A 325. Простые делители числа

Задача
Дано натуральное число [latex]n[/latex]. Получить все простые делители этого числа.

Входные данные
Натуральное число [latex]n[/latex]

Выходные данные
Все его простые делители напечатанные через пробел

Тесты

входные данные выходные данные
2 2
7 7
50 2 5 5
169 13 13
583 11 53
2368 2 2 2 2 2 2 37
73890 2 3 3 5 821
885066 2 3 7 13 1621
6943960340 2 2 5 97 1787 2003

Код программы

Решение задачи
Для решения задачи мы проверяем все числа от 2 до [latex]\sqrt{n}[/latex]. Если число является делителем [latex]n[/latex], то мы его выводим и делим [latex]n[/latex] на это число. Повторная проверка на простоту не требуется так как мы ведем поиск снизу, а значит число полученное после проверки уже не может делиться на составное. В конце, если остается простой делитель больше, то он выводиться так же.

Ссылки

KM208(a). Наибольшая разность чисел последовательности

Задача

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел [latex]x_1[/latex], [latex]x_2[/latex], [latex]x_3[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{10}[/latex] равна [latex]1[/latex]. Какой наибольшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из [latex]10[/latex] чисел [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{10}}{10}[/latex]?

Каков будет ответ, если чисел не [latex]10[/latex], а [latex]n[/latex]?

Входные данные

Количество элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]x_2[/latex], [latex]x_3[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_n[/latex].

Выходные данные

Наибольшая разность наибольшего и наименьшего элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n} {n}[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
2 0.5
4 0.75
6 0.833333
8 0.875

Код программы

Решение задачи

Выведем формулу сразу для [latex]n[/latex] чисел. Сделаем несколько предварительных замечаний.

Обозначим через [latex]y_k[/latex] число [latex]\frac{x_1+x_2+ \ldots+x_k}{k}[/latex], где [latex]k=1, 2, 3, \ldots, n[/latex]. Если прибавить ко всем [latex]x_i[/latex] некоторое число [latex]a[/latex], то вместо чисел [latex]y_i[/latex] мы получим числа [latex]y_i+a[/latex]. Максимальные разности для чисел [latex]y_i[/latex] и для [latex]y_i+a[/latex] совпадают. Поэтому от набора [latex]f\{x_i\}[/latex] с помощью подходящего выбора [latex]a[/latex] можно перейти к такому набору [latex]f\{x_i’\}[/latex], что все [latex]x_i’\le0[/latex], наименьшие [latex]x_i[/latex] равны нулю, а наибольшие — единице. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие наборы. Аналогично, если заменить числа [latex]x_i[/latex] на [latex]1-x_i[/latex], то [latex]y_i[/latex] заменятся на [latex]1-y_i[/latex]. Следовательно, от набора [latex]f\{x_i\}[/latex] можно перейти к набору [latex]f\{1-x_i\}[/latex]: максимальные разности между числами [latex]y_i[/latex] и числами [latex]1-y_i[/latex] одинаковы.

Решим задачу. Пусть [latex]y_k[/latex] — наименьшее, а [latex]y_t[/latex] — наибольшее из чисел [latex]f\{y_i\}[/latex].

Если [latex]k<l[/latex], то [latex]y_l-y_k=\frac{k y_k}{l}+\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}-y_k[/latex][latex]=\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}-\frac{l-k}{l} y_k[/latex][latex]\le\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}\le\frac{l-k}{l}\le1-\frac{k}{l}\le1-\frac{1}{n}[/latex]

Если же [latex]k>l[/latex], то [latex]y_l-y_k=\frac{k-l}{k} y_l-\frac{y_{l+1}+\ldots+y_k}{k}\le1-\frac{l}{k}\le1-\frac{1}{n}[/latex].

Из вышесказанного следует, что максимальная разность не больше [latex]1-\frac{1}{n}[/latex]. Набор с такой разностью можно легко указать: [latex]x_1=0[/latex], [latex]x_2=x_3=\ldots=x_n=1[/latex].

Л. Г. Лиманов
Научно-популярный журнал «Квант», 1974 год, №3, страницы 38-39.

Итог:
Формула, которую необходимо использовать для решения этой задачи, это [latex]D=1-\frac{1}{n}[/latex], где D — наибольшая разность элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}[/latex], а [latex]n[/latex] — их количество.

Ссылки

КМ26

Даниил Юдин
Даниил Юдин

Latest posts by Даниил Юдин (see all)

Задача

Задача из журнала «Квант» №6 1970 г.
Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через [latex]f(x, y) [/latex] номер первой из задач [latex]x[/latex]-го номера журнала за [latex]y[/latex]-й год (например, [latex]f (6.1970)=26)[/latex]. Напишите общую формулу для[latex]f(x, y) [/latex]для всех [latex] x , y (1 \le x \le 12 , y \ge 1970) [/latex] .
Решите уравнение [latex]f(x, y)=y [/latex] .

