e-olymp 209. Защита от копирования

Условие

Давным-давно, в далекой-далекой галактике, когда еще не вышел мультфильм про смешариков, никто не знал про Гарри Поттера и про Властелина Колец, на далекой-далекой планете жили-были полчища смешариков. Их технологии были настолько совершенны, что они создали машину времени и перенеслись на ней в будущее, на планету «Земля», где одному из них совершенно случайно попалась первая серия «Смешариков». Исследователей эта серия так потрясла, что они предприняли чрезвычайно опасный рейд, в ходе которого им удалось добыть полное собрание серий. Эти серии они увезли на родину, где они стали безумно популярными. К сожалению, мультфильмы были с системой защиты от копирования, а смешарики по своей законопослушной сущности не приспособлены к хакерской деятельности. Поэтому им пришлось обмениваться привезенными с Земли дисками.

Местная поп-звезда Билаш обиделся на такую популярность, к которой он не имел никакого отношения, и решил вернуть все в старое русло. Для этого Билаш хочет рассорить смешариков, чтобы они разделились на два не общающихся между собой лагеря. Для того, чтобы поссорить пару смешариков, Билашу требуется израсходовать $1$ у.е. усилий. Но, так как Билаш жутко ленив, он хочет приложить минимум усилий для достижения своей цели. Помогите ему.

Входные данные

На первой строке два числа $N$ $(N \le 100)$ и $M$ — количество смешариков и количество пар смешариков, которые обмениваются мультфильмами. На последующих $M$ строках перечисляются пары чисел $U$ и $V$, означающих, что смешарик $U$ и смешарик $V$ знакомы друг с другом и обмениваются мультфильмами.

Выходные данные

Вывести минимальное число у.е., которое придется затратить Билашу на достижение своей цели.

Тесты

Ввод Вывод
$5$ $5$
$1$ $2$
$3$ $2$
$2$ $4$
$3$ $5$
$2$ $5$
$1$
$5$ $5$
$1$ $3$
$3$ $5$
$5$ $2$
$2$ $4$
$4$ $1$
$2$
$2$ $1$
$2$ $1$
$1$

Код

Решение

Зададим связи между смешариками в виде графов, где сами смешарики являются вершинами, смежными в том случае, если они дружат. Тогда задача сводится к нахождению минимального количества ребер, которые необходимо удалить в графе, чтобы разбить его на две не связанные между собою компоненты. Такую постановку задачи полностью решает алгоритм Штор-Вагнера в несколько упрощенном виде, так как нам не нужно знать, какие именно ребра графа надо разорвать, а достаточно подсчитать их количество.

Ссылки

Условие на e-olymp.com
Код на ideone.com

e-olymp 93. Truck driving

Task

Umidsh Izadish is a truck driver and wants to drive from a city to another city while there exists a dedicated straight road between each pair of cities in that country. Amount of consumed fuel is the distance between two cities which is computed from their coordinates. There is a gas station in each city, so Umidsh can refuel the gas container of his truck. Your job is to compute the minimum necessary volume of gas container of Umidsh’s Truck.

Input data

The first line of input contains an integer, the number of test cases. Following, there are data for test cases. Each test case begins with a line containing one integer, $C$ $(2 ≤ C ≤ 200)$, which is the number of cities. The next $C$ lines each contain two integers $x$, $y$ $(0 ≤ x, y≤ 1000)$ representing the coordinate of one city. First city is the source city and second is the destination city of Umidsh.

Output data

There should be one line for each test case in output. Each line should contain one floating point number which is the minimum necessary volume of truck’s gas container, printed to three decimals.

