e-olymp 48. Красные и синие квадраты

Задача

Петя и Вася готовились к контрольной работе по теме ”Периметр и площадь фигур”. Петя нарисовал геометрическую фигуру, закрасив на листе в клеточку некоторые клеточки синим цветом, а Вася вычислял периметр образованной фигуры и дорисовывал максимальное количество квадратов красным цветом таким образом, чтобы периметр новообразованной фигуры оставался таким же.
Напишите программу, которая по заданным координатам закрашенных синих квадратов найдет максимальное количество красных квадратов, которое можно дорисовать так, чтобы периметр новообразованной фигуры не изменился.

Входные данные

В первой строке находится количество синих квадратов $n$ ($0 < n < 40404$). Далее идут $n$ строк, каждая из которых содержит координаты $x$, $y$ ($-101 \leq x, y \leq 101$) левых нижних углов синих квадратов.

Каждый синий квадрат имеет хотя бы одну общую точку хотя бы с одним другим синим квадратом. Фигура, образованная синими квадратами, является связной.

Выходные данные

Вывести количество красных квадратов.

Тесты

Входные данные
Выходные данные
$3$
$1$ $2$
$2$ $1$
$3$ $1$
$3$
$3$
$1$ $1$
$2$ $2$
$1$ $3$
$6$
$10$
$1$ $1$
$2$ $2$
$1$ $3$
$2$ $4$
$1$ $5$
$2$ $6$
$1$ $7$
$2$ $8$
$1$ $9$
$2$ $10$
$90$

Код программы

Решение задачи

Для начала, нужно понять, что для каждой связной фигуры, составленной из одинаковых квадратов, существует как минимум один прямоугольник с таким-же периметром, что и фигура. Тогда каждую фигуру можно будет достраивать до прямоугольника, сохраняя периметр.

Чтобы доказать это, пусть сторона квадрата равна $1$. Тогда периметр фигуры, составленной из этих квадратов, всегда будет делится на $2$ (это легко понять, строя такие фигуры на листке бумаги: добавление каждого нового квадрата в фигуру может изменить периметр только на $-4, -2, 0, 2, 4$). А так как периметр прямоугольника равен $2 * (a + b)$, где $a, b$ – стороны прямоугольника, то для существования прямоугольника с таким-же периметром должно выполняться условие $\forall p \in \mathbb{N} , p > 2 \rightarrow \exists a,b \in \mathbb{N} : 2p = 2*( a + b )$. Очевидно, что условие действительно выполняется для всех $p>2$.

Запишем нашу фигуру в массив squares. После чего посчитаем ее периметр: каждый непустой квадратик фигуры добавляет $1$ к периметру за каждую пустую клеточку слева, справа, сверху или снизу от него. Далее будем искать все подходящие прямоугольники, записывая максимальную площадь в переменную max: перебирая значения первой стороны $j$, высчитываем через периметр вторую сторону $i = \displaystyle \frac{p}{2} — j$. Площадь будем считать, как разницу площади прямоугольника и изначальной фигуры (число $n$ равно площади фигуры, потому что площадь каждого квадрата равна $1$).
В конце, выводим разницу максимальной площади и площади изначальной фигуры (площадь изначальной фигуры равна $n$, ведь площадь каждого квадрата равна $1$).

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

e-olymp 7944. Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника

Найдите площадь прямоугольника.

Входные данные

Целочисленные стороны прямоугольника [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex]  [latex](1 ≤ a, b ≤ 1000)[/latex].

Выходные данные

Выведите площадь прямоугольника.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 [latex]1[/latex] [latex]1[/latex] [latex]1[/latex]
2 [latex]2[/latex] [latex]4[/latex] [latex]8[/latex]
3 [latex]511[/latex] [latex]428[/latex] [latex]218708[/latex]
4 [latex]5555[/latex] [latex]4444[/latex] [latex]24686420[/latex]
5 [latex]11[/latex] [latex]11[/latex] [latex]121[/latex]

 

Код программы

Решение задачи

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы равны. Все углы в прямоугольнике прямые, т.е. составляют [latex]90°[/latex]. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон [latex](a, b)[/latex]. Следовательно формула решения задачи будет такой: [latex]a · b[/latex].

Ссылки

• Задача на e-olymp.

• Решение на сайте ideone.

e-olymp 7612. Алекс и квадраты оригами

Задача

Алекс любит оригами — японское искусство складывания из бумаги. Большинство конструкций оригами начинаются с квадратного листа бумаги. Алекс собирается сделать подарок для своей матери. Подарочная конструкция требует три одинаковых квадратных листа бумаги, но у Алекса имеется только один прямоугольный лист. Он может из него вырезать квадраты, стороны которых должны быть параллельны сторонам листа. Помогите Алексу определить максимально возможный размер квадратов, который он способен вырезать.

