ML30. Объём параллелепипеда

Задача. Найти объём параллелепипеда три стороны которого образованы векторами [latex] \overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),[/latex] [latex]\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z).[/latex]

Входные данные: Координаты векторов [latex]\overrightarrow{a},[/latex] [latex] \overrightarrow{b},[/latex] [latex]\overrightarrow{c}. [/latex]

Выходные данные: Объём параллелепипеда.

Тесты

Входные данные Выходные  данные
0 0 1 0 1 0 1 0 0  1
0 0 0 1 0 0 0 0 1  0
1 0 0 0 0 1 0 0 1  0
2 5 3 4 1 0 -2 7 6  18
3 5 1 0 -7 2 6 -4 5  21

Код программы

Решение

Для решения данной задачи можно составить матрицу и вывести из неё формулу для нахождения определителя:
[latex]\triangle = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix} =[/latex] [latex] a_x \left(b_y c_z+c_y b_z\right)[/latex] [latex]-a_y \left(b_x c_z+c_x b_z\right)+[/latex] [latex]a_z\left(b_x c_y+c_x b_y\right).[/latex]

Модуль определителя матрицы равен объёму параллелепипеда.

Решение на ideone.

ML28. Объём тетраэдра

Задача

Найти объём тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex].

Пояснительный рисунок

Пояснительный рисунок к ML28

Входные данные

Координаты векторов [latex]\vec {a}[/latex], [latex]\vec {b}[/latex], [latex]\vec {c}[/latex].

Выходные данные

Объём тетраэдра.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]x_a[/latex] [latex]y_a[/latex] [latex]z_a[/latex] [latex]x_b[/latex] [latex]y_b[/latex] [latex]z_b[/latex] [latex]x_c[/latex] [latex]y_c[/latex] [latex]z_c[/latex] [latex]V[/latex]
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0.166667
3 6 3 1 3 -2 2 2 2 3
0 0 0 1 3 -2 2 2 2 0

Код программы

Решение задачи

Так как тетраэдр построен на векторах [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex], для данной задачи оптимальным решением будет использовать следующие формулы:

  1. [latex]V = \frac {|\Delta|} {6}[/latex], где [latex]V[/latex] — объём тетраэдра, а [latex]\Delta[/latex] — определитель матрицы.
  2. [latex] \Delta =
    \begin{vmatrix}
    x_a & y_a & z_a \\
    -x_b & y_b & z_b \\
    x_c & y_c & z_c
    \end{vmatrix}
    = x_a \left(y_b z_c-z_b y_c \right)-x_b \left( y_a z_c-z_a y_c \right)+x_c \left( y_a z_b-z_a y_b \right)
    [/latex].

Итоги:

  • если значение определителя матрицы равно нулю, то либо некоторые из заданных векторов коллинеарны, либо нулевые, либо все они лежат в одной плоскости. Во всех этих случаях тетраэдр не может существовать, и программа выведет [latex]0[/latex];
  • если значение определителя не равно нулю, то программа вычислит объём тетраэдра. В случае, если определитель примет отрицательное значение, программа домножит значение объёма на [latex]-1[/latex], в результате чего оно станет положительным.

Ссылки

А406

Сабиров Ильдар
Сабиров Ильдар

Latest posts by Сабиров Ильдар (see all)

Задача

С помощью [latex]x_{ij}, i=1,2; j=1,\ldots,n.[/latex] — действительной матрицы на плоскости задано n точек так, что [latex]x_{1j}, x_{2j}[/latex] — координаты [latex]j[/latex] — точки. Точки попарно соединены отрезками. Найти длину наибольшего отрезка.

Тест

n Матрица [latex]x_{ij}, i=1,2.[/latex] Длина наибольшего отрезка  Комментарий
3  

2 8 4

9 1 5

10 Пройдено
4  

6 14 2 1

9 3 8 0

13.3417 Пройдено
5  

1 8 4 3 7

2 9 5 0 11

11.7047 Пройдено

Код программы:

Ход решения:

  1. Вводим матрицу построчно (не очень удобно).
  2. Находим длину наибольшего отрезка.
    С помощью вложенных циклов мы находим длины всех отрезков по формуле
    [latex] AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}, A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}). [/latex]
  3. По алгоритму нахождения максимума находим длину наибольшего отрезка.
  4. Выводим матрицу.
  5. Выводим длину наибольшего отрезка.
    Ссылка на код

Ю4.12

Сабиров Ильдар
Сабиров Ильдар

Latest posts by Сабиров Ильдар (see all)

Задача: Все ненулевые элементы матрицы [latex]D(k,l)[/latex] расположить в начале массива [latex]E(k \times l)[/latex] и подсчитать их количество.

