e-olymp 6. Путёвки

Постановка задачи

e-olymp 6. Путёвки

Туристическая фирма не успела из-за больших морозов продать [latex]n[/latex] ([latex]n < 15[/latex]) путёвок на горнолыжные базы, срок действия которых уже наступил. С целью уменьшения убытков, было решено с 1 февраля все такие путёвки, которым осталось [latex]d_k[/latex] ([latex]d_k \le 30[/latex]) дней, продавать по номинальной стоимости – по [latex]c_k[/latex] ([latex]c_k \le 100[/latex]) грн за день только за те дни, что остались со дня продажи ([latex]k = 1..n[/latex]).

На какую наибольшую сумму можно реализовать эти путёвки, если каждый день продавать по одной путёвке?

Входные данные

Первая строка содержит количество путёвок [latex]n[/latex]. Каждая из следующих [latex]n[/latex] строк содержит два числа – количество дней [latex]d_k[/latex] и стоимость дня [latex]c_k[/latex].

Выходные данные

Максимальная сумма прибыли.

Алгоритм решения

Решим эту задачу полным перебором (методом грубой силы). Для этого необходимо перебрать все возможные варианты реализации. К примеру, дано три путевки:

Первая путёвка

  • срок действия: 2
  • номинальная стоимость: 13

Вторая путёвка

  • срок действия: 1
  • номинальная стоимость: 33

Третья путёвка

  • срок действия: 3
  • номинальная стоимость: 7

Надо перебрать все возможные варианты и для каждого подсчитать сумму за реализованные путевки.

Путевки Перебор всех возможных вариантов
Вариант 1 Вариант 2
Очередность Результат Очередность Результат
Первая 1 20 1 20
Вторая 2 3
Третья 3 2
Вариант 3 Вариант 4
Очередность Результат Очередность Результат
Первая 2 53 2 20
Вторая 1 3
Третья 3 1
Вариант 5 Вариант 6
 Очередность Результат Очередность Результат
Первая 3 40 3 7
Вторая 1 2
Третья 2 1

Теперь очевидно, что максимальная сумма прибыли равна 53. Таким образом можно решить данную задачу при любых входных данных. Но возникает проблема, когда путевок слишком много (или даже не очень). Количество перестановок для [latex]n[/latex] элементов равно [latex]n![/latex]. Это значит, что при количестве путевок, равном [latex]14[/latex] (максимальное возможное количество в данной задаче), количество перестановок равно [latex]14! = 87178291200[/latex], а ведь для каждой необходимо подсчитать сумму за реализованые путевки. Современные компьютеры не могут справиться с этой задачей за короткий промежуток времени, поэтому явным решением является оптимизация программы.

Давайте представим, что мы имеем две путевки, сроки действия которых равны единице. Очевидно, что одну из них мы точно не успеем реализовать, так как продав одну, срок действия другой на следующий день истечет, а, так как реализовать путевки необходимо за наибольшую сумму, то реализовать нужно ту, чья номинальная стоимость выше. Отсюда следует, что, когда есть две путевки, сроки действия которых равны единице, более дешевую можно игнорировать. Теперь, пусть у нас есть три путевки, сроки действия которых равны двум. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что в такой ситуации путевку с самой низкой номинальной стоимостью можно игнорировать. Это же верно для четырех, пяти и т.д. путевок. Тогда нам остается перед началом полного перебора отсечь путевки, не влияющие на ответ, при этом сократив время выполнения в разы.

Тесты

Входные данные Выходные данные
4
2 37
3 45
1 46
4 30
232
3
1 1
2 2
3 3
11
4
1 2
3 4
5 6
7 8
84

Реализация

ideone: ссылка
Засчитаное решение: ссылка

А1033

Марченко Філіп Олександрович
Марченко Філіп Олександрович

Latest posts by Марченко Філіп Олександрович (see all)

Условие

Получить все размещения из [latex]9[/latex] элементов [latex]\left\{1,2, \ldots, 9\right\}[/latex] по [latex]5[/latex] элементов в каждом.

Код на С++

 

Код на Java:

 

Решение

При решении этой задачи мне понадобились 2 источника информации:

Там были приведены алгоритмы генерирования перестановок («Комбинаторные алгоритмы», стр. 27-29) и генерирования сочетаний («Комбинаторика для программистов», стр. 39-41).
Размещения я получал следующим образом:

  • Посчитал кол-во всевозможных размещений по формуле [latex]A^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{9!}{4!}=15120[/latex];
  • Заметил, что размещения — это перестановки всех уникальных комбинаций из 5 чисел (т.е сочетаний);
  • Поскольку кол-во перестановок [latex]P_{k}=k![/latex], а кол-во сочетаний — [latex]C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/latex], то кол-во размещений [latex]A_{n}^{k}=P_{k}\times{C_{n}^{k}}=\frac{n!k!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!}=15120[/latex];

Таким образом, генерируя вначале сочетание, я генерировал перестановки этого сочетания. В результате вышло 15120 размещений.

A1031

Денисова Ольга
Денисова Ольга

Latest posts by Денисова Ольга (see all)

Задача. Получить все перестановки элементов 1, …, 6.

Решение

Все перестановки считаются и выводятся с помощью рекурсивной функции perestanovka().

