e-olymp 4812. Функция

Задача

Функция [latex]f(x)[/latex] определена следующим образом:
[latex]f\left(x\right)= \sin x + \sqrt{\log_{4}3x}+ \lceil 3e^x \rceil[/latex] Вычислите значение [latex]f(x)[/latex] для заданного [latex]x[/latex].

Входные данные

Каждая строка содержит действительное значение [latex]x (x ≥ 1)[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения x выведите в отдельной строке [latex]f(x)[/latex] с 6 десятичными знаками.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1
2.3
2.56
7.123456
10.731685
31.926086
40.762019
3725.231017

Код программы

Решение задачи

График функции

График функции $f\left(x\right) = \sin x + \sqrt{\log_{4}3x}+ \lceil 3e^x \rceil$

Для решения этой задачи я считывал каждое число из потока ввода и передавал значение в функцию, которая возвращало нужное значение, после чего выводил на экран полученное значение с округлением до 6-го знака после запятой. Использовал стандартную библиотеку <cmath>, для вычисления синуса, корня, логарифма, нахождения экспоненты и округления вверх.

Ссылки

  • Задача на сайте e-olymp
  • Код решения в Ideone

e-olymp 165. Симметрия

Задача

Предприимчивая и умелая рукодельница решила подзаработать изготовлением «фенечек» из бисера. Любительница симметрии в искусстве, она использовала в своих орнаментах бусинки разных цветов (будем обозначать цвет целым положительным числом) по следующим правилам:

1) при длине ряда рисунка равной [latex]1[/latex] использовала бусинку первого цвета;

2) при длине ряда рисунка равной [latex]3[/latex] использовала бусинки двух цветов: [latex]1 2 1[/latex];

3) при необходимости добавления в рисунок еще одного цвета строился ряд: [latex]1 2 1 3 1 2 1[/latex] и так всякий раз в зависимости от числа используемых цветов, например, при использовании четырех цветов: [latex]1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1[/latex].

Напишите программу, которая помогла бы автоматизировать подбор цвета бусинки в ряду по её порядковому номеру.

Входные данные

В первой строке целое число [latex]k[/latex] [latex] (1 ≤ k ≤ 10^9) [/latex] – номер бусинки, цвет которой нужно определить, в ряду рисунка. Нумерация бусинок в ряду начинается с единицы.

Выходные данные

В первой строке одно целое число – номер цвета заданной бусинки.

 

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 [latex]10[/latex] [latex]2[/latex]
2 [latex]116[/latex] [latex]3[/latex]
3 [latex]1[/latex] [latex]1[/latex]
4 [latex]454[/latex] [latex]2[/latex]
5 [latex]12301230[/latex] [latex]2[/latex]

 

Код программы

 

Решение задачи

Рассматривая ряды с большим количеством цветов можно заметить закономерность: каждый чётный элемент равен единице, каждый последующий новый цвет будет на месте [latex]n·2[/latex]. Отсюда следует соответствие [latex]n[/latex] и [latex]2^{n-1}[/latex]. Формула для нахождения среднего элемента — [latex]\log_{2}n[/latex]. Программа будет искать средний элемент всегда, пока не найдёт нужный нам. Для чисел, из которых целый логарифм извлечь нельзя, найдем ближайший к нему и от числа отнимем [latex]2[/latex] в степени [latex]\log_{2}n[/latex]. К полученному ответу добавляем единицу, из-за приведённой ранее формулы [latex]2^{n-1}[/latex], и получаем правильный ответ.

Ссылки

• Задача на e-olymp.

• Решение на сайте ideone.

MLoop 17

Задача

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Входные данные

В одной строке заданы значение переменной [latex]x[/latex] и точность вычислений [latex]\varepsilon[/latex].
[latex]\left | x \right |< 1[/latex]

Выходные данные

Значение функции в точке [latex]x[/latex] .

Тесты

[latex]\varepsilon[/latex] [latex]x[/latex]  [latex]ln(1-x^2)[/latex] Результат
0.001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287435
0.0001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287671
0.01 0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.001 -0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.1 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0
0.01 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0

 

Код программы

ideone.com

 

Решение

Функцию [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] можно представить в виде:
[latex]ln\left ( 1-x^2 \right )= ln\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right ) = ln\left ( 1-x \right )+ln\left ( 1+x \right )[/latex] (по свойствам логарифма).

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора  для натурального логарифма с опорной точкой [latex]x_{0}=0[/latex] (ряд Маклорена). Для функции [latex]ln\left (1+x\right )[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]ln\left (1+x\right )=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}[/latex]

Подставив в формулу [latex]-x[/latex] вместо [latex]x[/latex] , получим:

[latex]ln\left (1-x\right )=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\cdots -\frac{x^{n}}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}[/latex]

Тогда,

[latex]ln\left (1+x\right )+ln\left (1-x\right )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=[/latex] [latex]=\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\frac{x^{n}}{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}\left (\left (-1\right )^{n-1}-1\right )}{n}=[/latex][latex]=-x^{2}+0-\frac{x^{4}}{2}+0-\frac{x^{6}}{3}+0-\cdots[/latex]

Так как при нечетном [latex]n[/latex] члены данного ряда обращаются в ноль, его можно записать в виде:

[latex]-\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{3}-\cdots-\frac{x^{2n+2}}{n+1}[/latex]

Далее необходимо найти рекуррентную формулу для членов данного ряда.

[latex]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{x^{2n+2}}{n+1}\cdot\frac{n-1+1}{x^{2\left ( n-1 \right )+2}}=\frac{x^{2}\cdot n }{n+1}[/latex]

Затем необходимо суммировать до тех пор пока очередное слагаемое не будет меньше заданной точности.

