e-olymp 1154. Кружок хорового пения

Задача

В некотором учебном заведении функционирует кружок хорового пения. Начало кружка всегда происходит единообразно: по сигналу руководителя кружка все [latex]N[/latex] участников становятся в круг и каждый [latex]M[/latex]-й для распевки поёт гамму.

Руководитель кружка заметил, что размять голосовые связки не всегда удаётся всем участникам кружка. По заданным [latex]N[/latex] и [latex]M[/latex] помогите ему определить, или в очередной раз в разминке примут участие все участники хора.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких тестовых случаев. Каждый тестовый случай расположен в отдельной строке и содержит два целых числа [latex]N[/latex] и [latex]M[/latex]. ([latex]1 ≤ N, M ≤ 103[/latex]).

Выходные данные

Для каждого тестового случая в отдельной строке выведите «YES», если в разминке примут участие все участники хора, в противном случае выведите «NO».

Тесты

Входные данные Выходные данные
1000 1000
1 1
NO
YES
2 5
3 7
14 15
49 37
YES
YES
YES
YES
14 16
891 6
441 9
777 111
NO
NO
NO
NO
4 1
6 3
YES
NO

Решение задачи

Пусть у нас есть [latex]N[/latex] певцов. Пронумеруем их по порядку от [latex]0[/latex] до [latex]N — 1[/latex]. Распевается каждый [latex]M[/latex]-й. И пусть НОД ([latex]M, N) = k \geq 2[/latex]. Тогда, например, [latex]k — 1[/latex]-ый певец никогда не распоется. На рисунке ниже приведен пример. [latex]6[/latex] певцов,  распевается каждый [latex]2[/latex], начиная из верхнего левого угла при смене по часовой стрелке. Переливающимся кружочком обозначен поющий в данный момент певец.


Докажем, что если [latex]M[/latex] и [latex]N[/latex] взаимно просты, то все участники распоются. Для начала заметим, что при [latex]i[/latex]-ой смене (где [latex]i[/latex] некоторое натуральное число) очередь вернется к участнику, с которого распевка начиналась,то есть смена циклическая. Поскольку НОД ([latex]M, N) = 1 [/latex], то НОК ([latex]M, N) = M*N [/latex], то есть распевающий сменится [latex]N[/latex] раз для завершения цикла. Покажем, что ни один из певцов не споет более [latex]1[/latex] раза. Пусть есть некоторый [latex]k[/latex]-ый распевающий, очередь которого наступила более [latex]1[/latex] раза за время цикла. Однако, как и для первого распевающего, очередь для [latex]k[/latex] наступит через [latex]N[/latex] смен, то есть после завершения цикла. Получили опровержение. Значит каждый распоется не более [latex]1[/latex] раза. Теперь, учитывая количество смен, получим, что каждый распоется ровно [latex]1[/latex] раз. В случае, когда НОД ([latex]M, N) \geq 2 [/latex] получим, что за цикл распоется менее, чем [latex]N[/latex] участников хора.

 

Ссылки

Условие задачи на сайте  E-Olymp

код задачи на Ideone

e-olymp 1128. Проблема Лонги

Задача

Лонги хорошо разбирается в математике, он любит задумываться над трудными математическими задачами, которые могут быть решены при помощи некоторых изящных алгоритмов. И вот такая задачка возникла:
Дано целое число [latex]n[/latex] [latex](1 < n < 231)[/latex], Вы должны вычислить [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].
"О, я знаю, я знаю!" — воскликнул Лонги! А знаете ли Вы? Пожалуйста, решите её.

Входные данные

Каждая строка содержит одно число [latex]n[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения [latex]n[/latex] следует вывести в отдельной строке сумму [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]2[/latex] [latex]6[/latex] $3$
$15$
[latex]1[/latex] [latex]50[/latex] [latex]100[/latex] $1$
$195$
$520$
[latex]7[/latex] [latex]4791[/latex] [latex]12345678[/latex] [latex]478900[/latex] $13$
$15965$
$170994915$
$4980040$
[latex]123[/latex] [latex]7777[/latex] [latex]157423949[/latex] [latex]904573[/latex] $2147483648$ $405$
$54873$
$613124817$
$1809145$
$35433480192$