Tests

Input Output
$2$
$2$
$0$ $0$
$3$ $4$
$3$
$17$ $4$
$19$ $4$
$18$ $5$
$5.000$
$1.414$
$1$
$3$
$4$ $5$
$4$ $6$
$4$ $7$
$1.000$
$2$
$4$
$0$ $1$
$0$ $-1$
$1$ $0$
$-1$ $0$
$3$
$8$ $9$
$0$ $1$
$14$ $14$
$1.414$
$11.314$
$3$
$2$
$1$ $1$
$1$ $2$
$5$
$8$ $6$
$3$ $3$
$4$ $1$
$7$ $7$
$5$ $0$
$3$
$1$ $1$
$1$ $3$
$2$ $5$
$1.000$
$5.657$
$2.000$

Code

Solution

We can interpretate the set of the cities as weighted graph, which vertices represent cities and weight of each edge between two vertices is the gas volume required for passing the distance between corresponding cities.
The volume of truck’s gas container depends on the gas volume required for arrival to the each next station of the Umidsh’s way. The maximum between gas volume required to get to the city $A$ and gas volume required to pass the way from the city $A$ to the city $B$ represents the minimum necessary gas volume required to get to the city $B$ through the city $A$. So the volume of truck’s gas container would turn to minimum, when the maximum gas volume required for passing the distance between each two stations of his way would turn to minimum. Thus we could use modified Dijkstra’s algorithm to find the biggest value among the weights of an edges between each two stations of the way between vertice 0 and vertice 1.

References

The task at E-Olymp
My solution at ideone

A1038. Дейкстра?

Задача: Имеется [latex]n [/latex] городов. Некоторые из них соединены дорогами известной длины. Вся система дорог задана квадратной матрицей порядка  [latex]n [/latex], элемент [latex]a_{ij} [/latex] которой равен некоторому отрицательному числу, если город [latex]i [/latex] не соединен напрямую дорогой с городом [latex]j [/latex] и равен длине дороги в противном случае latex [/latex].

  1. Для 1-го города найти кратчайшие маршруты в остальные города.
  2. В предположении, что каждый город соединен напрямую с каждым, найти кратчайший маршрут, начинающийся в 1-м городе и проходящий через все остальные города.

Входные данные:

4
-1 2 4 -1
2 -1 1 6
4 1 -1 1
-1 6 1 -1

Выходные данные:

1 > 2 = 2

1 > 3 = 3

1 > 4 = 4

Длина кратчайшей цепи, проходящей через все вершины 4

Ссылка на ideone: http://ideone.com/iXjoLZ

Решение:

Алгоритм: Для решения задачи применим алгоритм Дейкстры. Применяя этот алгоритм мы считаем что у нас нету ребер с отрицательным весом. Если вес ребра отрицательный, то его просто не существует (по условию задачи). Вводим матрицу смежности графа и проверяем является ли граф полным (для задания 2). Если граф является полным, то ищем для каждой вершины инцидентное ребро с минимальным весом и суммируем (задание 2). В цикле каждой вершине присваиваем минимально расстояние до нее от первой вершины и записываем в массив (задание 1).

e-olymp 1947. Конденсация графа

Условие задачи:

Для заданного ориентированного графа найти количество ребер в его конденсации.

Конденсацией орграфа G называют такой орграф G’, вершинами которого служат компоненты сильной связности G, а дуга в G’ присутствует только если существует хотя бы одно ребро между вершинами, входящими в соответствующие компоненты связности.

Конденсация графа не содержит кратных ребер.

Входные данные:

Первая строка содержит два натуральных числа n и m (n10000, m100000) — количество вершин и ребер графа соответственно. Каждая из следующих m строк содержит описание ребра графа. Ребро номер i описывается двумя натуральными числами [latex]b_{i}[/latex], [latex]e_{i}[/latex](1 ≤ [latex]b_{i}[/latex], [latex]e_{i}[/latex] ≤ n) — номерами начальной и конечной вершины соответственно. В графе могут присутствовать кратные ребра и петли.

Выходные данные:

Количество ребер в конденсации графа.