Ю3.16

Задача

Сравнить скорость сходимости при вычислении числа [latex]e[/latex] с помощью ряда и бесконечной дроби:

[latex]e=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+…[/latex]; [latex]e=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2+\frac{1}{3-\frac{1}{2+\frac{1}{5-…}}}}}[/latex]

У нас дан ряд(row) и бесконечная дробь(inf). Для разложения числа  [latex]e[/latex] в ряд использована функция вычисления факториала. Задаем начальные переменные и вычисляем основание натурального логарифма. При достижении заданной точности [latex]E[/latex] цикл вычислений ряда прекращается, и начинается вычисление по методу цепной дроби с заданным в первой части программы количеством итераций (для корректного сравнения скорости сходимости, количество итераций должно быть одинаково).

Алгоритм вычисления представляет собой цикл, в который вложен еще один рекурсивный цикл. Первый цикл do подставляет во второй цикл количество итераций. Во втором цикле for происходит основное вычисление цепной дроби, посредством проверки четных и нечетных шагов. Проверка на четность происходит делением текущей по счету итерации  на 2 с остатком. Если делится без остатка, то итерация четная, иначе- нечетная.

E

Количество итераций ряда(row)

i

Количество итераций цепной дроби(inf)l Комментарий
0.00001 9 7

Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд.

Тест пройден.

0.0000002 11 9

Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд.

Тест пройден.

0.00078 7 6

Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд.

Тест пройден.

0.0004 7 6

Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд.

Тест пройден.

При схождении к числу [latex]e[/latex] с точностью [latex]E[/latex] цепная дробь будет  делать это быстрее, чем ряд.

Ниже представлена сама программа(C++).

Код на Java:

 

Также вы можете воспользоватся ссылкой (C++)/ссылкой (Java), для ознакомления с программой.

Ю3.24

Задача. Композиция [latex]n[/latex]- ого порядка [latex]f^{[n]}(x)[/latex] функции [latex]f(x)[/latex] назовем результат [latex]n[/latex]- кратного вычисления функции [latex]f [/latex], то есть [latex]f^{[1]}(x)=f(x)[/latex], [latex]f^{[ 2]}(x)=f(f(x))[/latex], и так далее. Для заданных [latex]n[/latex] и [latex]x[/latex] вычислить [latex] (expln)^{[n]} (x)[/latex] и [latex] exp^{[n]} ln^{[n]} (x)[/latex], результаты сравнить с [latex] x[/latex], то есть вывести значения аргумента, композиции функции и разности между ними.

[latex]x[/latex] [latex]n[/latex] [latex](expln)^{[n]}(x)[/latex] [latex]exp^{[n]} ln^{[n]}(x)[/latex] [latex]x-(expln)^{[n]}(x)[/latex] [latex]x-exp^{[n]}ln^{[n]} (x)[/latex]
3 3 3 3 -4.44089e-16 -4.44089e-16
3 4 3 nan -4.44089e-16 nan

 

Задаем функцию, которая будет возвращать нам [latex]double[/latex] и иметь два параметра типа [latex]double[/latex] и [latex]int[/latex](число [latex]n[/latex]- количество композиций). В ней проверяем равна ли  переменная нулю latex[/latex], если равна, то нет необходимости производить композицию, если же не равна нулю, то присваиваем [latex]x[/latex] значение функции  и возвращаем [latex]x[/latex], если [latex]n<=1[/latex], иначе вызываем эту же функцию, но на порядок ниже latex[/latex] и так пока [latex]n==1[/latex] (то есть задаем рекурсию). Точно также описываем формулы [latex]exp[/latex] и [latex]ln[/latex] (В C++ [latex]log(x)[/latex]- это логарифм числа [latex]x[/latex] по основанию [latex]e[/latex]). В основной программе вызываем эти две функции и выводим их значения  и разность между аргументом и значением функции для определения погрешности. (Возможны такие варианты, когда у вас будет логарифм отрицательным, что приведет к ответу [latex]nan[/latex])

Java

 

Ю3.27

Задача:  Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части с заданной погрешностью [latex]\varepsilon [/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, найти скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] (слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности. В некоторых задачах указан интервал допустимых значений аргумента [latex]x[/latex], при которых сходимость гарантируется.

[latex]\ln \left(1-x \right)=-\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x^{n}}{n}+\cdot \cdot \cdot \right)[/latex],   [latex]x<1[/latex]
[latex]x[/latex] [latex]eps[/latex] Левая часть Правая часть Количество шагов
0.1 0.001 -0.105361 -0.105 3
0.1 0.000001 -0.105361 -0.105360 6
0.5 0.001 -0.693147 -0.692262 8
0.5 0.000001 -0.693147 -0.693146 17
0.95 0.001 -2.995732 -2.994775 101
0.95 0.000001 -2.995732 -2.995731 222

C++:

Java:

Для переменных [latex]x, eps, a, b, c[/latex] я использовала double, так как [latex]x<1[/latex] и [latex]eps[/latex] ([latex]\varepsilon [/latex]) — вещественные числа, которые вводит пользователь, [latex]a, b, c[/latex] используются для вычислений, поэтому тоже вещественные. Для переменной [latex]n[/latex] (в неё записывается количество шагов цикла) я использовала тип int, т.к. это целые числа.

Сперва вычисляем значение переменной [latex]a[/latex] — левую часть равенства.

Для вычисления правой части используем цикл for, который работает пока [latex]\left|a-b \right|\geq eps[/latex] (т.е. различие между правой и левой частью больше, чем погрешность, заданная пользователем).
При каждом шаге переменная [latex]n[/latex] увеличивается на единицу для подсчёта скорости сходимости.
Переменная [latex]c[/latex] обозначает элемент суммы, а [latex]b[/latex] — сумму элементов в правой части равенства.

Эта задача на Ideone:
C++
Java