Площадь поверхности

Задача

Найти площадь поверхности, которая является трёхмерным графиком функции [latex]f\left( x, y\right)[/latex], в пределах от [latex]a[/latex] до [latex]b[/latex] по оси [latex]x[/latex] и от [latex]c[/latex] до [latex]d[/latex] по оси [latex]y[/latex] c величиной шага [latex]h[/latex].

Входные данные:

Четыре целых числа: [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex].
Вещественное число: [latex]h[/latex].

Выходные данные:

Площадь поверхности [latex]S[/latex].

Тесты

 № [latex]f\left( x, y\right)[/latex] Входные данные Выходные данные
 [latex]a[/latex]  [latex]b[/latex]  [latex]c[/latex]  [latex]d[/latex]  [latex]h[/latex]  [latex]S[/latex]
 1  [latex]x+y[/latex]  -10  10  -10  10  0.001  692.82
 2  [latex]\left| x \right| +\left| y \right|[/latex]  -2  2  -2  2  0.005  27.7128
 3  [latex]1[/latex]  0  100  0  100  0.1  10000
 4  [latex]{x}^{2}+{y}^{2}[/latex]  -1  1  -1  1  0.0005  7.44626

Код программы

Решение

Представим поверхность в виде множества геометрических фигур. Тогда её площадь будет суммой площадей этих фигур. В качестве фигур, покрывающих данную поверхность, возьмём треугольники, поскольку через любые [latex]3[/latex] точки в пространстве можно провести плоскость и только одну (а значит и треугольник). Координатную плоскость [latex]xy[/latex] условно поделим на квадраты, где сторона квадрата будет равняться заданному шагу [latex]h[/latex]. Будем рассматривать только квадраты, что лежат в заданных пределах.  Условно проведём одну из диагоналей у каждого квадрата — получим треугольники на плоскости. Поочередно будем искать координату [latex]z[/latex] вершин каждой пары треугольников, подставляя уже известные координаты [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] в указанную формулу. Зная координаты треугольников в пространстве, найдём площадь каждого, сумма данных площадей и будет площадью поверхности. Чтоб найти площадь треугольника, зная координаты его вершин, найдем векторное произведение его координат. Возьмем треугольник с координатами вершин  [latex]\left( x_i,y_i,z_{ii} \right) [/latex], [latex]\left( x_i, y_j, z_{ij} \right) [/latex] и [latex]\left( x_j, y_i, z_{ji} \right) [/latex], возьмём произвольные два вектора, которые образуют данный треугольник — [latex]\overrightarrow { a } =\left ( x_i-x_i, y_j-y_i, z_{ij}-z_{ii} \right)[/latex], [latex]\overrightarrow { b } =\left ( x_j-x_i, y_i-y_i, z_{ji}-z_{ii} \right)[/latex].
[latex]\overrightarrow { a } =\left ( 0, y_j-y_i, z_{ij}-z_{ii} \right)[/latex], [latex]\overrightarrow { b } =\left ( x_j-x_i, 0, z_{ji}-z_{ii} \right)[/latex].
Тогда векторное произведение [latex]\left [ \overrightarrow { a }, \overrightarrow { b } \right] =\left ( (y_i-y_j)( z_{ji}-z_{ii}), (z_{ii}-z_{ij})(z_{ji}-z_{ii} ), ( y_j-y_i)(x_j-x_i) \right)[/latex].
Поскольку длина вектора равного векторному произведения двух векторов в пространстве равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами — найдём его длину и разделим пополам, чтоб получить площадь треугольника, образованного исходными векторами. Значит площадь каждого треугольника можно вычислить по формуле:
[latex]s =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt{({(y_i-y_j)}^{2}{( z_{ji}-z_{ii})}^{2}+{(z_{ii}-z_{ij})}^{2}{(z_{ji}-z_{ii} )}^{2}+{( y_j-y_i)}^{2}{(x_j-x_i)}^{2})}[/latex] Тогда площадь поверхности в пределах заданных точек можно вычислить, сложив площади этих треугольников.

