ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга

Задача. Какого наибольшего размера прямоугольник можно вырезать из круга диаметра [latex]d[/latex], если известно, что длины его сторон образуют золотую пропорцию.

Входные данные: 

Единственное число — диаметр окружности.

Выходные данные:

Два числа — длины сторон прямоугольника.

ml38

Тесты.

Входные данные Выходные данные
[latex]d[/latex] [latex]a[/latex] [latex]b[/latex]
1 0 0 0
2 1 0.850651 0.525731
3 2 1.7013 1.05146
4 21 17.8638 11.0404
5 0.32 0.272208 0.168234
6 1.7 1.44611 0.893743
7 134 113.981 70.448

Код программы на C++.

Код программы на Java.

Решение.

Прямоугольник будет иметь наибольший размер в случае, когда его вершины лежат на окружности. Тогда, очевидно, диаметр окружности будет диагональю данного прямоугольника. Согласно условию, длины его сторон образуют золотую пропорцию. Это означает, что [latex]\frac { a }{ b } =\phi [/latex], где [latex]a[/latex] — длина большей стороны прямоугольника, [latex]b[/latex] — длина его меньшей стороны, а [latex]\phi=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } [/latex]. Отсюда [latex]a=b\cdot \phi[/latex]. По теореме Пифагора, [latex]{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ d }^{ 2 }[/latex]. Путём подстановки из предыдущего выражения и простых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления длины меньшей стороны: [latex]b=d\cdot \sqrt { \frac { 1 }{ { \phi }^{ 2 }+1 } } [/latex].
Сначала для удобства находим значение [latex]\phi[/latex], затем — по указанным формулам длины сторон прямоугольника.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

Mif 17.12

Условие задачи

Принадлежит ли точка [latex] (x;y) [/latex] фигуре на рисунке?17.12

Код

 

Тесты

Входные данные
Выходные данные
x y
9 0 No
-5 3 No
1 2 Yes
-3 5 Yes
1 -1 Yes
4 -4 No

Решение

  1. Сначала ищем длину отрезка ([latex] a [/latex]) от начала координат к точке [latex] (x;y) [/latex]  по формуле: [latex]\sqrt{{({x}_{0}-x)}^{2}+{({y}_{0}-y)}^{2}}[/latex], где              [latex]({x}_{0};{y}_{0})[/latex] — координаты начала координат.
  2.  Дальше проверяем, если [latex]a^{2}\leq 36[/latex] (т.е. точка находится в круге, т.к радиус четверти круга равен 6, а, возведя [latex]a[/latex] в квадрат, радиус также нужно возвести в квадрат) и [latex] (x;y) [/latex] находятся в первой четверти координат, то программа выводит «Yes» (можем возвести радиус ([latex] a=\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/latex] )в квадрат,т.к. радиус не может быть отрицательным).
  3. Также, если сумма [latex] x + y [/latex] в четвертой четверти координат не превышает 6, то точка принадлежит треугольнику и программа выводит «Yes».
  4. В том случае, если тока не принадлежит фигуре, программа выводит «No».

Ссылки

 

Mif 17.5

Условие

Принадлежит ли точка [latex] \left( x,y \right) [/latex] фигуре на рисунке?

рисунок 17.5

Входные данные

Координаты точки [latex]\left(x,y\right)[/latex] на плоскости.

Выходные данные

Если точка принадлежит фигуре, вывести «Принадлежит» (без кавычек), в противном случае — «Не принадлежит».

Задача взята отсюда.

Тесты

x y Вывод
1 1 -1 Принадлежит
2 0 0 Принадлежит
3 0 4 Принадлежит
4 5 0 Принадлежит
5 0 4.00001 Не принадлежит
6 -3 5 Не принадлежит
7 2 3 Принадлежит

Решение

Фигура в задаче представлена в виде двух четвертей окружностей, лежащих в I и IV четвертях с радиусами [latex] R1 [/latex] и [latex] R2 [/latex] , которые равны соответственно [latex] 4 [/latex] и [latex] 5 [/latex]. Центры окружностей находятся в начале координатных осей. Сразу после ввода координат точки выполняем проверку принадлежности фигуре, а именно: координата [latex]X\ge0[/latex] ? В случае отрицательного ответа программа выведет сообщение «Не принадлежит». Одновременно со знаком [latex]X[/latex] выполняется проверка с помощью формулы, полученной из уравнения окружности: [latex]{\left(x-{X}_{c}\right)}^{2}+{\left(y-{Y}_{c}\right)}^{2}\le{R}^{2}[/latex], где [latex]X_{c}[/latex] и [latex]Y_{c}[/latex] — координаты центра окружности. Если координаты точки проходят данную проверку для соответствующего радиуса, который зависит от знака [latex]Y[/latex], то точка принадлежит фигуре, в противном случае выведется сообщение «Не принадлежит».

Код

Код на сайте ideone.com находится здесь.