Тесты:

Входные данные Выходные данные
4 4 2
2 1
3 2
2 3
4 3
6 9 1
1 2
2 4
4 1
4 2
3 2
2 6
3 5
5 3
6 2

Описание решения задачи:

Компонентой сильной связности называется такое подмножество вершин C, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга. Отсюда следует, что конденсация это граф, получаемый из исходного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Отсюда имеем структуру [latex]vertex[/latex]. Основным фундаментом данного алгоритма является следующая теорема: Пусть [latex]C[/latex] и [latex]{C}'[/latex] — две различные компоненты сильной связности, и пусть в графе конденсации между ними есть ребро ([latex]C[/latex],[latex]C'[/latex]). Тогда время выхода из [latex]C[/latex] будет больше, чем время выхода из [latex]{C}'[/latex]. Базируясь на этом, выполним серию обходов в глубину с помощью функции [latex]dfs[/latex] _ [latex]g[/latex], посещая весь граф. С визитом всех вершин графа,запоминаем для каждой время выхода, записывая это в созданный [latex]list[/latex]. Далее строится транспонированный граф. Запускаем серию обходов в глубину(функция [latex]dfs[/latex] _ [latex]tg[/latex]) этого графа в порядке, определяемом списком [latex]list[/latex] (а именно, в обратном порядке, т.е. в порядке уменьшения времени выхода). Каждое множество вершин, достигнутое в результате рекурсивного запуска обхода, и будет очередной компонентой сильной связности. Окрасим все вершины каждой сильной компоненты связности в один уникальный цвет, для этого зададим в структуре параметр [latex]colour[/latex]. Число цветов окраски будет равно количеству компонент сильной связности. Далее перебираем все ребра исходного графа. Если ребро соединяет вершины разного цвета, то оно принадлежит конденсации графа. Для каждого ребра ([latex]a[/latex], [latex]b[/latex]), для которого [latex]components[a].colour[/latex] [latex]≠[/latex] [latex]components[b].colour[/latex], занесем во множество [latex]ribs[/latex] данную пару. Количество элементов во множестве [latex]ribs[/latex] будет равняться числу ребер в конденсации графа.

Условие задачи
Код задачи на с++
Засчитанное решение на e-olymp

Код Хаффмана

Задача

Дана строка, после которой следует символ перехода на следующую строку (далее — endl. Вывести:

  1. Код графа на языке DOT, иллюстрирующий кодирование символов строки;
  2. Символы строки и соответствующие им коды Хаффмана;
  3. Закодированную строку.

Входные данные

Некоторая последовательность символов и endl.

Выходные данные

  1. Код графа на языке DOT, иллюстрирующий кодирование символов строки;
  2. Символы строки и соответствующие им коды Хаффмана;
  3. Закодированная строка.

Тест

Входные данные Выходные данные
MOLOKO KIPIT digraph G {
"'MLO KITP', 12, code: ''" -> "'MLO', 5, code: '0'" [ label = "0" ];
"'MLO KITP', 12, code: ''" -> "' KITP', 7, code: '1'" [ label = "1" ];
"'MLO', 5, code: '0'" -> "'ML', 2, code: '00'" [ label = "0" ];
"'MLO', 5, code: '0'" -> "'O', 3, code: '01'" [ label = "1" ];
"'ML', 2, code: '00'" -> "'M', 1, code: '000'" [ label = "0" ];
"'ML', 2, code: '00'" -> "'L', 1, code: '001'" [ label = "1" ];
"' KITP', 7, code: '1'" -> "' K', 3, code: '10'" [ label = "0" ];
"' KITP', 7, code: '1'" -> "'ITP', 4, code: '11'" [ label = "1" ];
"' K', 3, code: '10'" -> "' ', 1, code: '100'" [ label = "0" ];
"' K', 3, code: '10'" -> "'K', 2, code: '101'" [ label = "1" ];
"'ITP', 4, code: '11'" -> "'I', 2, code: '110'" [ label = "0" ];
"'ITP', 4, code: '11'" -> "'TP', 2, code: '111'" [ label = "1" ];
"'TP', 2, code: '111'" -> "'T', 1, code: '1110'" [ label = "0" ];
"'TP', 2, code: '111'" -> "'P', 1, code: '1111'" [ label = "1" ];
}

Codes of letters:
'O'(01) 'K'(101) 'I'(110) 'T'(1110) 'P'(1111) 'M'(000) 'L'(001) ' '(100)

Encoded string:
00001001011010110010111011111101110

Код программы

Решение задачи

Для начала считываем посимвольно строку и запоминаем её, параллельно запоминая частоты появлений символов в ней в массиве count. Останавливаем считывание, когда встречается endl. После этого отсортировуем массив count в порядке убывания частот.