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]x [/latex] [latex]y [/latex] [latex]f(x, y) [/latex]
6 1970 26
12 1970 56
7 1998 1711
9 2016 2801

Код

Решение задачи

При прочтении условия данной задачи, становится ясно что речь идёт о арифметической последовательности с первым элементом [latex]a_1 = 1 [/latex] и разностью данной последовательности [latex]d = 5 [/latex]. Таким образом для нахождения номера первой задачи из [latex]x [/latex]-го номера за [latex] y [/latex]-ый год требуется формула для нахождения [latex]n[/latex]-го члена прогрессии [latex]a_n=a_1+d(n-1) [/latex]. Но для этого случая нужно вывести [latex]n[/latex] что мы сделаем сложив номер выпуска [latex]x [/latex] и разницу [latex]y-1970[/latex] помноженную на [latex]60[/latex] (что является количеством задач опубликованных за год). Зная всё вышеперечисленное выводим общую формулу [latex]f(x, y) = 1 + 5\*(x-1)+60\*(y-1970)[/latex] . В последствии формула была изменена, что позволило избавиться от лишних действий и слегка сократить формулу. Вид этой формулы: [latex]f(x, y) = 5\*x-4+60\*(y-1970)[/latex] .

Ссылки

Условие задачи.
ideone

Ю11.16

Іванов Вячеслав Володимирович
Іванов Вячеслав Володимирович

Latest posts by Іванов Вячеслав Володимирович (see all)

Задача:
Для заданной матрицы [latex]A(n, n)[/latex] найти обратную [latex]A^{-1}[/latex], используя итерационную формулу:
[latex]A_{k}^{-1} = A_{k-1}^{-1}(2E-A A_{k}^{-1}),[/latex] где [latex]E[/latex] — единичная матрица, [latex]A_{0}^{-1} = E[/latex]. Итерационный процесс заканчивается, если для заданной погрешности [latex]\varepsilon[/latex] справедливо:
[latex]\left| det(A A_{k}^{-1})-1 \right| \le \varepsilon[/latex]

Анализ задачи:
Прежде чем приступать к решению средствами языка C++, я создал прототип в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica, с которым планировал сверяться при тестировании программы. Тем не менее, внимательный анализ показал, что с таким выбором начального приближения процесс уже на пятом шаге в значительной мере расходится даже для матриц размера 2*2. После уточнения условий и анализа дополнительного материала, посвященного методу Ньютона-Шульца, исходное приближение было изменено (по результатам исследования «An Improved Newton Iteration for the Generalized Inverse of a Matrix, with Applications», Victor Pan, Robert Schreiber, стр. 8):
[latex]A_{0}^{-1} =\frac { A }{ \left\| A \right\|_{1} \left\| A \right\| _{\infty } }[/latex], где [latex]{ \left\| A \right\| }_{ 1 }=\max _{ i }{ \sum _{ j=0 }^{ n-1 }{ \left| { a }_{ ij } \right| } } [/latex], [latex]{ \left\| A \right\| }_{ \infty }=\max _{ j }{ \sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ \left| { a }_{ ij } \right| } }[/latex].
Эффективность предложенного подхода иллюстрируют результаты работы прототипа:
процесс сходится
Следовательно, из пространства задачи можно переместиться в пространство решения и составить алгоритм реализации предложенного метода на языке C++.

Тесты:

[latex]n[/latex] [latex]A[/latex] [latex]A^{-1}[/latex] Результат
3 1 2 3
5 5 7
11 13 7
-0.964771 0.430661 -0.017183
0.723533 -0.447973 0.137884
0.172358 0.155200 -0.086211
Пройден
2 1 2
2 1
-0.333067 0.666400
0.666400 -0.333067
Пройден
5 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Пройден
3 1 2 3
4 5 6
7 8 9
Матрица вырождена Пройден

Программный код:

Программа доступна для тестирования по ссылке: http://ideone.com/7YphoX.

Алгоритм решения
При решении данной задачи оправдывает себя подход «разделяй и властвуй»: вычисление обратной матрицы подразумевает промежуточные этапы, корректной реализации которых следует уделить особое внимание. Наверняка стоило бы написать класс matrix и реализовать перегрузку операций, но задачу можно решить и без применения объектно-ориентированных средств, пусть от этого решение и потеряет в изящности.
Можно выделить следующие подзадачи:

  1. Инициализация динамического двухмерного массива и передача его в функцию.
  2. Вычисление определителя матрицы (с применением метода Гаусса).
  3. Вычисление нормы матрицы.
  4. Транспонирование матрицы.
  5. Умножение матрицы на скаляр.
  6. Матричное умножение матриц.
  7. Сложение двух матриц.
  8. Непосредственно итерационный процесс Ньютона-Шульца

Ниже приведено пояснение к подходу к реализации некоторых подзадач:

  • Выделение памяти для хранения массива происходит не на этапе запуска программы, после компиляции. Для инициализации использован конструктор new
  • Вычисление определителя можно разбить на два последовательных шага:
    1. Приведение матрицы к верхнетреугольному виду (методом Гаусса).
    2. Вычисление определителя как произведения элементов главной диагонали.
    3. Если матрица вырождена, то дальнейшие вычисления не производятся.