K L Матрица D Ненулевые элементы матрицы E Количество ненулевых элементов
2 3 2 7 0
1 4 9
 2 7 1 4 9  5
3 4 6 7 4 2
9 0 1 3
0 8 0 19
 6 7 4 2 9 1 3 8 19  9
4 2  8 9
0 1
5 2
7 26
 8 9 1 5 2 7 26 8

Заполняем матрицу с клавиатуры посредством циклов.
Выводим ненулевые элементы.
Выводим их количество.
Выводим матрицу D.

Ссылка на код

А705

Кібакова Надія Олександрівна
Кібакова Надія Олександрівна

Latest posts by Кібакова Надія Олександрівна (see all)

Задача:
Даны квадратные матрицы [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] порядка [latex]n[/latex]. Получить матрицу [latex]A(B-E)+C[/latex], где [latex]E[/latex] — единичная матрица порядка [latex]n[/latex], а элементы матрицы [latex]C[/latex] вычисляются по формуле:[latex]C_{ij}=\frac{1}{i+j}\;\;\;\;(i,j=1,2,\ldots,n)[/latex].

Тесты
К сожалению я не разместила здесь тесты к задаче.

Решение
Реализуем хранение матрицы в виде двумерного массива. Операции сложения и вычитания матриц выполняются поэлементно. Умножение требует наличия у левого сомножителя такого же числа столбцов, как и число строк у правого сомножителя. Поэлементно умножаем каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй накапливая сумму значений в элементах результирующей матрицы.

Код C++

Код C++ на Ideone: A705

Код Java

Код Java на Ideone: A705

Тесты:

№ теста Размерность матрицы n Матрица A Матрица В Ответ
1 2 3 4
2 1
2 1
9 0
  39.50  -0.67

11.33  1.25

2 4 5 5 5 5
0 0 8 7
2 3 4 7
8 6 1 2
5 7 3 4
9 8 3 4
2 3 4 5
6 6 6 6
  105.50  115.33  75.25  90.20

58.33  66.25  66.20  75.17

85.25  89.20  69.17  75.14

100.20  113.17  57.14  71.12

3 3 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 0.5 0.33 0.25

0.33 0.25 0.20

0.25 0.20 0.17

 

А700в

Янішевська Альона Русланівна
Янішевська Альона Русланівна

Latest posts by Янішевська Альона Русланівна (see all)

Задача. Дана квадратная матрица А порядка n. Получить матрицу AB; элементы матрицы B вычисляются по формуле:

[latex]b_{ij}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{i+j-1}&,if\: i<j\\ 0&,if\: i=j\\-\frac{1}{i+j-1}&other\: case\end{matrix}\right.[/latex]

 

[latex](i,j=1,\cdots, n)[/latex]

 

Тесты:

Размер матрицы Входные данные Результат Комментарий
n=2 [latex]\begin{pmatrix}1&7\\3&2\end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix}-3,5&0,5\\-1&1,5\end{pmatrix}[/latex] Пройден
n=3 [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\7&6&5\\4&8&9\end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix}-2&-0,25&0,83333\\-4,66667&2,25&3,83333\\-7&-0,25&3,333\end{pmatrix}[/latex] Пройден

Код программы:

После ввода матрицы A, мы должны найти элементы матрицы B. Из условия задачи:  [latex]b_{ij}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{i+j-1}&,if\: i<j\\ 0&,if\: i=j\\-\frac{1}{i+j-1}&other\: case\end{matrix}\right.[/latex] , при [latex](i,j=1,\cdots, n)[/latex].

Для нахождения [latex]b_{ij}[/latex] используется условный оператор if в цикле for. Матрица C — результат умножения матрицы A на матрицу B, которое также производим в цикле for.

Код программы можно посмотреть здесь.

Решение на Java:

Ссылка на решение.