e-olymp 774. Торт

Задача

После окончания второго тура олимпиады по программированию участники олимпиады решили отметить это событие. Для этой цели был заказан один большой торт прямоугольной формы. При этом стол, вокруг которого собрались участники был круглым. Естественно, у них возник вопрос, поместиться ли прямоугольный торт на круглом столе так, чтобы ни одна часть торта не выходила за пределы стола. Вам необходимо дать ответ на этот вопрос, зная размеры торта и радиус стола.

Входные данные

Содержит три натуральных числа: радиус стола [latex]r \left(1\leqslant r\leqslant 1000 \right)[/latex], ширину [latex]w[/latex] и длину [latex]l[/latex] торта [latex] \left(1\leqslant w \leqslant l \leqslant 1000\right)[/latex].

Выходные данные

Вывести слово [latex]YES[/latex], если торт помещается на стол, и слово [latex]NO[/latex] в противном случае.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 38 40 60 YES
2 35 20 70 NO
3 50 60 80 YES
4 30 60 90 NO

Код программы

с ветвлением:

без ветвления:

 

Решение задачи

Вписанный в окружность прямоугольник

Вписанный в окружность прямоугольник

Для того, чтобы узнать, помещается торт на столе или нет, необходимо найти диагональ прямоугольного торта. Зная длину и ширину прямоугольника, находим диагональ по теореме Пифагора. Если она равна или меньше диаметра стола $AB^2$ + $AD^2$ <= 4$OD^2$, значит торт помещается, и пишем  "YES". Если диагональ больше диаметра стола, пишем  "NO".

Ссылки

  • Условие задачи на e-olymp
  • Код программы с ветвлением на ideone
  • Код программы без ветвления на ideone

KM2. Радиус окружностей, удовлетворяющих условию

Задача

Дана сфера радиуса [latex]1[/latex]. На ней расположены равные окружности [latex]\gamma_0[/latex], [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex] радиуса [latex]r \left(n \ge 3\right)[/latex]. Окружность [latex]\gamma_0[/latex] касается всех окружностей [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex]; кроме того, касаются друг друга окружности [latex]\gamma_1[/latex] и [latex]\gamma_2[/latex]; [latex]\gamma_2[/latex] и [latex]\gamma_3[/latex]; [latex]\ldots[/latex]; [latex]\gamma_n[/latex] и [latex]\gamma_1[/latex].
При каких [latex]n[/latex] это возможно? Вычислить соответствующий радиус [latex]r[/latex].

Входные данные

Количество окружностей [latex]n[/latex].

Выходные данные

Радиус окружностей [latex]r[/latex].

Тесты

Входные данные ([latex]n[/latex]) Выходные данные ([latex]r[/latex])
3 0.816497
4 0.707107
5 0.525731
6 Solution does not exist.

Код программы

Решение задачи

Каждой окружности на сфере можно сопоставить её «центр на сфере» — конец радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере). Эту точку мы будем называть «центром» окружности в кавычках, подчёркивающих, что это не «обычный» центр (рис. 2, а).

Заметим для точности, что такого определённого «центра» нет у окружностей больших кругов сферы. Но окружности, о которых идёт речь в условии задачи, заведомо не могут иметь радиус [latex]1[/latex], потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга касаться, — они всегда пересекают друг друга в двух диаметрально противоположных точках сферы.

Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см. рис. 2, б), лежит в плоскости [latex]P[/latex], проходящей через центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричны относительно плоскости [latex]P[/latex], и если бы они имели общую точку по одну сторону плоскости [latex]P[/latex], то должны были бы иметь и симметричную ей общую точку по другую сторону [latex]P[/latex], а у них всего одна общая точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус [latex]r[/latex], то расстояние между их «центрами» равно [latex]2r[/latex], потому что на окружности большого круга, получающейся в пересечении сферы и плоскости [latex]P[/latex] (рис. 2, в), диаметры наших окружностей (чёрные отрезки) и отрезок, соединяющий их «центры» (красный), стягивают равные дуги.

Пусть [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]A_2[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex] — «центры» окружностей [latex]\gamma_0[/latex], [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex], о которых идёт речь в условии задачи. Тогда [latex]A_0 A_1=A_0 A_2=\ldots=A_0 A_n=A_1 A_2=A_2 A_3=\ldots=A_n A_1=2r[/latex], другими словами, [latex]A_0 A_1 A_2 \ldots A_n[/latex] — правильная [latex]n[/latex]-угольная пирамида с вершиной [latex]A_0[/latex], у которой все боковые грани — равносторонние треугольники со сторонами равными [latex]2r[/latex]. Итак, достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда точки [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex] будут определять окружности радиуса [latex]r[/latex], с «центрами» [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex], которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи.