Входные данные

В одной строке два целых числа [latex]h[/latex] и [latex]w[/latex] ([latex]1 ≤ h, w ≤ 1000[/latex]) — высота и ширина куска бумаги.

Выходные данные

Выведите одно действительное число — наибольшую длину стороны квадратов. Всегда можно вырезать три одинаковых квадрата из листа бумаги размером [latex]h × w[/latex] так, чтобы их стороны были параллельны сторонам листа.

Ответ следует вывести с точностью не меньше трех десятичных знаков.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$100$ $100$ $50.000$
$10$ $80$ $10.000$
$50$ $76$ $25.333$
$60$ $27$ $20.000$
$8$ $3$ $2.667$

Код программы

Решение задачи

Существует два варианта оптимального расположения трех квадратов — три в один ряд,

или же два, соприкасающихся одной стороной, и третий над ними

Обозначим за [latex]a[/latex] меньшую сторону листа бумаги, а за [latex]b[/latex] — большую. Если [latex]a[/latex] не больше [latex]\frac{b}{3}[/latex], то оптимальным расположением квадратов в прямоугольнике будет первый вариант, а наибольшей возможной стороной квадратов является меньшая сторона листа бумаги [latex]a[/latex]. В противном случае рассмотрим два варианта:

  1. Если [latex]\frac{a}{2}<\frac{b}{3}[/latex], то квадраты будут располагаться в прямоугольнике первым способом, и ответом будет служить число [latex]\frac{a}{2}[/latex].
  2. Иначе квадраты будут располагаться в прямоугольнике вторым способом, и ответом будет служить число [latex]\frac{b}{3}[/latex].

Таким образом, в случае [latex]a>\frac{b}{3}[/latex] ответом будет служить большее из двух чисел [latex]\frac{a}{2}[/latex] и [latex]\frac{b}{3}[/latex].
Минимальное из [latex]\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)[/latex] и [latex]a[/latex] число и будет ответом.
Проверим нашу формулу:если [latex]a<\frac{b}{3}[/latex], то [latex] \max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)=\frac{b}{3} [/latex], и тогда [latex]\min\left(a,\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)\right)=a[/latex]. Иначе [latex]\min\left(a,\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)\right)=\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)[/latex], что нам и требуется.

Ссылки

Условие задачи на сайте E-Olymp
Код решения задачи

e-olymp 130. Прямоугольник

Задача

Заданы координаты трёх вершин прямоугольника. Найдите координаты четвертой вершины.

Входные данные

В единственной строке записано шесть чисел — координаты трёх точек.

Выходные данные

Два числа, координаты искомой вершины прямоугольника. Все входные и выходные данные — целые числа, не превышающие по модулю [latex]100[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]0[/latex] [latex]0[/latex] [latex]0[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]0[/latex]
[latex]1\, 4\, 4\, 0\, 0\, 2[/latex] [latex]5\, 2[/latex]
[latex]-100[/latex] [latex]-100[/latex] [latex]100[/latex] [latex]100[/latex] [latex]100[/latex] [latex]-100[/latex] [latex]-100[/latex] [latex]100[/latex]
[latex]2[/latex] [latex]-1[/latex] [latex]3[/latex] [latex]1[/latex] [latex]-2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]-1[/latex] [latex]3[/latex]
[latex]8\, 0\, 1\, 6\, 0\, 4[/latex] [latex]9\, 2[/latex]

Код программы

Решение задачи

Прямоугольник

Прямоугольник

Координаты четвертой вершины будут равны сумме координат прилежащих вершин минус координаты противоположной вершины, т. е: [latex]x_4=x_1+x_3-x_2[/latex] и [latex]y_4=y_1+y_3-y_2[/latex]. Но мы не знаем какая из входных вершин противоположна четвертой, а какие — прилежащие. Так как наша фигура это прямоугольник, то противоположная вершина будет при угле [latex]90^{\circ}[/latex]. Произведение перпендикулярных векторов дает [latex]0[/latex]. Перебрав три варианта произведения векторов, заданных входными вершинами, находим вершину при угле [latex]90^{\circ}[/latex]. Остальные две, соответственно, будут прилежащими. Находим координаты четвертой вершины по формуле, заданной выше.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

Ю2.6

Условие

Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан координатами своих вершин на плоскости: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c)[/latex], [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. Определить тип четырёхугольника: прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Учесть погрешность вычислений.

Замечание:  Для устранения дополнительных источников погрешности рекомендуется использовать аппарат векторной алгебры: коллинеарность, равенство и ортогональность векторов — сторон четырёхугольника.

