e-olymp 54. Мурзик

Задача

Весна… Прекрасное время! Все, казалось бы оживает и двигается, расцветает, начинается новый проход цикла жизни. И общеизвестный Мурзик не является исключением! Но если он чрезвычайно активен днем – то точно так же крепко спит ночью. Причем несчастный хищник видит преимущественно кошмары…

Одной ночью ему приснилось, что он судья на математических соревнованиях крыс (да, в наш век цифровых технологий даже крысы не остаются за гранью научно-технического прогресса). Соревнования проводятся среди [latex]N[/latex] команд по [latex]K[/latex] крыс в каждой. Соревнования проводятся в [latex]К[/latex] раундов, в каждом из которых представитель команды называет число. Побеждает та команда, у которой произведение всех чисел наибольшее. Почему крысы не называют каждый раз максимально возможное число? На то они и крысы, что в отличии от Мурзика, обделены интеллектом. Но и Мурзик понимает, что сам подсчитать результат не сможет из-за недостачи математических способностей и поэтому просит вашей помощи.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа [latex]N[/latex] и [latex]K[/latex] [latex](0 < N ≤ 20, 0 < K ≤ 100000)[/latex]. Следующие [latex]K[/latex] строк содержат по N чисел, которые называют представители команд. Причем крысы, как представители образованного вида, знают только 32-битовые знаковые числа.

Выходные данные

Номер команды, выигравшей соревнования. Если несколько команд имеют одинаковые результаты, то побеждает та, у которой больше номер.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 3 3
20 10 30
15 20 20
30 30 20
3
2 3 3
20 -10 -30
15 25 20
30 -30 20
1
1 3 3
0 -10 -30
15 25 20
30 -30 20
2

Код программы

Решение задачи

Произведение результатов крыс может быть очень большим числом. Поэтому можно сравнивать их по знаку, если же по знаку они равны, то можно сравнивать не сами числа, а логарифмы от чисел. Создаем структуру, которая реализует эту идею.

Ссылки

Ссылка на e-olymp
Ссылка на ideone

e-olymp 1482. Умножение матриц

Задача

Пусть даны две прямоугольные матрицы $A$ и $B$ размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \; , \; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nq} \end{bmatrix} .$$
Тогда матрица $C$ размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mq} \end{bmatrix} ,$$
где: $$c_{i,j} = \sum_{r=1}^{n} a_{i,r}b_{r,j} \; \left(i = 1, 2, \ldots m; j = 1, 2, \ldots q\right).$$
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована.

Задано две матрицы $A$ и $B$. Найти их произведение.

Входные данные

В первой строке задано $2$ натуральных числа $n_a$ и $m_a$ – размерность матрицы $A$. В последующих $n_a$ строках задано по $m_a$ чисел – элементы $a_{ij}$ матрицы $A$. В $\left(n_a + 2\right)$-й строке задано $2$ натуральных числа $n_b$ и $m_b$ – размерность матрицы $B$. В последующих $n_b$ строках задано по $m_b$ чисел – элементы $b_{ij}$ матрицы $B$. Размерность матриц не превышает $100 \times 100$, все элементы матриц целые числа, не превышающие по модулю $100$.

Выходные данные

В первой строке вывести размерность итоговой матрицы $C$: $n_с$ и $m_c$. В последующих $n_с$ строках вывести через пробел по $m_c$ чисел – соответствующие элементы $c_{ij}$ матрицы $C$. Если умножать матрицы нельзя — в первой и единственной строке вывести число $\; -1$.

