e-olymp 48. Красные и синие квадраты

Задача

Петя и Вася готовились к контрольной работе по теме ”Периметр и площадь фигур”. Петя нарисовал геометрическую фигуру, закрасив на листе в клеточку некоторые клеточки синим цветом, а Вася вычислял периметр образованной фигуры и дорисовывал максимальное количество квадратов красным цветом таким образом, чтобы периметр новообразованной фигуры оставался таким же.
Напишите программу, которая по заданным координатам закрашенных синих квадратов найдет максимальное количество красных квадратов, которое можно дорисовать так, чтобы периметр новообразованной фигуры не изменился.

Входные данные

В первой строке находится количество синих квадратов $n$ ($0 < n < 40404$). Далее идут $n$ строк, каждая из которых содержит координаты $x$, $y$ ($-101 \leq x, y \leq 101$) левых нижних углов синих квадратов.

Каждый синий квадрат имеет хотя бы одну общую точку хотя бы с одним другим синим квадратом. Фигура, образованная синими квадратами, является связной.

Выходные данные

Вывести количество красных квадратов.

Тесты

Входные данные
Выходные данные
$3$
$1$ $2$
$2$ $1$
$3$ $1$
$3$
$3$
$1$ $1$
$2$ $2$
$1$ $3$
$6$
$10$
$1$ $1$
$2$ $2$
$1$ $3$
$2$ $4$
$1$ $5$
$2$ $6$
$1$ $7$
$2$ $8$
$1$ $9$
$2$ $10$
$90$

Код программы

Решение задачи

Для начала, нужно понять, что для каждой связной фигуры, составленной из одинаковых квадратов, существует как минимум один прямоугольник с таким-же периметром, что и фигура. Тогда каждую фигуру можно будет достраивать до прямоугольника, сохраняя периметр.

Чтобы доказать это, пусть сторона квадрата равна $1$. Тогда периметр фигуры, составленной из этих квадратов, всегда будет делится на $2$ (это легко понять, строя такие фигуры на листке бумаги: добавление каждого нового квадрата в фигуру может изменить периметр только на $-4, -2, 0, 2, 4$). А так как периметр прямоугольника равен $2 * (a + b)$, где $a, b$ – стороны прямоугольника, то для существования прямоугольника с таким-же периметром должно выполняться условие $\forall p \in \mathbb{N} , p > 2 \rightarrow \exists a,b \in \mathbb{N} : 2p = 2*( a + b )$. Очевидно, что условие действительно выполняется для всех $p>2$.

Запишем нашу фигуру в массив squares. После чего посчитаем ее периметр: каждый непустой квадратик фигуры добавляет $1$ к периметру за каждую пустую клеточку слева, справа, сверху или снизу от него. Далее будем искать все подходящие прямоугольники, записывая максимальную площадь в переменную max: перебирая значения первой стороны $j$, высчитываем через периметр вторую сторону $i = \displaystyle \frac{p}{2} — j$. Площадь будем считать, как разницу площади прямоугольника и изначальной фигуры (число $n$ равно площади фигуры, потому что площадь каждого квадрата равна $1$).
В конце, выводим разницу максимальной площади и площади изначальной фигуры (площадь изначальной фигуры равна $n$, ведь площадь каждого квадрата равна $1$).

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

e-olymp 2612. Разрезание на квадраты

Задача

Полоска бумаги имеет размеры [latex]A×B[/latex]. Каждый раз от нее отрезается квадрат максимального размера до тех пор, пока не получится квадрат. Сколько квадратов получится?

Входные данные

Программе даны числа [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] [latex](1 ≤ A, B ≤ 10^9).[/latex]

Выходные данные

Требуется вывести количество квадратов.

Тесты

Входные данные Выходные данные
12 4 3
15 3 5
20 20 1
8 12 3

Код программы

 

Решение задачи

Нам было дана высота и ширина полоски бумаги. Есть три варианта:

  • Высота равна ширине
  • Высота больше ширины
  • Высота меньше ширины

В первом случае нам надо вывести на экран единицу. Во втором случаем начинаем вычитать a - b до того момента, как a не будет меньше b или a не будет равняться 0. В третьем случае начинаем вычитать b - a до того момента, как b не будет меньше a или b не будет равняться 0.

Ссылки

  • Задача на сайте e-olymp
  • Код решения в Ideone

e-olymp 8. Спички

Задача

Какое минимальное количество спичек необходимо для того, чтобы выложить на плоскости [latex]n[/latex] квадратов со стороной в одну спичку? Спички нельзя ломать и класть друг на друга. Вершинами квадратов должны быть точки, где сходятся концы спичек, а сторонами – сами спички.

Напишите программу, которая по количеству квадратов [latex]n[/latex], которое необходимо составить, находит минимальное необходимое для этого количество спичек.

Входные данные

Одно целое число [latex]n[/latex] [latex](1 ≤ n ≤ 10^9)[/latex].

Выходные данные

Вывести минимальное количество спичек, требуемых для составления [latex]n[/latex] квадратов.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]1[/latex] [latex]4[/latex]
[latex]2[/latex] [latex]7[/latex]
[latex]4[/latex] [latex]12[/latex]
[latex]7[/latex] [latex]20[/latex]
[latex]150[/latex] [latex]325[/latex]
[latex]10000[/latex] [latex]20200[/latex]

Код программы

Решение задачи

Один квадрат можно составить из [latex]4[/latex] спичек. Два квадрата — из [latex]7[/latex] спичек. Очевидно, что квадраты следует располагать так, чтобы они образовывали прямоугольник, “близкий” к квадрату.
Например, на рисунке 1 мы использовали меньшее количество спичек, чем на рисунке 2, хотя количество квадратов одинаковое:

Зададим размеры прямоугольника. Пусть [latex]width = \sqrt n[/latex] — его ширина. Округлим значение [latex]width[/latex] к наибольшему целому числу, не превышающему данное. Тогда его длина будет [latex]length = \frac {n} {width}[/latex]. Если округлить значение [latex]length[/latex] к наибольшему целому числу, не превышающему данное, то мы сможем построить лишь те квадраты, которые входят в наш прямоугольник. Округляя же значение [latex]length[/latex] к наименьшему целому числу, которое не меньше данного, мы сможем достроить квадраты, не поместившиеся в наш прямоугольник.
Если отложить вниз количество спичек, равное [latex]width[/latex], и вправо — [latex]length[/latex], получается следующий рисунок (разумеется, количество отложенных спичек меняется в зависимости от [latex]n[/latex]):

Очевидно, что достроить треубемые квадраты можно, положив «уголки» из двух спичек, начиная с левого верхнего угла и двигаясь сверху вниз и слева направо.
«Уголок»:

Отсюда и получается формула: [latex]k = 2 \cdot n + length + width [/latex], где [latex]k[/latex] — количество спичек, требуемое в задаче.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения