# e-olymp 94. Problem of prime numbers!

The task is taken from e-olymp One of the most difficulties of an instructor is question design for the final-term exam. Dr. Ghavamnia teaches “Fundamentals of Algorithms” at University of Isfahan (UI) and has designed a good practical algorithmic problem for his exam. He wants that students use all of their algorithmic skills to code this problem as best and efficient as they can. The problem is as follows: a ring is composed of $N$ circles numbered from $1$ to $N$ as shown in diagram. You are given $N$ integer numbers. Put these numbers into each circle separately with the condition that sum of numbers in three adjacent circles must be a prime.
Each test case may have several solutions and your task is to find the one with minimum weighted sum. Weighted sum is defined as the sum of products of each number in circle by the sequence number of that circle. For instance, the weighted sum in above diagram is $36$ (and also it is the minimum).

# Input

The first line of input contains a single integer, the number of test cases. Following, there is one line for each test case. Each test case begins with one integer, $N$ ($3 \leq N \leq 15$), which is the number of circles. Next $N$ integers are the given numbers to put in circles (all between $1$ and $100$, inclusively).

# Output

There should be one line for each test case in output. If there’s no way for building the ring, the word «impossible» should be outputted, or otherwise, a single integer which is the minimum weighted sum.

# Tests

 № Inputs Outputs 1 5 4 1 3 7 9 4 1 1 3 5 15 11 6 2 3 2 14 1 2 10 7 2 2 3 6 2 9 1 1 1 2 2 2 2 2 2 7 1 2 3 4 5 6 7 36 imposible 396 72 imposible

# Solution

We need all permutations of our array and if permutation suits us update $min$ value. To check if number is prime I use Sieve of Eratosthenes. To get all permutation I use recursive function which works in this way: We accumulate an array in all possible ways. What we do:

• Fixed empty position in array with a value
• Remember that we used this value
• Find all permutations of array with size which is smaller by 1
• Forget that we used this value (to use it in next permutations)

We stop when we accumulate an array with size we need and check if this permutation suits us(if sum of all triples of this circle are prime). If yes update answer(if it is less than answer). So if we send this solution to server we will get time limit. We need to reduce permutations which do not suit us. To speed up our program we can reduce amount of permutations in this way: if we find out that sum of previous three numbers, which are fixed, is not prime, we do not need to continue this branch of recursion. Really if in our array we found that one sum of three number is not prime we do not need to accumulate this array further. But anyway we get time limit.
Let’s see the differences in complete array where any some of three numbers is prime number.
Input: 8 2 1
Let’s find all suitable permutations:

1. 8 2 1
2. 2 8 1
3. 2 1 8
4. 1 8 2
5. 8 1 2
6. 1 2 8

As you can see first three are different with shifts. Last three are also different with shifts. So we can fix one element find all permutations we need with less by 1 amount of elements and then shift all elements of every array to get all possible permutations which are correct as you can see above (1,2,3) (4,5,6). In the worst case it will work not for $15!$ but for $14!$. And now we get Accept.
The complexity is $O(n!)$
Why I did not get time limit at all (because of complexity)? In task said than amount of test which works with $O(n!)$ can be huge. But who will make so many tests? In our case there are near 5 tests in one.

# Задача

Найти число от $1$ до $n$ включительно такое, что в разложении его на простые множители количество множителей максимально. Если таких чисел несколько, выбрать максимальное из них.

Например, если $n = 7$, то ответом будет число $6$, как наибольшее число, имеющее в своем разложении $2$ простых множителя $2$ и $3$.

## Входные данные

Одно целое число $n$ $(1 ≤ n ≤ 2^{31}- 1)$.

## Выходные данные

Вывести одно искомое число.

## Тесты

 № Ввод Вывод 1 1 1 2 10 8 3 100 96 4 363 256 5 2147483647 1610612736

## Решение

Для решения данной задачи нам необходимо понять, что чем меньше простой множитель, тем больше таких множителей может содержать в себе искомое число, значит наше число состоит только из двоек или из двоек и одной тройки.