  • Нормы матрицы вычисляются как максимальные значения суммы элементов по столбцам и строкам соответственно.
  • При транспонировании обмениваются местами элементы, симметричные главной диагонали.
  • При умножении матрицы на скаляр каждый элемент матрицы умножается на соответствующее вещественное число.
  • При перемножении двух квадратных матриц используется промежуточный массив для хранения результата вычислений.
  • Сложение двух матриц аналогично попарному сложению элементов, расположенных на соответствующих позициях.
  • Максимально допустимая погрешность для метода Ньютона-Шульца [latex]\varepsilon = 0.001[/latex]. Программа использует локальный массив для хранения [latex]A_{k}^{-1}[/latex], инициализация которого происходит в теле цикла.

Технические детали реализации:
При выполнении подзадач часто приходится использовать локальные массивы, так что для очистки выделенной под них памяти создана отдельная функция clear().

Ю11.12

Задача:
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Значения функции [latex]y=f\left(x\right)[/latex] заданы таблично в массиве [latex]Y\left(x\right)[/latex] при соответствующих значениях аргумента в упорядоченном массиве [latex]X\left(x\right)[/latex]. Найти значение функции в произвольной точке [latex]x[/latex] по формуле Лагранжа:
[latex]y={L}_{n}\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}{{y}_{i}\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}}[/latex]

Вводимые значения:

X: -1 0 1 2
Y: 1 2 3 -1

Код программы:

Код программы на Java:

 

Идея решения:
Использование отдельной функции, которой надо передать 3 параметра: значение аргумента, массив исходных значений аргумента и массив исходных значений функции при соответствующих аргументах. Эта функция возвращает значение многочлена Лагранжа при подстановки вместо [latex]x[/latex] конкретного значения.

В функции был использован внешний цикл for для вычисления суммы в формуле и внутренний цикл for для вычисления произведения [latex]\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}[/latex].

В программе мы разбиваем отрезок [-3, 3] на 101 отдельную точку и вычисляем значение полинома Лагранжа для каждой из этих точек. Выводим на экран.

График:ГрафикПолиномаЛагранжа

Комментарии: Точки выбраны специально. Мне просто захотелось увидеть, как выглядит график функции, которую мы разбирали на паре (кстати по той же самой теме =) ). График сделан в xls. Векторы выбраны по причине ограниченности массива.

Ю3.39

Задача: Численно убедиться в справедливости равенства [latex]\frac{1}{4}\ln{\frac{1+x}{1-x}}+\frac{1}{2}\arctan{x}=\quad x+\frac{{x}^{5}}{5}+\dots+\frac{{x}^{4n+1}}{4n+1}+\dots[/latex], для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]e[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] слагаемых, необходимых, для достижения заданной точности. Интервал для этой задачи: [latex]-1<x<1[/latex].

Ввод Вывод
[latex]x[/latex] Погрешность Output Комментарий
-0.99 1e-4 148 Пройден
0.99 1e-4 148 Пройден
0.99 1e-14 685 Пройден
0.7 1e-10 14 Пройден
-0.3 1e-13 6 Пройден
0.001 1e-13 1 Пройден
Идея решения: Используем цикл for, в условие которого ставим проверку на превышение погрешности суммы. Левую часть выражения вычисляем и записываем в переменную [latex]curr[/latex]. Сумму (то что стоит в правой части выражения) объявим как [latex]sum[/latex], и инициализируем значением [latex]x[/latex] (Это делается для того, чтобы во время работы цикла не вычислялось одно лишнее слагаемое).

Каждую итерацию цикла инкрементируем счетчик [latex]count[/latex]. Переменную [latex]y[/latex], которая соответствует i-тому слагаемому суммы, увеличивают до значения следующего слагаемого и прибавляют к сумме. Далее проверяем разность частичной суммы и заданного значения [latex]curr[/latex]. Если эта разность будет удовлетворять нашей точности, то число [latex]count[/latex] и будет количеством слагаемых в правой части.

Замечание: После цикла значение [latex]count[/latex] вновь инкрементируется, это сделано по следующей причине: сумма изначально содержала в себе первое слагаемое. Если сумма бы изначально содержала в себе 0, то нам пришлось бы вычислять лишнее слагаемое.

Ideone