ML39. Старинное окно

Задача

Окно в университетской аудитории имеет форму прямоугольника с присоединенным в верхней части полукругом. Периметр всего окна равен [latex]P[/latex]. Определить радиус полукруга [latex]R[/latex], при котором площадь окна максимальна.
Входные данные: Периметр окна [latex]P[/latex].
Выходные данные: Радиус полукруга [latex]R.[/latex] 2

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]P[/latex] [latex]R[/latex]
1 100 14.0025
2 73 10.2218
3 14 1.96035
4 0 0

Код программы.

Решение

Университетское окно

Университетское окно

Обозначим боковую сторону окна [latex]b[/latex], а нижнюю [latex]a[/latex]. [latex]R=\frac { a }{ 2 } [/latex], тогда периметр окна [latex]P=a+2b+\frac { \pi a }{ 2 } [/latex], а площадь равна сумме площадей прямоугольника и полукруга [latex]S=ab+\frac { \pi { a }^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Выразим сторону [latex]b[/latex] через [latex]a[/latex] и периметр [latex]P[/latex] : [latex]b=\frac { 2P-2a-\pi a }{ 4 } [/latex], тогда [latex]S=\frac { 4Pa-4a^{ 2 }-\pi a^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Вычислим производную функции [latex]S(a)[/latex]. [latex]S'(a)=\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } [/latex], затем найдем точки экстремума функции:
[latex]\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } =0[/latex], тогда [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex].
Найдём область допустимых значений для [latex]a[/latex]. Наибольшего значения [latex]a[/latex] достигает при [latex]b=0[/latex], [latex]P=a+ \frac {\pi a}{2}[/latex], соответственно [latex]a=\frac { 2P }{ 1+\pi } [/latex]. Значит областью допустимых значений является отрезок [latex][0; \frac { 2P }{ 2+\pi } ] [/latex]. Поскольку [latex]0 < \frac { 2P }{ 4+\pi } < \frac { 2P }{ 2+\pi }[/latex] делаем вывод, что [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex] попадет в область допустимых значений. Найдём максимальное значение функции на отрезке:
[latex]S(0)=0[/latex].
[latex]S(\frac { 2P }{ 4+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 32 + 8 \pi } [/latex].
[latex]S( \frac { 2P }{ 2+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 16 + 8 \pi } \cdot \frac { \pi }{ 2+ \pi } [/latex].
[latex] \frac {S(\frac { 2P }{ 4+\pi })}{S( \frac { 2P }{ 2+\pi })} = \frac { 4+4\pi +{ \pi }^{ 2 } }{ 4\pi +{ \pi }^{ 2 } } [/latex].
Тогда [latex]S(0) < S(\frac { 2P }{ 2+\pi }) < S(\frac { 2P }{ 4+\pi }) [/latex].
Значит площадь окна [latex]S[/latex] достигает максимального значения при [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi }[/latex], из чего следует [latex]R=\frac { P }{ 4+\pi }[/latex].

Ссылка на код

ideone

4 thoughts on “ML39. Старинное окно

  1. — На чертеже обозначения должны быть наклонными. Тогда они по начертанию не будут отличаться от тех, что в тексте.
    — Зачем Вы везде используете крестик для обозначения умножения? Загляните в учебник. Обычно знак умножения вообще опускают. В некоторых двусмысленных ситуациях ставят точку.
    — И [latex]\pi [/latex] у Вас какое-то странное.
    — Поставьте, пожалуйста, пробел после запятой в коде.
    — Я указал в Вашей статье рубрику «Линейные вычисления». В дальнейшем делайте это сами, пожалуйста.
    — Слово «спадающая» следует заменить на «убывающая».
    — Стоит указать область допустимых значений для [latex]a [/latex] и убедиться, что найденный ответ в него попадает. Кроме того, вспомните, мы ищем не экстремум, а максимальное значение функции на отрезке. Т.е. надо проверить ещё и концы отрезка.
    — Не используйте, пожалуйста, символы кириллицы в постоянных ссылках.
    А по сути хорошо получилось 🙂

Добавить комментарий