Модификация

Модифицируем данную программу для нахождения приблизительной площади поверхности, заданной функцией с корнем чётной степени.

Тесты

 № [latex]f\left( x, y\right)[/latex] [latex]z_0[/latex]  Входные данные  Выходные данные
 [latex]a[/latex]  [latex]b[/latex]  [latex]c[/latex] [latex]d[/latex]  [latex]h[/latex]  [latex]S[/latex]
 1 [latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex] [latex]1[/latex]  -1  1  -1  1  0.00011  6.28734
 2 [latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex] [latex]7y[/latex]  -1  1  -1  1  0.00011  23.0803
 3 [latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-\frac{ { y }^{ 2 }}{ 2 } }[/latex] [latex]0[/latex]  -1  1  -2  2  0.00015  8.08214
 4 [latex]\sqrt { 2-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex] [latex]-1[/latex]  -2  2  -2  2  0.0005  12.5835

Код программы

Условно отделим от функцию [latex]f\left( x, y\right)[/latex] слагаемые, что не под корнем, если такие имеются. Тогда [latex]z_0[/latex] равно части функции, что не под корнем. Для того, чтоб рассматривать площади треугольников, вершины которых выходят за область определения функции, доопределим их в [latex]z_0[/latex] по оси [latex]z[/latex]. Затем вычислим площадь треугольников, у которых как минимум одна вершина не лежит на [latex]z=z_0[/latex] .

Ссылки

А58б. Нахождение значения функции

Задача. Дано действительное число [latex]a[/latex]. Для функций [latex]f\left( x \right)[/latex], графики которых представлены на рис. 1,а-1,г, вычислить [latex]f\left( a \right) [/latex].

%d0%b058%d0%b1

Тесты.

[latex]a[/latex] [latex]y[/latex]
-1 1
0 0
2 4
-2 0.25
1.6 2.56
7 4

Код программы (C++).

Код программы (Java).

Решение.
На графике функции указано, чему равна [latex]f\left( x \right)[/latex] на каждом участке. В данной программе мы по очереди проверяем, какому из них принадлежит [latex]f\left( a \right)[/latex] и выбираем соответствующую формулу для расчёта [latex]y[/latex]. Поскольку участков всего три, достаточно проверить, принадлежит ли точка к двум из них. Ели нет, то она, очевидно, лежит на третьем.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

А57г. Функция

Постановка задачи

Дано действительное число [latex]a[/latex]. Вычислить [latex]f(a)[/latex], если
[latex]f(x) = \begin{cases}0, & x \le 0;\\x^2 — x, & 0 < x \le 1;\\x^2 — \sin(\pi \cdot x^2), & x > 1 \end{cases}[/latex]

Алгоритм решения

Находим промежуток, которому принадлежит [latex]a[/latex]. Если [latex]a \in (-\infty;0][/latex], то [latex]f(a) = 0[/latex], если [latex]a \in (0;1][/latex], то [latex]f(a) = a^2 — a[/latex], в остальных случаях [latex]f(a) = a^2 — \sin(\pi \cdot a ^ 2)[/latex].

График функции:
function

Тесты

Входные данные Выходные данные
0 0
1 0
2 4

Реализация

ideone: ссылка

 

Ю11.12

Задача:
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Значения функции [latex]y=f\left(x\right)[/latex] заданы таблично в массиве [latex]Y\left(x\right)[/latex] при соответствующих значениях аргумента в упорядоченном массиве [latex]X\left(x\right)[/latex]. Найти значение функции в произвольной точке [latex]x[/latex] по формуле Лагранжа:
[latex]y={L}_{n}\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}{{y}_{i}\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}}[/latex]

Вводимые значения:

X: -1 0 1 2
Y: 1 2 3 -1

Код программы:

Код программы на Java:

 

Идея решения:
Использование отдельной функции, которой надо передать 3 параметра: значение аргумента, массив исходных значений аргумента и массив исходных значений функции при соответствующих аргументах. Эта функция возвращает значение многочлена Лагранжа при подстановки вместо [latex]x[/latex] конкретного значения.