Тесты

Входные данные Выходные данные
2 3
1 3 4
5 -2 3
3 3
1 3 2
2 1 3
0 -1 1
2 3
7 2 15
1 10 7
3 3
1 5 3
2 6 1
7 -1 -3
3 2
3 6
-1 1
3 1
3 2
7 14
3 19
13 38
4 4
4 8 -18 16
3 7 14 -42
2 1 1 7
4 9 5 -2
4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
4 4
4 8 -18 16
3 7 14 -42
2 1 1 7
4 9 5 -2
3 3
5 7 -1
8 9 3
0 -6 17
2 3
7 -15 1
8 8 2
-1
2 3
57 -49 31
89 11 -37
3 1
19
-19
0
2 1
2014
1482

Код программы

 

Решение

Для начала, считываем данные матрицы $A$ из входного потока и записываем их в двумерный динамический массив. Далее, получив данные о размерности второй матрицы, мы можем определить, выполнима ли операция умножения, и если нет, то прервать выполнение программы. Если операция умножения данных матриц выполнима, то считываем и записываем данные второй матрицы, после чего, по приведённой выше формуле вычисляем произведение матриц $C = A \times B.$ Наконец, выводим полученную матрицу $C.$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код задачи на ideone
Умножение матриц на Wikipedia

e-olymp 2669. Поворот

Поворот

Дан массив [latex]n[/latex] × [latex]m[/latex]. Требуется повернуть его по часовой стрелке на [latex]90[/latex] градусов.

Входные данные

В первой строке даны натуральные числа [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] [latex](1 ≤ n, m ≤ 50)[/latex]. На следующих [latex]n[/latex] строках записано по [latex]m[/latex] неотрицательных чисел, не превышающих [latex]109[/latex] — сам массив.

Выходные данные

Выведите перевернутый массив в формате входных данных.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 2 2

1 2

3 4

2 2

3 1

4 2

2 3 3

1 2 3

4 5 6

7 8 9

3 3

4 7 1

8 5 2

9 6 3

3 3 4

4 5 7 8

3 6 8 7

2 2 4 5

4 3

2 3 4

2 6 5

4 8 7

5 7 8

4 1 2

5 4

2 1

5

4

5 1 1

2

1 1

2

 

Решение задачи:

Алгоритм решения данной задачи состоит в том, чтоб при выводе матрицы, начать выводить ее элементы не по строкам, а по столбцам, снизу вверх, начиная с первого столбца (левого нижнего угла матрицы).

e-olymp 930. Номер мобильного телефона

Задача

Задан номер мобильного телефона. Определить, какие цифры отсутствуют в этом номере.

Входные данные

В единственной строке задан номер мобильного телефона.

Выходные данные

В первой строке вывести количество отсутствующих в номере цифр. Во второй строке в порядке возрастания вывести отсутствующие цифры, разделенные пробелом.

Тесты

Входные данные Выходные данные
0631562976 2
4 8
2139087 3
4 5 6
1111111111 9
0 2 3 4 5 6 7 8 9
7 9
0 1 2 3 4 5 6 8 9
4848 8
0 1 2 3 5 6 7 9
0921234567 1
8
6723545 4
0 1 8 9
9867453210 0
 

Код программы

Решение

Объявим массив на $10$ элементов, в котором будем хранить количество вхождений каждой цифры в номер телефона. Далее, посимвольно читаем входной поток и увеличиваем соответствующие каждой цифре элементы массива на $1$. После этого, находим количество нулевых элементов массива — это будет количество цифр, которые отсутствуют в номере. Наконец, выводим индексы нулевых элементов массива.

Ссылки

Условия задачи на e-olymp
Код задачи на ideone

e-olymp 2261. Защита королевства

Защита королевства

Теодор реализует новую стратегию игры «Оборона Царства». На каждом уровне игрок защищает королевство, которое представлено прямоугольной сеткой ячеек. В некоторых клетках игрок строит арбалетные башни. Башня защищает все клетки в той же строке и том же столбце. Никакие две башни не находятся на одной строке или столбце.

Штрафом положения является количество клеток в крупнейшем незащищенном прямоугольнике. Например, положение, показанное на рисунке имеет штраф [latex]12[/latex].
Помогите Теодору написать программу, вычисляющую штраф в заданной позиции.

