Mif 17.15

Задача Mif17.15

Условие задачи

Принадлежит ли точка [latex](x, y)[/latex] фигуре на рисунке?

Viktoriya_Kudymovskaya (1)

Входные данные

В одной строке задано два числа – координаты точки latex[/latex].

Выходные данные

Вывести: «Принадлежит» или «Не принадлежит»(без кавычек).

Также условие задачи можно посмотреть здесь.

Тестирование

Входные данные Выходные данные
1. 1.5 7 Не принадлежит
2. 3 4 Не принадлежит
3. 2 -3.6 Принадлежит
4. 5 0 Принадлежит
5. 0 1 Не принадлежит
6. 0 -4 Не принадлежит
7. 3 3 Принадлежит
8. 2 3 Принадлежит

Реализация

Алгоритм решения

Пусть на плоскости дан треугольник [latex]ABC[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex] и [latex]C(x_3, y_3)[/latex]. А  [latex]D(x, y)[/latex] — произвольная точка на координатной плоскости. Положим, [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex] — векторы.

  1. Для того, чтобы точка [latex]D(x, y)[/latex] принадлежала данному треугольнику, необходимо, чтобы псевдоскалярное (косое) произведение соответствующих векторов было больше или же меньше нуля.
  2. Если векторы заданы своими координатами [latex]a(x_1, y_1), b(x_2, y_2)[/latex], то их косое произведение [latex][a,b]=x_1\cdot y_2 — x_2\cdot y_1[/latex]. Пользуясь данной формулой, запишем косое произведение векторов [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex]: [latex]k=x_1y_2 — x_2y_1 — x_1y + xy_1 + x_2y — xy_2=(x_1 — x)\cdot (y_2 — y_1) — (x_2 — x_1)\cdot (y_1 — y)[/latex].
  3. Далее запишем косое произведение векторов [latex]B(x_2, y_2)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex]: [latex]m=x_2y_3 — x_3y_2 — x_2y + xy_2 + x_3y — xy_3=(x_2 -x)\cdot (y_ 3- y_2) — (x_3 — x_2)\cdot (y_2 — y)[/latex].
  4. Запишем косое произведение векторов [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex] : [latex]n=x_1y_3 — x_3y_1 — x_1y + xy_1 + x_3y — xy_3=(x_3 — x)\cdot (y_1 — y_3) — (x_1 — x_3)\cdot (y_3 — y)[/latex].
  5. Если [latex]k \leq 0 [/latex] и [latex]m \leq 0[/latex] и [latex]n \leq 0[/latex]  или [latex]k \geq 0[/latex] и [latex]m \geq 0[/latex] и [latex]n \geq 0[/latex], то делаем вывод: точка принадлежит треугольнику.
  6. Если ни одно из вышеуказанных условий не выполняется, то точка не принадлежит треугольнику.

Ознакомиться с теоретическим материалом можно здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.

Ю2.6

Условие

Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан координатами своих вершин на плоскости: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c)[/latex], [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. Определить тип четырёхугольника: прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Учесть погрешность вычислений.

Замечание:  Для устранения дополнительных источников погрешности рекомендуется использовать аппарат векторной алгебры: коллинеарность, равенство и ортогональность векторов — сторон четырёхугольника.

Входные данные

В одной строке заданы 8 чисел [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] — координаты вершин четырёхугольника [latex]ABCD[/latex],  значения которых не превышают по модулю [latex]50[/latex].

Выходные данные

  1. В первой строке вывести: «Тип четырёхугольника: «(без кавычек).
  2. Во второй строке вывести:  «Произвольный четырёхугольник» или «Прямоугольник» или «Параллелограмм» или «Трапеция»(без кавычек). Одно исключает другое.

Также условие задачи можно посмотреть, скачав ознакомительную версию задачника А.Юркина здесь.

Тестирование

Координаты [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] Вердикт (тип четырёхугольника)
1. -5 -4 -1 -2 -4 3 -1 -8 Параллелограмм
2.  -2 -3 7 3 -2 1 7 1  Трапеция
 3. 0 0 1 1 0 1 1 0  Прямоугольник
 4.  50 -20 3 -50 7 6 2 3  Произвольный четырёхугольник
5. 2 -3 -6 -1 4 7 6 3 Параллелограмм
6. 1 -5 6 20 2 0 13 -9 Произвольный четырёхугольник
7. 0 1 2 1 0 1 1 0 Параллелограмм
8. -6 0 6 0 1 5 -4 -8 Прямоугольник

Реализация

Алгоритм решения

  1. Задан четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex], [latex]C(x_c,y_c)[/latex] и [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. В данной задаче будет уместным использование аппарата векторной алгебры.  Пусть стороны четырёхугольника — векторы.
  2. Очевидно, что для того, чтобы определить тип данного четырёхугольника, необходимо воспользоваться известными свойствами, а именно: свойствами прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Так как в задаче используется аппарат векторной алгебры, обращаемся к таким свойствам векторов, как коллинеарность и равенство.
  3. Сразу же установим: является ли четырёхугольник трапецией. Проверим одну из двух пар сторон на параллельность. Для этого воспользуемся условием коллинеарности векторов на плоскости: [latex]\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}[/latex], если [latex]a_i, b_i\ne0[/latex].  Координаты векторов [latex]\vec{b}[/latex] и [latex]\vec{d}[/latex] должны быть пропорциональны, что означает, что соответствующие стороны параллельны. Следовательно, [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Или же координаты векторов [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{c}[/latex] должны быть пропорциональны. Проверяем: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex]. Если условие не выполняется, четырёхугольник произвольный. Если, напротив, координаты хотя бы одной пары векторов пропорциональны, четырёхугольник является трапецией.
  4. Если четырёхугольник — параллелограмм, то обе пары его противоположных сторон параллельны. Проверим, выполняется ли: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex] и [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Если условие выполняется, то заданный четырёхугольник — параллелограмм.
  5. Частным случаем параллелограмма является прямоугольник. Диагонали [latex] AC, BD[/latex] обозначим как [latex] l, m[/latex] соответственно. Пусть [latex] l, m[/latex] — векторы.  Вычислим длины векторов [latex]\vec{l}[/latex], [latex]\vec{m}[/latex], пользуясь формулой.  Получаем: [latex]\vec{|l|}= \sqrt{(x_c — x_a)\cdot (x_c -x_a) + (y_c — y_a)\cdot (y_c -y_a)}[/latex], [latex]\vec{|m|}= \sqrt{(x_d — x_b)\cdot (x_d -x_b) + (y_d — y_b)\cdot (y_d -y_b)}[/latex]. При условии, что [latex]\vec{l}=\vec{m}[/latex], имеем прямоугольник.

Более детально со свойствами и видами четырёхугольников можно ознакомиться здесь, а с основными сведениями из векторной алгебры — здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.