В функции был использован внешний цикл for для вычисления суммы в формуле и внутренний цикл for для вычисления произведения [latex]\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}[/latex].

В программе мы разбиваем отрезок [-3, 3] на 101 отдельную точку и вычисляем значение полинома Лагранжа для каждой из этих точек. Выводим на экран.

График:ГрафикПолиномаЛагранжа

Комментарии: Точки выбраны специально. Мне просто захотелось увидеть, как выглядит график функции, которую мы разбирали на паре (кстати по той же самой теме =) ). График сделан в xls. Векторы выбраны по причине ограниченности массива.

А58г

Швандт Максим Альбертович
Швандт Максим Альбертович

Latest posts by Швандт Максим Альбертович (see all)

 Задача: Дано действительное число  [latex]a[/latex]. Для функции  [latex]f(x)[/latex], график которой представлен на рисунке, вычислить  [latex]f(a)[/latex].
График:
a
Тесты:

a f(a)
1 1
3.2 -0.015371
6 -0.027469
0 0
-1 1
-2.5 2.5
1.5 1
1.8 1
1.001 1

Код программы:

Код программы на языке Java:

Ссылка:http://ideone.com/e6UFys

Результат вычисляем по формуле:
[latex]y = ka + b[/latex] Программа состоит из следующих частей:

  1. Объявление переменных a, y, k, b типа float для хранения данных
  2. Ввод пользователем значений переменной а с помощью scanf
  3. Вычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значения а
  4. Завершение программы

Программа сравнивает значение переменной [latex]a[/latex] с значениями переменной [latex]x[/latex] на четырёх диапазонах, и в зависимости от диапазона использует для функции [latex]y = ka + b[/latex] нужные значения [latex]k[/latex] и [latex]b[/latex]. Так вычисляется [latex]f(a)[/latex].
Ссылка на ideone.com : http://ideone.com/N2toyp

А60б

Марченко Філіп Олександрович
Марченко Філіп Олександрович

Latest posts by Марченко Філіп Олександрович (see all)

Задача:  Пусть [latex]D[/latex] — заштрихованная часть плоскости и пусть [latex]u[/latex] определяется по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] следующим образом ( запись [latex](x, y)\epsilon D[/latex] означает, что точка с координатами [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] принадлежит [latex]D[/latex]):

[latex]u=\left\{\begin{matrix}-3, \text{if} (x, y)\epsilon D\\ y^{2} \end{matrix}\right.[/latex]

Даны действительные числа [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]. Определить  [latex]u[/latex].

Код на С++:

 

Тесты:

[latex]x[/latex] [latex]y[/latex] Результат

[latex]u[/latex]

[latex]0[/latex] [latex]0[/latex] [latex]-3[/latex]
[latex]0[/latex] [latex]1[/latex] [latex]1. 00[/latex]
[latex]1[/latex] [latex]0[/latex] [latex]-3[/latex]
[latex]-1[/latex] [latex]0[/latex] [latex]0. 00[/latex]
[latex]0[/latex] [latex]-1[/latex] [latex]-3[/latex]
[latex]0,6[/latex] [latex]0,8[/latex] [latex]0. 64[/latex]
[latex]0,5[/latex] [latex]-0,5[/latex] [latex]-3[/latex]

 

Код на Java:

 

 

Безымянный

Для того, чтобы определить находится ли нужная точка с координатами [latex](x,y)[/latex] в заштрихованной части графика, нужно задать такое условие, чтобы эта точка находилась в круге [latex]x^{2}+y^{2}=1[/latex] и была ниже прямой [latex]y=\frac{x}{2}[/latex].

Отсюда следует, что если [latex]x^{2}+y^{2}\leqslant1[/latex] и [latex]y\leqslant\frac{x}{2}[/latex], то точка принадлежит заштрихованной части круга.

Результат [latex]u[/latex] выводится с точностью до двух знаков после запятой.

Запустить код и проверить тесты можно тут: http://ideone.com/N3UoQ7.