Входные данные:

Первая строка содержит три целых числа: [latex]w[/latex] — ширина сетки, [latex]h[/latex] — высота сетки и [latex]n[/latex] — количество арбалетных башен [latex](1 ≤ w, h ≤ 40000; 0 ≤ n ≤ min(w, h))[/latex].

Каждая из следующих n строк содержит два целых числа [latex]x_i[/latex] и [latex] y_i[/latex] — координаты клетки с башней [latex](1 ≤ x_i ≤ w; 1 ≤ y_i ≤ h)[/latex].

Выходные данные:

Вывести одно число — количество клеток в наибольшем прямоугольнике, не защищенном башнями.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 10 10 3

1 1

2 2

3 3

49
2 15 15 4

4 4

5 5

7 8

13 15

30
3 30 30 5

13 14

16 27

29 30

5 5

10 15

132
4 100 100 2

1 1

100 100

9604
5 3 3 3

1 1

2 2

3 3

0

 

Код программы:

Решение задачи:

Алгоритм решения задачи состоит в том, чтобы найти максимальное количество незащищенных клеток между соседними башнями по координатам абсцисс и ординат (которые будет на [latex]1[/latex] меньше чем сама разность координат) и перемножить полученные числа тем самым найдя площадь образованного ими прямоугольника.

Для решения данной задачи нужно создать два массива в [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] (в первом будут находится [latex]x_i[/latex] координаты, а во втором [latex]y_i[/latex]) размера на [latex]2[/latex] больше чем количество заданных башен, так как нужно учитывать рамки поля, для чего достаточно добавить две башни c координатами ([latex]0[/latex];[latex]0[/latex]) и ([latex]x[/latex] [latex]max+1[/latex]; [latex]y[/latex] [latex]max+1[/latex]).  Далее нужно отсортировать эти массивы и найти максимальную разность между соседними элементами ([latex]a[/latex] — максимальная разность между [latex]x_i[/latex] элементами, [latex]b[/latex] — максимальная разность между [latex]y_i[/latex]). Далее, по формуле ([latex]a-1[/latex])*([latex]b-1[/latex]) находим площадь самого большого незащищенного прямоугольника, которая равна количеству клеток в нем, что и является ответом задачи.

 

e-olymp 239. Треугольники

Задача

На плоскости задано [latex]n[/latex] точек с целочисленными координатами. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Определить [latex]k[/latex] — количество треугольников с вершинами в заданных точках и целочисленной площадью.

Входные данные

В первой строке содержится число [latex]n[/latex]. В последующих [latex]n[/latex] строках содержаться пары целых чисел — координаты очередной точки [latex](x_i, y_i)[/latex]. Известно, что [latex]0 < n, |x_i|,|y_i| \leq 5000 [/latex].

Выходные данные

Искомое число [latex]k[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 -1
3 0
0 4
-3 0
-2 1
6
5
0 0
2 4
6 6
10 34
-42 -48
10
4
0 0
0 1
1 0
1 1
0
8
0 0
2 2
1 1
3 3
0 1
2 1
1 0
1 2
24
5
0 0
0 1
-1 0
-1 -1
3 -3
3

 

Решение задачи

Учитывая теорему Пика, получаем, что площадь каждого из треугольников, которые можно составить, либо равна целому числу, либо помимо целой части содержит [latex]\frac{1}{2}[/latex].  Нас интересует лишь четность псевдоскалярного(косого) произведения. Берем у всех координат остаток от деления на [latex]2[/latex]. Получаем не более [latex]4[/latex] различных точек: [latex] (0;0), (0;1), (1;0), (1;1)[/latex]. Составляем все возможные треугольники из полученных точек, и считаем те, у которых формула дает четное число, учитывая количество координат каждого типа.

Ссылки

Условие задачи на сайте  E-Olymp

код задачи на Ideone

описание теоремы Пика на Wikipedia

описание псевдоскалярного произведения на Wikipedia