MLoop22

Условие

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac {(-1)^i}{i^2}[/latex].

Тестирование

Входные данные Выходные данные
1 1 -1
2 0.25 -0.75
3 0.1 -0.861111
4 0.01 -0.827962
5 0.0000001 -0.822467

Код

Решение

Вычисление суммы ряда с точностью [latex]\varepsilon[/latex] представляет собой процесс нахождения членов ряда и их суммирования до тех пор, пока значение очередного члена по модулю не окажется меньше указанной точности.

Прежде всего найдем зависимость [latex]a_{n+1}[/latex] от [latex]a_n[/latex] и выведем рекуррентную формулу для очередного члена:

[latex]a_{n+1} = a_n \cdot \frac {a_{n+1}}{a_n} = a_n \cdot \frac {\frac {(-1)^{i+1}}{(i+1)^2}}{\frac {(-1)^i}{i^2}} = a_n \cdot -(\frac {i}{i+1})^2[/latex]

Для вычислений мы используем рекуррентное соотношение, поэтому до выполнения цикла, накапливающего сумму, переменным члена ряда a и суммы sum потребуется присвоить значение [latex]a_1 = \frac {(-1)^1}{1^2} = -1[/latex]:

Теперь опишем, каким образом будет работать цикл:

  • Цикл будет начинаться со счетчиком [latex]i = 1[/latex], который будет инкрементироваться в конце каждой итерации.
  • Цикл будет выполняться до тех пор, пока абсолютное значение очередного члена ряда [latex]a_i[/latex] будет не меньше, чем заданная точность [latex]\varepsilon[/latex].
  • В каждой итерации цикла значение суммы будет увеличиваться на [latex]a_i[/latex].

Реализуем описанный алгоритм с помощью цикла for. Чтобы сократить количество операций в теле цикла до одной, вычислять очередной член ряда будем при проверке выполнения условия продолжения. При присвоении переменной a нового значения воспользуемся кастингом (double) ; в противном случае уже второй член ряда будет обнуляться из-за умножения на дробь с целой частью [latex]0[/latex]:

Наконец, выведем требуемое значение — сумму ряда:

Ссылки

Код программы на Ideone.com;

Список задач на циклы.

Молоканов Юрий
Молоканов Юрий

Latest posts by Молоканов Юрий (see all)

One thought on “MLoop22

  1. Вы отлично усвоили приём с вычислением отношения последовательных членов ряда. Однако в Вашем случае он позволяет эффективно разобраться только с чередованием знаков. Возводить номер слагаемого в квадрат лучше (и нужно!) просто умножением числа на себя.