Заметим, что если заданное число будет единицей, двойкой или тройкой, то его и надо вывести на экран.

### Условные операторы

Для начала с помощью логарифма найдем максимальный показатель степени двойки, содержащейся в заданном числе.  Заметим, что нас интересует только целая часть полученного результата.

Далее возьмём двойку и тройку (как наименьшие возможные простые множители искомого числа) и сдвинем их битово влево на показатель степени двойки минус один, так как эта первая степень уже заложена в самих 2 и 3. Сдвигать нужно для того, чтоб повысить степень двойки в нашем числе, тем самым увеличив количество простых множителей.

Из двух полученных в результате наших действий чисел выберем наибольшее не превосходящее входные данные.

### Цикл

Создадим две переменные равные двум и трём и будем увеличивать их вдвое до тех пор, пока полученное число не превосходит заданное.

Из полученных двух чисел выберем наибольшее, как этого требует условие задачи.

## Ссылки

Задача множители на e-olymp

Решение задачи на Ideone циклом

Решение задачи на Ideone условными операторами

# Задача

Пусть $m$ и $n$ $\left(2 ≤ m < n ≤ 107\right)$ — целые числа. Рассмотрим следующее множество:

Prime $\left(m, n\right) = \lbrace{ p | p\;простое, m ≤ p ≤ n \rbrace}$.

Вычислить мощность множества Prime$\left(m, n\right)$.

# Входные данные

Состоит из нескольких тестов. Два последовательных теста разделены пустой строкой. Для каждого теста в отдельной строке заданы числа $m$ и $n$.

# Выходные данные

Для каждого теста вывести результат в отдельной строке. Результаты соседних тестов разделять пустой строкой. Для каждого теста вывести мощность множества Prime$\left(m, n\right)$.

# Тесты

Входные данные Выходные данные
2    20

70    110

5    150

8

10

33

7    2056

14    181

27    367

307

36

64

77    777

55    555

33    333

116

85

56

# Решение

Для решения этой задачи требуется завести большой массив типа bool и присвоить ему значение true. Затем проверяется, простое ли число, если это не так, то присваиваем значение false.
Затем нужно последовательно сосчитать мощность каждого множества простых чисел, то есть количество простых чисел от n до m, с помощью массива-счётчика: записывается в него прошлые и последующие элементы множества простых чисел.
После этого в цикле задаются нужные значения, считается ответ и выводится.

Условие задачи на e-olymp.com
Код решения на ideone.com

# Сумма всех

Вычислите сумму всех заданных чисел.

#### Входные данные

Содержит $n$ $(1 ≤ n ≤ 10^5)$ целых чисел. Все числа не превосходят $10^9$ по абсолютной величине.

#### Выходные данные

Выведите сумму всех заданных чисел.

#### Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 $2$ $4$ $6$
2 $3$ $3$
3 $1$ $2$ $3$ $2$ $1$ $9$
4 $1$ $2$ $3$ $4$ $10$
5 $0$ $0$ $0$ $0$ $0$

## Решение задачи

Пользователь вводит числа до тех пор, пока программа не завершит работу. Как только это случается, программа выдаёт ответ в виде суммы всех ранее введённых чисел. Также, стоит использовать переменную типа long из-за того, что сумма чисел может быть довольно большой и явно превышать максимальное допустимое значение для переменной типа int.

## Ссылки

• Задача на e-olymp.

• Решение на сайте ideone.

# A 325. Простые делители числа

Задача
Дано натуральное число $n$. Получить все простые делители этого числа.

Входные данные
Натуральное число $n$

Выходные данные
Все его простые делители напечатанные через пробел

Тесты

 входные данные выходные данные 2 2 7 7 50 2 5 5 169 13 13 583 11 53 2368 2 2 2 2 2 2 37 73890 2 3 3 5 821 885066 2 3 7 13 1621 6943960340 2 2 5 97 1787 2003

Код программы

Решение задачи
Для решения задачи мы проверяем все числа от 2 до $\sqrt{n}$. Если число является делителем $n$, то мы его выводим и делим $n$ на это число. Повторная проверка на простоту не требуется так как мы ведем поиск снизу, а значит число полученное после проверки уже не может делиться на составное. В конце, если остается простой делитель больше, то он выводиться так же.