Код программы

Решение задачи

Согласно свойству НОД, если некоторые числа [latex]a_1[/latex] и [latex]a_2[/latex] взаимно просты, то [latex]\gcd \left(a_1 \cdot a_2, c\right) = \gcd \left(a_1, c\right) \cdot \gcd \left(a_2, c\right)[/latex], где [latex]c[/latex] — некоторая константа. Если же вместо [latex]c[/latex] взять [latex]i[/latex] ([latex] 1 ≤ i ≤ a_1 \cdot a_2[/latex]) и просуммировать по [latex]i[/latex] обе части равенства, получим:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \gcd \left(a_1 \cdot a_2, i\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \left(\gcd \left(a_1, i\right) \cdot \gcd \left(a_2, i\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1} \gcd \left(a_1, i\right) \cdot \sum\limits_{i=1}^{a_2} \gcd \left(a_2, i\right)[/latex].
Значит мы можем данное число представить как произведение простых в некоторых степенях. Эти числа, очевидно, будут взаимно простыми, из чего следует возможность применения данного свойства и последующего суммирования по [latex]i[/latex].
Теперь докажем, что для любого простого числа [latex]p[/latex] в степени [latex]a\geqslant 1[/latex] верно следующее равенство:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{p^a} \gcd\left(p^a, i\right) = \left(a + 1\right)\cdot p^a — a \cdot p^{a-1} [/latex].
Обозначим $\sum\limits_{i=1}^{r} \gcd\left(r, i\right)$ как $g\left(r\right)$.
База индукции:
[latex]a = 1[/latex]:
$$g\left(p\right) = \gcd\left(p, 1\right) + \gcd\left(p, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p, p\right) = \left(p — 1 \right) + p = 2 \cdot p — 1.$$
Если [latex]a = 2[/latex]:
$$g\left(p^{2}\right) = \gcd\left(p^{2}, 1\right) + \gcd\left(p^{2}, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p\right) + \gcd\left(p^{2}, p + 1\right) + \ldots + \\ + \gcd\left(p^{2}, 2 \cdot p\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p^{2}\right) = 1 + 1 + \ldots + p + 1 + \ldots + p + \ldots + p^{2} = \\ = \left( p^{2} — p \right) + p \cdot \left( p — 1 \right) + p^{2} = 3 \cdot p^{2} — 2\cdot p.$$
Для любых $a \geqslant 2$:
$$g\left(p^{a}\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a-1}} \gcd\left(p^a, j\right) + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a, j\right) + p^{a} =g\left(p^{a — 1}\right) + p^{a} + \\ + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right).$$
Причем:
$$\sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1} — 1} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) = \\ = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1}} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) — p^{a — 1} = \left( p — 1\right)\cdot g\left(p^{a-1}\right) — p^{a-1}.$$
Откуда следует:
$$g\left(p^{a}\right) = p^{a} — p^{a-1} + p\cdot g\left(p^{a-1}\right).$$
Предположение индукции:
Пусть [latex]a = b[/latex]:
$$g\left(p^{b}\right) = \left(b + 1\right) \cdot p^b — b \cdot p^{b-1}.$$
Шаг индукции:
Пусть [latex]a = b + 1[/latex]:
$$g\left(p^{b + 1}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot g\left(p^{b}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot \left[\left(b+1\right) \cdot p^{b} + b\cdot p^{b-1}\right] = \\ = \left(b + 2\right)\cdot p^{b+1} — \left(b + 1\right)\cdot p^{b}.$$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

e-olymp 571. НОД

Задача

Найти НОД (наибольший общий делитель ) $n$ чисел.

Входные данные

Первая строка содержит количество чисел [latex]n \left(1 < n < 101\right)[/latex]. Во второй строке через пробел заданы [latex]n[/latex] натуральных чисел, каждое из которых не превышает [latex]30000[/latex].

Выходные данные

НОД заданных чисел.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 3
5 7 2
1
2 2
45 10
5
3 4
27 90 15 9
3
4 2
40 64
8
5 3
8 8 8
8

Код

Решение задачи


Для решения данной задачи воспользуемся алгоритмом Евклида — алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел, т.е. самого большого числа, на которое можно без остатка разделить оба числа, для которых ищется НОД.

  • Условие задачи на e-olymp
  • Код решения на ideone

A333. Наибольший общий делитель чисел последовательности

Примечание: [latex]GCD[/latex] — Greatest common divisor (Наибольший общий делитель, НОД).

