e-olymp 239. Треугольники

Задача

На плоскости задано [latex]n[/latex] точек с целочисленными координатами. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Определить [latex]k[/latex] — количество треугольников с вершинами в заданных точках и целочисленной площадью.

Входные данные

В первой строке содержится число [latex]n[/latex]. В последующих [latex]n[/latex] строках содержаться пары целых чисел — координаты очередной точки [latex](x_i, y_i)[/latex]. Известно, что [latex]0 < n, |x_i|,|y_i| \leq 5000 [/latex].

Выходные данные

Искомое число [latex]k[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 -1
3 0
0 4
-3 0
-2 1
6
5
0 0
2 4
6 6
10 34
-42 -48
10
4
0 0
0 1
1 0
1 1
0
8
0 0
2 2
1 1
3 3
0 1
2 1
1 0
1 2
24
5
0 0
0 1
-1 0
-1 -1
3 -3
3

 

Решение задачи

Учитывая теорему Пика, получаем, что площадь каждого из треугольников, которые можно составить, либо равна целому числу, либо помимо целой части содержит [latex]\frac{1}{2}[/latex].  Нас интересует лишь четность псевдоскалярного(косого) произведения. Берем у всех координат остаток от деления на [latex]2[/latex]. Получаем не более [latex]4[/latex] различных точек: [latex] (0;0), (0;1), (1;0), (1;1)[/latex]. Составляем все возможные треугольники из полученных точек, и считаем те, у которых формула дает четное число, учитывая количество координат каждого типа.

Ссылки

Условие задачи на сайте  E-Olymp

код задачи на Ideone

описание теоремы Пика на Wikipedia

описание псевдоскалярного произведения на Wikipedia

Mif 17.15

Задача Mif17.15

Условие задачи

Принадлежит ли точка [latex](x, y)[/latex] фигуре на рисунке?

Viktoriya_Kudymovskaya (1)

Входные данные

В одной строке задано два числа – координаты точки latex[/latex].

Выходные данные

Вывести: «Принадлежит» или «Не принадлежит»(без кавычек).

Также условие задачи можно посмотреть здесь.

Тестирование

Входные данные Выходные данные
1. 1.5 7 Не принадлежит
2. 3 4 Не принадлежит
3. 2 -3.6 Принадлежит
4. 5 0 Принадлежит
5. 0 1 Не принадлежит
6. 0 -4 Не принадлежит
7. 3 3 Принадлежит
8. 2 3 Принадлежит

Реализация

Алгоритм решения

Пусть на плоскости дан треугольник [latex]ABC[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex] и [latex]C(x_3, y_3)[/latex]. А  [latex]D(x, y)[/latex] — произвольная точка на координатной плоскости. Положим, [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex] — векторы.

  1. Для того, чтобы точка [latex]D(x, y)[/latex] принадлежала данному треугольнику, необходимо, чтобы псевдоскалярное (косое) произведение соответствующих векторов было больше или же меньше нуля.
  2. Если векторы заданы своими координатами [latex]a(x_1, y_1), b(x_2, y_2)[/latex], то их косое произведение [latex][a,b]=x_1\cdot y_2 — x_2\cdot y_1[/latex]. Пользуясь данной формулой, запишем косое произведение векторов [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]B(x_2, y_2)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex]: [latex]k=x_1y_2 — x_2y_1 — x_1y + xy_1 + x_2y — xy_2=(x_1 — x)\cdot (y_2 — y_1) — (x_2 — x_1)\cdot (y_1 — y)[/latex].
  3. Далее запишем косое произведение векторов [latex]B(x_2, y_2)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex]: [latex]m=x_2y_3 — x_3y_2 — x_2y + xy_2 + x_3y — xy_3=(x_2 -x)\cdot (y_ 3- y_2) — (x_3 — x_2)\cdot (y_2 — y)[/latex].
  4. Запишем косое произведение векторов [latex]A(x_1, y_1)[/latex], [latex]C(x_3, y_3)[/latex] и [latex]D(x, y)[/latex] : [latex]n=x_1y_3 — x_3y_1 — x_1y + xy_1 + x_3y — xy_3=(x_3 — x)\cdot (y_1 — y_3) — (x_1 — x_3)\cdot (y_3 — y)[/latex].
  5. Если [latex]k \leq 0 [/latex] и [latex]m \leq 0[/latex] и [latex]n \leq 0[/latex]  или [latex]k \geq 0[/latex] и [latex]m \geq 0[/latex] и [latex]n \geq 0[/latex], то делаем вывод: точка принадлежит треугольнику.
  6. Если ни одно из вышеуказанных условий не выполняется, то точка не принадлежит треугольнику.

Ознакомиться с теоретическим материалом можно здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.