Ссылки

# A328

Задача:
Найти $100$ первых простых чисел.
Тесты:
Обобщим задачу и для тестов используем разное количество первых простых чисел.

Вход Выход
1 25 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
2 50 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229
3 100 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

Код:

Решение:
Первое простое число печатаем сразу, остальные $n-1$ будем проверять циклами: проверим нечетные числа на нечетные делители(пройдём цикл по делителям). Число простое, если нет делителей. Если не простое, то переходим к следующему. Каждое простое число печатаем до $n$ включительно.
Ссылки:

1.  Условие задачи.
2.  Онлайн компилятор ideone.

# e-olymp 1285. Деление Гольдбаха

## Задача

Широко известна проблема Гольдбаха! Вот одна из её версий:

• Любое нечетное число больше $17$ можно записать в виде суммы трёх нечётных простых чисел;
• Любое чётное число больше $6$ можно записать в виде суммы двух нечётных простых чисел.

Если число чётное, то мы раскладываем его на суммы двух простых разных нечётных, а если нечётное — то на суммы трёх простых разных нечётных. Такой способ разложения для заданного $N$ назовём делением Гольдбаха и обозначим как $G\left( N \right)$.
Зная заданное число $N$, найти $\left| G\left( N \right) \right|$, т.е. количество различных $G(N)$.

### Входные данные:

Входные данные содержат несколько тестовых случаев.
Каждый тест в отдельной строке содержит одно единственное число $N \left( 1\le N\le 20000 \right)$.
Ввод продолжается до конца входного файла.

### Выходные данные:

Для каждого тестового случая вывести в отдельной строке одно число — найденное значение $\left| G\left( N \right) \right|$.

## Тесты

 № Входные данные Выходные данные 1 5 8 18 19 20 0 1 2 1 2 2 13 22 78 4 150 0 2 7 0 12 3 2000 37 4 6 8 17 19 337 0 1 0 1 195

## Код программы

Засчитанное решение на e-olymp.com

## Решение

Поместим все тестовые случаи в вектор и найдём максимальное из данных чисел — $max$. Затем найдём все нечётные простые числа меньшие $max$ (единственное чётное простое число — $2$). Заведём массив размером $max+1$, $i$-м элементом которого будет $\left| G\left( i \right) \right|$. Тогда, если $i$- чётное, то одно из слагаемых суммы $a_{i}+b_{i}$ двух простых разных нечётных чисел будем подбирать из найденных ранее простых нечётных чисел, но строго меньших $\frac { i }{ 2 }$, чтобы разбиения, отличающиеся только порядком следования частей считать равными, и выполнялось неравенство $a_{i}\neq b_{i}$. Если разность $i$ и подобранного таким образом числа — нечётное простое число, то это деление Гольдбаха, тогда увеличиваем на единицу $\left| G\left( i \right) \right|$. Если $i$ — нечётное, то $a_{i}$из суммы $a_{i}+b_{i}+c_{i}$ трёх простых разных нечётных чисел будем подбирать из всех простых нечётных чисел строго меньших $i$. Разностью $i$ и подобранного числа $a_{i}$ (разность двух нечётных) будет чётное число $j$, $\left| G\left( j \right) \right|$ мы уже нашли ранее. Тогда можем представить $\left| G\left( j \right) \right|$ различных разложений $G\left( i \right)$ в виде $a_{i}+G\left( j \right)_{k}$ или $a_{i}+{a_j}_{k}+{b_j}_{k}$, где $k=\overline { 1,\left| G\left( j \right) \right| }$, a $G\left( j \right)_{k}$ — $k$-е разбиение числа $j$. Значит все полученные $\left| G\left( j \right) \right|$ будем прибавлять к $\left| G\left( i \right) \right|$, а чтоб избежать ситуаций $a_i={a_j}_k$ и $a_i={b_j}_k$, если $i-2a_{i}$ — простое число не равное $a_{i}$ (то есть при некотором значении $k$ одно из чисел $G\left( j \right)_{k}$ равно $a_{i}$ и не равно второму числу, так как ${a_{j}}_k\neq {b_{j}}_k$ мы учли ранее), то будем отнимать единицу от $\left| G\left( i \right) \right|$. В разбиениях $j$ мы не учитываем порядок следования частей. Чтобы не учитывать его в и разбиениях числа $i$, разделим полученный результат $\left| G\left( i \right) \right|$ на $3$.