Задача

Даны натуральные числа [latex]m[/latex], [latex]n_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]n_m[/latex] [latex]m \ge 2[/latex]. Вычислить [latex]GCD \left( n, \ldots, n_m \right)[/latex], воспользовавшись для этого соотношением [latex]GCD \left( n, \ldots, n_k \right) = GCD \left( GCD \left( n, \ldots, n_{k-1} \right), n_k \right)[/latex] [latex]\left( k = 3, \ldots, n \right)[/latex] и алгоритмом Евклида.

Входные данные

Количество чисел [latex]m[/latex]; числа [latex]n_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]n_m[/latex].

Выходные данные

[latex]GCD \left( n_1, \ldots, n_m \right)[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
2 3 4 1
2 4 8 4
4 24 23 40 90 1
4 36 48 20 24 4
3 30 738 1926 6

Код программы

Решение задачи

Для решения данной задачи необходимо использовать данную в условии формулу [latex]GCD \left( n, \ldots, n_k \right) = GCD \left( GCD \left( n, \ldots, n_{k-1} \right), n_k \right)[/latex] [latex]\left(\right)[/latex].
Также необходимо воспользоваться алгоритмом Евклида для реализации рекурсивной функции [latex]GCD[/latex]:
Пусть [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] — одновременно не равные нулю целые неотрицательные числа и пусть [latex]m \ge n[/latex]. Тогда если [latex]n=0[/latex], то [latex]GCD\left(n, m\right)=m[/latex], а если [latex]n\ne0[/latex], то для чисел [latex]m[/latex], [latex]n[/latex] и [latex]r[/latex], где [latex]r[/latex] — остаток от деления [latex]m[/latex] на [latex]n[/latex], выполняется равенство [latex]GCD\left(m, n\right)=GCD\left(n, r\right)[/latex]. (задача 89 задачника С. Абрамова)
Программа записывает в переменную m число [latex]m[/latex], а в result — [latex]n_1[/latex].
Затем, используя формулу [latex]\left(
\right)[/latex], программа до окончания цикла считывает следующие числа из последовательности поверх предыдущих в переменную n и находит сперва [latex]GCD\left(n_1, n_2\right)=x_1[/latex], [latex]GCD\left(x_1, n_3 \right)=x_2[/latex], затем [latex]GCD\left(x_2, n_4\right)=x_3[/latex] и так далее, вплоть до нахождения [latex]GCD[/latex] всех чисел, постоянно записывая новые [latex]GCD[/latex] поверх старых в переменную result. В итоге, программа выводит результирующий [latex]GCD[/latex], который и является ответом.

Ссылки

e-olymp 4482. В стране невыученных уроков 2

Задача

Теперь у Вити есть программа, которая помогает ему быстро находить НОД многих чисел. Поэтому стражи решили изменить правила: теперь Витя должен найти наибольший общий делитель (НОД) чисел на промежутке [l; r], а стражи – наименьшее общее кратное (НОК), у кого получится число меньше, тот и выиграет.

Входные данные

Первая строка содержит количество элементов в массивеn (1n106). Во второй строке находится n чисел – элементы ai (1ai109) массива. В третьей строке находится количество запросовm (1m 105). Далее в m строках находится по три числа q, l, r (1lrn). Если q = 1, требуется определить победителя для промежутка [l; r], если q = 2, то нужно заменить элемент в позиции l на число r.

Выходные данные

Для каждого запроса с номером 1 в отдельной строке выведите строку «wins«, если Витя выиграл, строку «loser«, если он проиграл и «draw«, если была ничья.

Решение

В данной задаче нам нужно реализовать дерево отрезков, но поменять функцию которую определяет значение в узлах. Прочитав условие можно понять, что ответ «loser» мы не выведем никогда, так как НОД не может быть больше НОК. Тогда остается определить когда выводить «wins» или «draw». НОД и НОК некоторого количества чисел равны тогда и только тогда, когда все числы для которых мы считаем НОД и НОК равны между собой. Поэтому ассоциативной функцией для построения дерева выберем функцию равенства, если числа равны возвращаем само число, иначе 0. Тогда для ответа на вопрос задачи просто следует узнать что находится в соответсвующем узле.
Если это 0, то НОК больше НОД, иначе они равны и мы выведем «draw».

Код

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 4 6 10 8
6
1 1 5
1 2 3
2 5 15
2 3 10
1 3 5
1 1 1
wins
wins
wins
draw
5
7 7 7 7 7
4
1 1 5
2 2 1
1 1 5
1 3 5
draw
wins
draw

Задача взята отсюда.

Решенная задача на e-olymp.

Код программы.