 

 

ML 9

Данная задача находится здесь.

Условие:

Определить периметр правильного [latex] m [/latex]-угольника, вписанного в окружность радиуса [latex] R [/latex].

Входные данные:

Количество сторон правильного многоугольника [latex] m [/latex] и радиус [latex] R [/latex] описанной около него окружности.

Выходные данные:

Единственное число — периметр заданного многоугольника.

Тесты:

m R P
1 3 4 20.7846
2 6 5 30
3  8 13  79.5982
4 27 20 125.38

Код программы:

Код на сайте ideone.com можно получить здесь.

Убедиться в корректности формулы с помощью онлайн-калькулятора можно на этом сайте.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения длины стороны правильного многоугольника с помощью радиуса описанной окружности: [latex]a=2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}[/latex] , где [latex]R[/latex] — радиус описанной окружности, а [latex]m[/latex] — количество сторон правильного многоугольника. В задаче необходимо найти периметр, т.е. общую длину всех сторон: [latex]P=a\cdot m[/latex] . Таким образом, объединив формулы, получаем конечную формулу для нахождения периметра правильного многоугольника: [latex]P=\left(2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}\right)\cdot m[/latex] , значение которой и необходимо вывести.

Источник формул : wikipedia.

 

 

ML8

Настя Ивасенко
Настя Ивасенко

Latest posts by Настя Ивасенко (see all)

Задача. Определить периметр правильного [latex]n[/latex]-угольника, описанного около окружности радиуса [latex]r[/latex].

Тесты

[latex]n[/latex] [latex]r[/latex] [latex]P[/latex]
4 2 16
3 5 51.9615
7 3 20.2261
5 5 36.3271
6 6 41.5692

Решение

Величину угла можно найти если задано только количество вершин — [latex]\frac{\pi\cdot(n-2))}{n}[/latex].

Для примера можно рассмотреть квадрат.
Без імені
Так как квадрат — правильный четырёхугольник, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности.  [latex]R[/latex]  делит угол напополам — [latex]\frac{\alpha }{2}[/latex].  Отсюда получаем треугольник:

Без імені

[latex]\frac{\alpha }{2}[/latex] — половина угла квадрата, [latex]\frac{a}{2}[/latex] — половина стороны. Так как [latex]r[/latex] проходит перпендикулярно к стороне [latex]a[/latex], то мы можем воспользоваться формулой тангенса — [latex]tg\frac{\alpha }{2}=\frac{r}{0.5a}=\frac{2r}{a}[/latex] .

[latex]a=\frac{2r}{tg\frac{\alpha }{2}}[/latex].

Выводим формулу только с  [latex]n[/latex] и [latex]r[/latex].

[latex]P=\frac{2nr}{tg(\frac{\pi(n-2)}{2n})}[/latex].

Код

Код можно увидеть здесь

 

ML19

Задача. Известна длина окружности. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Тесты

Длина окружности Точность  Результат работы программы
0 3 Невозможно выполнить для вырожденной окружности
-1 8 Ошибка ввода данных
34 -5 Ошибка ввода данных
25 18 Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность 13
25 13 49.7359197162173
83 5 548.20920
113.42 3 1 023.692
12 345 678 3 Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность 1
12 345 678 1 12 128 861 224 697.9
1 000 000 000 0 Число содержит больше 15 значащих цифр. Точный вывод невозможен

Алгоритм

Перед нами была поставлена задача вычислить площадь круга при условии, что известна длина окружности. Так как в условии не оговорена точность вычислений, выводить результат будем с количеством знаков после запятой, которое задано пользователем.

Для удобства преобразуем известные нам формулы:

[latex]L = 2 \pi \cdot R[/latex]   [latex]S = \pi \cdot R^2 [/latex]  [latex] \longrightarrow[/latex]  [latex]R= \frac{L}{2\pi}[/latex]  [latex]\longrightarrow[/latex]  [latex]S = \frac{L^2}{4\pi}[/latex];

Воспользовавшись данной формулой находим искомую величину. Однако реализуя вывод с заданной точностью, требуется проверить сможет ли используемый нами тип данных double его обеспечить. Принимая во внимание факт, что данный тип хранит не более чем [latex]15[/latex] значащих десятичных цифр осуществляем следующую последовательность действий:

  1. Находим значение переменной possibleAccuracy как разность между максимально возможным количеством значащих цифр (maxAccuracy = [latex]15[/latex]) и имеющемся в данном числе .
  2. Отрицательное значение переменной possibleAccuracy сигнализирует о том, что найденная площадь круга превышает [latex] 10^{15} [/latex]. Следовательно, выводим предупреждение о том, что точный подсчет невозможен даже с нулевой точностью после запятой.
  3. При условии, что запрашиваемая точность превышает максимальную, выводим уведомление и значение максимальной точности.
  4. При ложности  пункта 2 и 3, используя манипулятор setprecision, выводим нужное количество знаков.

Код программы:

 

Код программы