
385237635
6
6429 9121 9490 7035 6352 2021
231968881
8
52 6380 8169 5689 367 2403 3112 2850
185108459
2
8063 3128
21235115
9
9226 7811 4279 68 5976 1418 9721 6784 8580
418145363
13
8987 3714 247 679 1416 3489 1501 7654 2164 9101 7347 4043 3289
591377417
18
9349 9854 4308 1799 1501 8647 6300 9379 1123 7369 1164 3083 1207 2754 2933 1051 8566 4016
1324052855
3
1311 2984 9564
35581065
16
3460 6135 8911 5656 5496 5463 9566 8473 7575 7444 2717 8241 9868 6698 849 7118
1576424119
15
2264 4988 4454 726 17 9279 422 7916 698 5780 2517 9352 6291 2954 4775
763779068
10
3625 7189 773 7283 2952 7865 588 1670 1013 2982
305484098
18
2741 2630 4163 4926 9431 2212 6978 1607 9489 6746 4947 3333 3144 4809 3352 207 1919 1918
1207862952
5
4320 8413 1175 4527 1519
88794894
6
9534 5380 2500 683 4281 4803
145815522
14
1458 1341 6248 8840 8877 6891 409 5853 6726 6401 4932 9007 5710 745
905996755

Код программы

Решение задачи

Поменяем местами строки таблицы так, чтобы ячейки, для которых указана минимальная площадь, лежали на главной диагонали. От этого не изменится ни ширина, ни высота таблицы. Обозначим эти ячейки $S_{ii}$ для ячейки, лежащей на пересечении $i$-ой строки и $i$-ого столбца.
Докажем, что минимальная площадь указанной в условии таблицы $S = \left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{nn}} \right )^2.$ Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции. Случай при $n=2$ был доказан здесь.
Предположение индукции. Пусть утверждение верно $\forall n \leq k, \ k \geq 2.$
Шаг индукции. Докажем, что утверждение верно для $n = k+1.$ Рассмотрим подтаблицу $T_1$ нашей таблицы $T$, которая состоит из первых $k$ столбцов и $k$ строк исходной таблицы. По предположени индукции ее минимальная площадь $S_{T_1} = \left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}} \right )^2.$ Теперь можем рассматривать таблицу $T$ как таблицу, состоящую из двух строк и двух столбцов, так, что таблица $T_1$ будет верхней левой ячейкой. Тогда, учитывая утверждение, доказанное в базе индукции находим минимальную площать таблицы $T$ $$\begin{multline}S_{T} = \left (\sqrt{S_{T_1}}+\sqrt{S_{k+1k+1}} \right ) ^ 2 = \\ = \left (\sqrt{\left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}} \right )^2}+\sqrt{S_{k+1k+1}} \right ) ^ 2 = \\ = \left ( \sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}}+\sqrt{S_{k+1k+1}}\right )^2.\end{multline}$$ Что и требовалось доказать. Заметим, что для тривиального случая $n = 1$ формула также остается в силе. Пусть $h$ высота таблицы, а $l$ — ее ширина. Учитывая, что по условию $l = 1,$ а $S = hl,$ находим, что минимальное значение высоты таблицы $h_{min} = \left ( \sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{nn}}\right )^2.$

Ссылки

Код решения на Ideone

Добавить комментарий