MLoop 16

Постановка задачи

MLoop16.

Вычислите с точностью [latex]\epsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) = \frac{\sin 2x}{x}[/latex]. При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Алгоритм решения

Разложим [latex]g \left( x \right) = \sin x[/latex] по формуле Тейлора с опорной точкой [latex]x_0 = 0[/latex] и остаточным членом в форме Лагранжа:
[latex]g \left( x \right) = P_n \left( x_0 ; x \right) + R_n \left( x_0 ; x \right)[/latex],
[latex]P_n \left( x_0 ; x \right) = g \left( x_0 \right) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{g^{\left( k \right)} \left( x_0 \right) }{k!} \left( x — x_0 \right) ^k[/latex],
[latex]R_n \left( x_0 ; x \right) = \frac{g^{\left( n + 1 \right)} \left( \xi \right)}{\left( n + 1 \right) !}\left( x — x_0 \right) ^{n + 1} , x_0 < \xi < x[/latex].

Найдем производные [latex]g \left( x \right)[/latex]:
[latex]g’ \left( x \right) = \cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)[/latex],
[latex]g» \left( x \right) = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( x + 2 \frac{\pi}{2} \right)[/latex],
[latex]g»’ \left( x \right) = \cos \left( x + 2 \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( x + 3 \frac{\pi}{2} \right)[/latex],
[latex]\cdots[/latex]
[latex]g^{\left( k \right)} \left( x \right) = \cos \left( x + \left( k — 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( x + k \frac{\pi}{2} \right)[/latex].

Вычислим значение функции и ее производных в точке [latex]x_0[/latex]:
[latex]g \left( x_0 \right) = \sin x_0 = \sin 0 = 0[/latex],
[latex]g’ \left( x_0 \right) = \sin \left( x_0 + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1[/latex],
[latex]g» \left( x_0 \right) = \sin \left( x_0 + 2 \frac{\pi}{2} \right) = \sin \pi = 0[/latex],
[latex]g»’ \left( x_0 \right) = \sin \left( x_0 + 3 \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{3 \pi}{2} = -1[/latex],
[latex]\cdots[/latex]
[latex]g ^{ \left( 2k — 1 \right) } \left( x_0 \right) = \sin \left( x_0 + \left( 2k — 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \pi k + \frac{\pi}{2} \right) = \left( -1 \right) ^{k — 1}[/latex],
[latex]g ^{ \left( 2k \right) } \left( x_0 \right) = \sin \left( x_0 + 2k \frac{\pi}{2} \right) = \sin \pi k = 0[/latex].

Тогда
[latex]P_n \left( x_0 ; x \right) = \sum_{k = 1}^{ \lceil \frac{n}{2} \rceil } \frac{ \left( -1 \right) ^{k — 1} \cdot x^{2k — 1} }{ \left( 2k — 1 \right) ! }[/latex],
[latex]R_n \left( x_0 ; x \right) = \frac{\sin \left( \xi + \left( n + 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) \cdot x ^{n + 1} }{ \left( n + 1 \right) ! }[/latex],
[latex]g \left( x \right) = \sum_{k = 1}^{ \lceil \frac{n}{2} \rceil } \frac{ \left( -1 \right) ^{k — 1} \cdot x^{2k — 1} }{ \left( 2k — 1 \right) ! } + \frac{\sin \left( \xi + \left( n + 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) \cdot x ^{n + 1} }{ \left( n + 1 \right) ! }[/latex],
[latex]f \left( x \right) = \frac{ g \left( 2x \right) }{ x } = \sum_{k = 1}^{ \lceil \frac{n}{2} \rceil } \frac{ \left( -1 \right) ^{k — 1} \cdot \left( 2x \right) ^{2k — 1} }{ x \cdot \left( 2k — 1 \right) ! } + \frac{\sin \left( \xi + \left( n + 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) \cdot \left( 2x \right) ^{n + 1} }{ x \cdot \left( n + 1 \right) ! }[/latex].

Осталось найти такое [latex]n \in \mathbb{N}[/latex], чтобы выполнялось неравенство
[latex]\left| \frac{\sin \left( \xi + \left( n + 1 \right) \frac{\pi}{2} \right) \cdot \left( 2x \right) ^{n + 1} }{ x \cdot \left( n + 1 \right) ! } \right| \le \left| \frac{ \left( 2x \right) ^ {n + 1} }{ x \left( n + 1 \right) ! } \right| < \epsilon[/latex].

Для ускорения вычислений зададим реккурентную формулу для слагаемых суммы
[latex]\sum_{k = 1}^{ \lceil \frac{n}{2} \rceil } \frac{ \left( -1 \right) ^{k — 1} \cdot \left( 2x \right) ^{2k — 1} }{ x \cdot \left( 2k — 1 \right) ! }[/latex].
Представим каждое слагаемое суммы в виде
[latex]\alpha_k = \alpha_{k — 1} \cdot b_k = \frac{ \left( -1 \right) ^{k — 1} \cdot \left( 2x \right) ^{2k — 1} }{ x \cdot \left( 2k — 1 \right) ! }[/latex].
Выразим [latex]b_k[/latex]:
[latex]b_k = \frac{ \alpha_k }{ \alpha_{ k — 1 } } = \frac{ \left( -1 \right) ^ {k — 1} \cdot \left( 2x \right) ^ {2k — 1} \cdot x \left( 2 \left( k — 1 \right) — 1 \right) ! }{ x \left( 2k — 1 \right) ! \cdot \left( -1 \right) ^ { \left( k — 1 \right) — 1 } \cdot \left( 2x \right) ^ {2 \left( k — 1 \right) — 1} } = — \frac{4x^2}{\left( 2k — 2 \right) \left( 2k — 1 \right)}[/latex].
Тогда
[latex]\alpha_k = \begin{cases} 2 & k = 1, \\ \alpha_{k-1} \cdot b_k & k > 1. \end{cases}[/latex]

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]x[/latex] [latex]\epsilon[/latex] [latex]f\left( x \right) = \frac{\sin 2x}{x} + \lambda, \lambda\in\left( -\epsilon;\epsilon \right)[/latex]
[latex]\frac{5\pi}{2}[/latex]  [latex]0[/latex]  [latex]\frac{2}{5\pi}[/latex]
 [latex]\pi[/latex]  [latex]0.01[/latex]  [latex]0[/latex]
 [latex]0[/latex]  [latex]0.1[/latex]  [latex]\emptyset[/latex]

Реализация

ideone: ссылка

One thought on “MLoop 16

  1. Зачтено.
    Стоит отметить отметить, что полученный ряд совпадает с функцией везде, кроме точки 0. Исходную функцию обычно доопределяют в точке ноль поскольку пределы слева и справа совпадают.
    Однако, Вы поступили правильно. Только лучше писать, что функция в точке ноль не определена.