Когда в ней складывается новый набор элементов, проверяем что бы в нем не было повторяющихся значений (считаем факториал и сумму, они должны совпадать со стандартом (6! = 720,  1+2+3+4+5+6 = 21) и тогда выводим.

Что бы убедиться, что выведено правильное количество перестановок, выводим в конце значение счетчика cnt (находится внутри функции perestanovka()) и требуемое значение перестановок ( 6! = 720). Эти значения совпадают.

А на Java решение выглядит так:
 

e-olimp 4475. Часы

Іванов Вячеслав Володимирович
Іванов Вячеслав Володимирович

Latest posts by Іванов Вячеслав Володимирович (see all)

4475. Часы

Постановка задачи

Ученые разработали часы, которые могут налаживаться для отсчета времени на любой планете. Они состоят из шариков, лотка (очереди) и трех чаш: секундной, минутной и часовой. В каждый момент времени количество шариков в чашах показывает время (секунды, минуты и часы соответственно). Каждую секунду первый шарик из очереди попадает в секундную чашу. Если секундная чаша наполнилась (количество шариков равно количеству секунд в минуте на этой планете), то этот шарик переходит в минутную чашу, а остальные шарики переходят из секундной чаши в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в секундную чашу. Аналогично, при наполнении минутной чаши последний шарик переходит в часовую чашу, а остальные шарики из минутной чаши переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в минутную чашу. Если заполняется часовая чаша, то все шарики из нее переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в часовую чашу. Все шарики пронумерованы и в начальный момент времени находятся в очереди.

Написать программу, вычисляющую минимальное количество суток, необходимых для того, чтобы начальное положение шариков в очереди повторилось.

Во входном потоке содержится количество секунд в минуте [latex]S[/latex], минут в часе [latex]M[/latex], часов в сутках [latex]H[/latex] и число шариков [latex]K[/latex].

Алгоритм решения

  1. Интуитивно понятно, что положение шариков в очереди ежесуточно изменяется по одному и тому же закону, в силу однообразия процесса. Отыскать конкретный вид перестановки можно прямым моделированием часов, используя дек для описания лотка и стеки — каждой из чаш (у очереди задействованы оба конца, у чаш — только один).
  2. Определить порядок суточной перестановки можно и возведением её в степень, но это нерациональный способ. Используя теорему о разложении перестановки в композицию циклов (к слову, непересекающихся), можно заметить, что порядок каждого из циклов равен его длине. Если мысленно представить перестановку в виде ориентированного графа, то процесс поиска циклов сведётся к поиску в глубину: обойти каждую компоненту связности, зафиксировать число входящих в неё вершин (на илл.)
  3. Зная длины всех циклов, нетрудно заметить, что задача сводится к поиску НОК полученной последовательности длин. Обосновать такой переход можно индуктивно: порядок перестановки, представимой в виде композиции двух циклов, равен НОК их длин, а случай большего количества циклов в разложении сводится к рассмотренному последовательным рассмотрением пар циклов (результат не зависит от порядка рассмотрения в силу ассоциативности композиции).

Реализация:

ideone: http://ideone.com/nz2JlG
Засчитанное решение: http://www.e-olimp.com/solutions/1937971

Примечания

  • Экспериментально выяснено, что только тип long double является достаточно вместительным для избежания переполнения.
  • Операция взятия остатка для чисел с плавающей точкой не определена аппаратно, так что алгоритм Евклида вычисления НОД реализован в соответствии с его математическим описанием.
  • Модификатор fixed используется для предотвращения вывода чисел в научном формате (с использованием степеней десятки).

Ю12.19

Марченко Філіп Олександрович
Марченко Філіп Олександрович

Latest posts by Марченко Філіп Олександрович (see all)

Задача:  В имеющемся словаре найти группы слов, записанных одними и теми же буквами и отличающиеся только их порядком, то есть перестановкой, например, (КОРМА, КОМАР).

Код:

 

Тесты:

Исходный словарь Обработанный словарь
the and a to I is of have you he it in not was that his do on with she at say her for as are we but can him they up what out me go get this from be look my there know all one no see will back into like if were then an come think so down your them would about man take just by am now over make been or time when hand who want here tell off right their turn two through eye head other how some more around door room face day where way night well thing open away give only something ask move stand good find again little try too still hear walk before leave sit let long call feel close very why which car any hold work run never start even light than after put yes stop old watch first may talk another cut mean pull behind smile our toward towards much its house keep place begin nothing year woman side because three seem wait need moment himself stare arm use voice last late across sure front sound big really name should new anything against guy kill point small happen wall black step window life maybe fall own far under boy

no
on
three
there
own
now
how
who
thing
night
its
sit
name
mean

Все слова Безымянный

Алгоритм:

Для решения данной задачи я воспользовался возможностью, которую мне предоставляет библиотека <algorithm> . Поскольку мне надо было проверить, являются ли строки перестановками строки s_tmp, которую я ставлю в роли исходной с каждой итерацией, я воспользовался функцией is_permutation .  Если некая строка является перестановкой, то она выводится на экран и стирается. С последующими итерациями будет проводится проверка на наличие на том или ином месте строки. Если строки обнаружено не будет, программа перейдёт к следующей итерации.

Для проверки правильности работы программы, воспользуйтесь ссылкой .

UPD: Поскольку я понял, что вводить вначале количество слов неудобно, я решил написать функцию, которая сама создаст массив из введённой мной строкой.