MLoop 13

 

Условие

Условие задачи

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex]   значение функции   [latex]f(x)=\arcsin x[/latex].
При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Тесты

[latex] x [/latex] [latex] arcsin x [/latex]
1 -1  -1.56709
2 -0.5  -0.523599
3 0 0
4 0.5  0.523599
5 0.7071067  0.785398
6 0.8660254  1.0472

Решение

Чтобы разложить тригонометрическую функцию только арифметическими операциями, нужно воспользоваться формулами Тейлора.

Ряд Тейлора для функции [latex]\arcsin x[/latex]:

[latex]\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}[/latex] или:
[latex]\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots[/latex]

Вводим переменную, которая будет считать арксинус — [latex]arcsin[/latex].

Так как первый член — [latex]x[/latex], то начальное значение [latex]\arcsin =x[/latex]   и   [latex]a=x[/latex].  [latex]a[/latex] — это слагаемые суммы, оно будет изменятся с каждым последующим значением [latex]n[/latex].

Теперь нужно узнать на сколько домножать первое слагаемое из ряда Тейлора, чтобы получить второе:

[latex]\frac{(2(n+1))!\cdot x^{2(n+1)+1}}{4^{n+1}((n+1)!)^2 (2(n+1)+1)} \cdot \frac{4^n (n!)^2 (2n+1)}{(2n)!\cdot x^{2n+1}} = \frac{(2n+1)^2 x^2}{2(2n+3)(n+1)}[/latex]

Видно, что эта функция сначала возрастает, а потом убывает ( [latex]x\leq 1[/latex] )
[latex]\frac{(2n+1)^2 x^2}{2(2n+3)(n+1)}[/latex],  поэтому [latex]a[/latex] будет уменьшаться. Мы задаем точность [latex]\varepsilon[/latex] и пока [latex]a > \varepsilon[/latex] мы вычисляем  сумму
[latex]\arcsin +=a[/latex].

Код

Код на ideone

Настя Ивасенко
Настя Ивасенко

Latest posts by Настя Ивасенко (see all)

11 thoughts on “MLoop 13

  1. — Вы пишите «присваиваем начальное значение [latex]\arcsin x =x[/latex]». Я понимаю, что Вы хотите сказать, но так писать нельзя. И так [latex]\arcsin x+=a[/latex] тоже. Конечно, в программе можно переменную назвать arcsin, но это не то, что Вы пишите в пояснительном тексте.
    — У знака сумму забыли указать бесконечность в качестве верхнего предела.
    — Вы пишите то очередное «слагаемое», то просто «число». Слагаемое лучше. Чисел-то у Вас много, не ясно о чём идёт речь.
    — Вы пишите «мы выполняем сумму». Существительное «сумма» не сочетается с глаголом «выполнять». Выполняют команду, а сумму вычисляют. Т.е. одно из слов нужно заменить.
    — Этот фрагмент Вашего кода нуждается в исправлении:

    Основная ошибка в условии окончания цикла. Операция *= выполняется последней. Т.е. не хватает скобок. Кроме того, в сравнении должен участвовать модуль очередного слагаемого. Если в while всё сделать аккуратно, то следующая строка уже не понадобится. Конечно, можно вторую строку оставить, но тогда в условии проверять просто модуль а.

Добавить комментарий