# A327. Простые числа

Задача из сборника задач по программированию Абрамова С.А. 2000г.
Даны натуральные числа $a, b (a\le b)$. Получить все простые числа $p$, удовлетворяющие неравенствам $a\le p\le b$.

Входные данные:
Два натуральных числа $a$ и $b$.

Выходные данные:
Некоторое количество натуральных чисел.

Тесты.

 № Входные данные Выходные данные $a$ $b$ $p$ 1 1 4 2, 3 2 0 1 Not found 3 5 5 5 4 6 20 7, 11, 13, 17, 19

Код программы (C++).

Код программы (Java).

Решение.
C++:
Для начала, вводятся два целых числа. Очевидно, что придётся проверять, являются ли простыми числа, большие чем $a$ и меньшие чем $b$. Не представляется возможным заранее узнать, насколько большими будут эти числа, потому, на мой взгляд, наиболее подходящим решением будет каждый запуск программы заново находить все простые числа до $b$. Создаётся вектор, в котором они будут храниться (целесообразно использовать именно вектор, поскольку неизвестно точно, сколько чисел придётся хранить). Далее идёт цикл, в котором каждое число от двух до $b$, если оно не делится нацело ни на один из элементов вектора (это проверяется при по мощи вложенного цикла), добавляется в этот вектор и, если оно больше чем $a$, выводится. В случае, если $b<2$, очевидно, простые числа найдены не будут, потому выводится "Not found."
Java:
Решение на Java представляет собой реализацию Решета Эратосфена.
Код на ideone.com: C++, Java.
Условие задачи (с.135)

# Совершенные числа

Задача. Найдите все чётные совершенные числа не превышающие заданного числа$M$.

Напомним, что натуральное число $n$ называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, не считая его самого. Известно, что все совершенные числа — четные и что первое совершенное число из натурального ряда равно 6. Этим объясняется правило изменения параметра внешнего цикла. Так как все натуральные числа имеют своим делителем единицу, полагаем начальное значение суммы делителей числа S = 1. Во внутреннем цикле организуется перебор всех делителей текущего значения N. Из теории чисел известно, что такому испытанию имеет смысл подвергать числа от 2 до $\frac{n}{2}$, либо даже до $\sqrt{n}$. Этот не очень совершенный алгоритм реализован в следующем коде:

Обратите внимание, что во внутреннем цикле мы прекращаем искать делители, если их сумма уже превышает исходное число.

Теперь рассмотрим другой подход, позволяющий ускорить вычисления. Используем алгоритм нахождения совершенных чисел, более эффективный по сравнению с приведенным ранее. Этот алгоритм основан на известном из теории чисел утверждении Ферма о том, что если натуральное число $p = 2^{k+1}-1$ простое, то число $n = 2^k \cdot (2^{k+1}-1)=p \cdot 2^k$ — совершенное ($k = 1,2,\ldots$).
Функция prime() определяет, является ли число $p$ простым. Обратите внимание, что функция проверяет в качестве возможных делителей исходного числа только нечетные числа, так как само испытуемое число — нечетное.

Отметим, что это очень эффективный алгоритм: приведенные результаты были получены программой практически мгновенно. Программа из предыдущей задачи за разумное время этого сделать не может.
Вывод: если алгоритм плохой, то программа хорошей быть не может.
К сожалению, алгоритм не гарантирует нахождения всех совершенных чисел.