Входные данные

В одной строке заданы 8 чисел [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] — координаты вершин четырёхугольника [latex]ABCD[/latex],  значения которых не превышают по модулю [latex]50[/latex].

Выходные данные

  1. В первой строке вывести: «Тип четырёхугольника: «(без кавычек).
  2. Во второй строке вывести:  «Произвольный четырёхугольник» или «Прямоугольник» или «Параллелограмм» или «Трапеция»(без кавычек). Одно исключает другое.

Также условие задачи можно посмотреть, скачав ознакомительную версию задачника А.Юркина здесь.

Тестирование

Координаты [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] Вердикт (тип четырёхугольника)
1. -5 -4 -1 -2 -4 3 -1 -8 Параллелограмм
2.  -2 -3 7 3 -2 1 7 1  Трапеция
 3. 0 0 1 1 0 1 1 0  Прямоугольник
 4.  50 -20 3 -50 7 6 2 3  Произвольный четырёхугольник
5. 2 -3 -6 -1 4 7 6 3 Параллелограмм
6. 1 -5 6 20 2 0 13 -9 Произвольный четырёхугольник
7. 0 1 2 1 0 1 1 0 Параллелограмм
8. -6 0 6 0 1 5 -4 -8 Прямоугольник

Реализация

Алгоритм решения

  1. Задан четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex], [latex]C(x_c,y_c)[/latex] и [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. В данной задаче будет уместным использование аппарата векторной алгебры.  Пусть стороны четырёхугольника — векторы.
  2. Очевидно, что для того, чтобы определить тип данного четырёхугольника, необходимо воспользоваться известными свойствами, а именно: свойствами прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Так как в задаче используется аппарат векторной алгебры, обращаемся к таким свойствам векторов, как коллинеарность и равенство.
  3. Сразу же установим: является ли четырёхугольник трапецией. Проверим одну из двух пар сторон на параллельность. Для этого воспользуемся условием коллинеарности векторов на плоскости: [latex]\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}[/latex], если [latex]a_i, b_i\ne0[/latex].  Координаты векторов [latex]\vec{b}[/latex] и [latex]\vec{d}[/latex] должны быть пропорциональны, что означает, что соответствующие стороны параллельны. Следовательно, [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Или же координаты векторов [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{c}[/latex] должны быть пропорциональны. Проверяем: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex]. Если условие не выполняется, четырёхугольник произвольный. Если, напротив, координаты хотя бы одной пары векторов пропорциональны, четырёхугольник является трапецией.
  4. Если четырёхугольник — параллелограмм, то обе пары его противоположных сторон параллельны. Проверим, выполняется ли: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex] и [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Если условие выполняется, то заданный четырёхугольник — параллелограмм.
  5. Частным случаем параллелограмма является прямоугольник. Диагонали [latex] AC, BD[/latex] обозначим как [latex] l, m[/latex] соответственно. Пусть [latex] l, m[/latex] — векторы.  Вычислим длины векторов [latex]\vec{l}[/latex], [latex]\vec{m}[/latex], пользуясь формулой.  Получаем: [latex]\vec{|l|}= \sqrt{(x_c — x_a)\cdot (x_c -x_a) + (y_c — y_a)\cdot (y_c -y_a)}[/latex], [latex]\vec{|m|}= \sqrt{(x_d — x_b)\cdot (x_d -x_b) + (y_d — y_b)\cdot (y_d -y_b)}[/latex]. При условии, что [latex]\vec{l}=\vec{m}[/latex], имеем прямоугольник.

Более детально со свойствами и видами четырёхугольников можно ознакомиться здесь, а с основными сведениями из векторной алгебры — здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.

 

 

А55

Задача. Даны действительные положительные числа [latex]a, b, c, d[/latex]. Выяснить, можно ли прямоугольник со сторонами [latex]a, b[/latex] уместить внутри прямоугольника со сторонами [latex]c, d [/latex] так, чтобы каждая из сторон одного прямоугольника была параллельна или перпендикулярна каждой из сторон второго прямоугольника.

Тесты:

c d a b Результат Комментарий
4 6 5 5 Нельзя разместить Пройден
4 8 7 3 Можно разместить Пройден
23 45 87 23 Нельзя разместить Пройден
15 33 15 12 Можно разместить Пройден
7 9 7 13 Нельзя разместить Пройден

Код на С

Код на Java

 

Решение: Прямоугольник можно разместить внутри другого если,  стороны меньше соответствующих им параллельным.  Согласно условию существует две различные комбинации размещения прямоугольника. Проверив необходимые неравенства, определим можно или нельзя разместить прямоугольник внутри другого.

Ознакомиться с кодом на С можно здесь, а с кодом на Java здесь.