e-olymp 112. Торт

В честь дня рождения наследника Тутти королевский повар приготовил огромный праздничный торт, который был подан на стол Трем Толстякам. Первый толстяк сам мог бы целиком его съесть за $t_1$ часов, второй — за $t_2$ часов, а третий — за $t_3$ часов.

Сколько времени потребуется толстякам, чтобы съесть весь праздничный торт вместе?

Входные данные

Единственная строка содержит три целых неотрицетельных числа $t_1$, $t_2$ и $t_3$, каждое из которых не превосходит $10000$.

Выходные данные

Вывести время в часах, за которое толстяки вместе могут съесть торт. Результат округлить до двух десятичных знаков.

TESTS

$t_1$

$t_2$

$t_3$

$t$

3 3 3 1.00
4 67 50 3.51
228.22 8 2.28 1.76
1577 157.7 15.77 14.21

C ветвлением:

Без ветвления:

 

Решение с ветвлением

Первый толстяк ест со скоростью один торт за $t_1$ часов. Аналогично и с остальными толстяками. Тогда из торта следует вычесть те части, которые съест каждый, чтобы торта не осталось. Получается уравнение
$1-\frac{t}{t_1}-\frac{t}{t_2}-\frac{t}{t_3}=0;$
$\frac{t}{t_1}+\frac{t}{t_2}+\frac{t}{t_3}=1;$
$\frac{tt_2t_3+tt_1t_3+tt_1t_2}{t_1t_2t_3}=1;$
$t\left(t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3\right)=t_1t_2t_3;$
$t = \frac{t_1t_2t_3}{t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3};$
Рассматриваем случай, при котором одна из переменных равна нулю, тогда выводим ноль. В противном случае выводим значение $t$ с округлением до сотых.

Решение без ветвления

Так как по условию задачи первый толстяк съедает весь торт за $t_1$ часа, второй — за $t_2$ часа и третий — за $t_3$ часа, то их скорость поедания торта составит $\frac{1}{t_1}$, $\frac{1}{t_2}$ и $\frac{1}{t_3}$ торта в час соответсвенно. Если толстяки будут есть торт одновременно, то в час они будут съедать $\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}\right)$ часть торта. Тогда весь торт будет съеден за $\frac{1}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}}$ часов.
Затем нужно вывести результат, округлённый до двух десятичных знаков. Для этого воспользуемся функцией setprecision() и её аргументом fixed

Ссылки

Условие задачи e-olymp
Код решения

MLoop 1

Условие

Используйте метод бисекции для того, чтобы отыскать с точностью [latex]\varepsilon[/latex] все действительные корни уравнения [latex]\ln{(1 + x^2 -\sin{x})} = 3^{\cos{2x}}[/latex]. Для подготовки необходимых графиков воспользуйтесь этим ресурсом.

График

save (1)

Тесты

Точность [latex]\epsilon[/latex] Корень на [latex](-4; -3)[/latex] Корень на [latex](-3; -2)[/latex] Корень на [latex](-1; 0)[/latex] Корень на [latex](1; 2)[/latex] Корень на [latex](2; 3)[/latex] Корень на [latex](3; 4)[/latex]
0.1 -3.40625 -2.78125 -0.84375 1.21875 2.71875 3.40625
0.01 -3.42578 -2.75391 -0.839844 1.21484 2.72266 3.41016
0.001 -3.42627 -2.75439 -0.836426 1.21729 2.72021 3.41357
0.0001 -3.42636 -2.75443 -0.836884 1.21707 2.72061 3.41391

Код

 

Решение

Рассмотрим функцию [latex]f(x) = \ln{(1 + x^2 -\sin{x})} — 3^{\cos{2x}}[/latex]. По графику видно, что функция имеет 6 нулей. Таким образом, уравнение имеет 6 корней, которые находятся на интервалах  [latex](-4; -3)[/latex], [latex](-3; -2)[/latex], [latex](-1; 0)[/latex], [latex](1; 2)[/latex], [latex](2; 3)[/latex], [latex](3; 4)[/latex] соответственно. Так как корней довольно много, чтобы не копировать 6 раз алгоритм поиска корня, вынесем его в отдельную функцию [latex]findRoot[/latex], у которой будет 3 параметра: начало отрезка [latex]a[/latex], его конец [latex]b[/latex] и заданная точность [latex]\epsilon[/latex].

 

Далее воспользуемся методом бисекции : рассмотрим значение функции на середине отрезка (в точке [latex]\frac{a + b}{2}[/latex]) и в точке [latex]a[/latex]. Если их произведение равно нулю, то [latex]\frac{a + b}{2}[/latex] — корень уравнения, если меньше, корень — на промежутке [latex](a; \frac{a + b}{2})[/latex], больше — на промежутке [latex](\frac{a + b}{2}; b)[/latex]. Меняем координаты начала и конца отрезка на соответствующие, продолжаем, пока не будет найден корень или достигнута необходимая точность.

Ссылки

Рабочая версия кода на Ideaone.com.