После этого элементы массива count, которые имеют ненулевую частоту, преобразовываем в элементы вектора tree (при этом символы конвертируются в строки), который после сортируется в порядке возрастания частот. Затем обрабатываем массив по алгортиму Хаффмана, объединяя элементы вектора с номерами [latex]j[/latex], [latex]j+1[/latex] в новый (который будет представлять собой структуру из конкатенации строк ранее упомянутых элементов и суммы их частот, а так же номеров его «предков»). После этого вектор вновь сортируется по частотам/суммам частот в порядке возрастания начиная с номера[latex]j+2[/latex], при этом элементы, которые имеют больший размер строк будут иметь меньший приоритет.

Такой алгоритм приводит к тому, что элементы с меньшей частотой/суммой частот не затрагиваются при добавлении новых, и система индексов (условных указателей на «предков») не нарушается.

После этого, используя поиск в глубину, кодируем элементы массива tree, начиная с последнего (строка которого в результате использования алгоритма всегда оказывается объединением всех символов). Остальная часть решения поставленной задачи — вопрос техники.

Ссылки

e-olimp 4852. Кратчайшее расстояние

Задача

Дан ориентированный граф. Найдите кратчайшее расстояние от вершины x до всех остальных вершин графа.

Входные данные

В первой строке содержатся два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]x[/latex]  [latex]\left ( 1\leq n\leq 1000,1\leq x\leq n \right )[/latex] — количество вершин в графе и стартовая вершина соответственно. Далее в [latex]n[/latex] строках по [latex]n[/latex] чисел — матрица смежности графа: в [latex]i[/latex]-ой строке на [latex]j[/latex]-ом месте стоит [latex]1[/latex], если вершины [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] соединены ребром, и [latex]0[/latex], если ребра между ними нет. На главной диагонали матрицы стоят нули.

Выходные данные

Выведите через пробел числа [latex]d_1,d_2,[/latex][latex]\ldots[/latex][latex],d_i[/latex], где [latex]d_i[/latex] равно[latex]-1[/latex], если путей между [latex]x[/latex] и [latex]i[/latex] нет, в противном случае это минимальное расстояние между [latex]x[/latex] и [latex]i[/latex].

Тесты 

 Входные данные  Выходные данные
3 1
0 1 0
0 0 0
0 0 0
 0 1 -1
6 5
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
2 2 1 1 0 -1
3 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 1 2

 

Реализация

Засчитанное решение на e-olimp.com

Код на ideone.com

Решение

Для решения данной задачи необходимо применить  алгоритм Дейкстры . А именно, мы храним в массиве текущую длину наиболее короткого пути из заданной вершины во все остальные вершины графа. Положим, что изначально длина такого пути равна бесконечности ( при реализации просто используем достаточно большое число). А длина пути из заданной вершины до самой себя равна нулю. Обозначим, что вершина может быть помечена или не помечена. Изначально все вершины являются не помеченными. Далее выбираем  вершину [latex]v[/latex] с наименьшей длиной пути до заданной вершины и помечаем ее. Тогда просматриваем все ребра, исходящие из вершины [latex]v[/latex]. Пусть эти ребра имеют вид  [latex]\left ( v,t_0 \right )[/latex]. Тогда для каждой такой вершины [latex]t_0[/latex] пытаемся найти наиболее коротки путь из заданной вершины. После чего снова выбираем еще не помеченную вершину и проделываем вышеописанный алгоритм снова до тех пор, пока не останется не помеченных вершин. Найденные расстояния и будут наименьшими.