Поскольку сумма плоских углов выпуклого [latex]n[/latex]-гранного угла с вершиной [latex]A_0[/latex] меньше [latex]360^\circ[/latex]:
[latex]n\cdot60^\circ=[/latex]∠[latex]A_1 A_0 A_2+[/latex]∠[latex]A_2 A_0 A_3+\ldots+[/latex]∠[latex]A_n A_0 A_1<360^\circ[/latex], то [latex]n<6[/latex]. Для [latex]n=3[/latex], [latex]4[/latex] и [latex]5[/latex] нетрудно построить нужные пирамиды.

Пусть [latex]O[/latex] — центр сферы. Высота пирамиды [latex]h[/latex] и длина её рёбер [latex]2r[/latex] находятся из следующих соображений: радиус [latex]K A_1[/latex] основания пирамиды — катет [latex]\bigtriangleup A_0 K A_1[/latex] и боковая сторона [latex]\bigtriangleup A_1 K A_2[/latex], где ∠[latex]A_1 K A_2=2 \pi / n[/latex] (рис. 3, а , б),
[latex]\sqrt{4 r^2-h^2 \sin \frac{\pi}{n}}=r[/latex]

Из [latex]\bigtriangleup A_0 O A_1[/latex] имеем [latex]r=\frac{h}{2r}[/latex].

Отсюда [latex]h=2 r^2[/latex], [latex]r=\sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}[/latex]

Таким образом,
при [latex]n=3[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{2}{3}}[/latex] [latex]\left( \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \right)[/latex]
при [latex]n=4[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{1}{2}}[/latex] [latex]\left( \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \right)[/latex]
при [latex]n=5[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}[/latex]
(формулу [latex]\sin \frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}[/latex] можно вывести из рисунка 4, с помощью которого строятся правильный десятиугольник и правильный пятиугольник).

Рисунки, использованные в решении

Рисунок 2:

Рисунок 3:

Рисунок 4:

Научно-популярный журнал «Квант», 1970 год, №7, страницы 51-53

Итоги:
Выведенная во время решения формула [latex]r=\sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}[/latex] справедлива только при [latex]n=3[/latex], [latex]4[/latex], [latex]5[/latex]. В случае, если задать значения больше этих, то выражение под корнем примет отрицательное значение, а в рамках данной задачи это будет говорить об отсутствии решения. Значения же меньше будут недопустимы, что было указано в условии.
Таким образом, программа выведет сообщение об отсутствии решения, если заданные значения [latex]n[/latex] отличны от вышеупомянутых. Если же условия будут соблюдаться, то задача выведет соответствующее значение радиуса.

Ссылки

ML 9

Данная задача находится здесь.

Условие:

Определить периметр правильного [latex] m [/latex]-угольника, вписанного в окружность радиуса [latex] R [/latex].

Входные данные:

Количество сторон правильного многоугольника [latex] m [/latex] и радиус [latex] R [/latex] описанной около него окружности.

Выходные данные:

Единственное число — периметр заданного многоугольника.

Тесты:

m R P
1 3 4 20.7846
2 6 5 30
3  8 13  79.5982
4 27 20 125.38

Код программы:

Код на сайте ideone.com можно получить здесь.

Убедиться в корректности формулы с помощью онлайн-калькулятора можно на этом сайте.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения длины стороны правильного многоугольника с помощью радиуса описанной окружности: [latex]a=2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}[/latex] , где [latex]R[/latex] — радиус описанной окружности, а [latex]m[/latex] — количество сторон правильного многоугольника. В задаче необходимо найти периметр, т.е. общую длину всех сторон: [latex]P=a\cdot m[/latex] . Таким образом, объединив формулы, получаем конечную формулу для нахождения периметра правильного многоугольника: [latex]P=\left(2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}\right)\cdot m[/latex] , значение которой и необходимо вывести.

Источник формул : wikipedia.

 

 

ML8

Задача. Определить периметр правильного [latex]n[/latex]-угольника, описанного около окружности радиуса [latex]r[/latex].

Тесты

[latex]n[/latex] [latex]r[/latex] [latex]P[/latex]
4 2 16
3 5 51.9615
7 3 20.2261
5 5 36.3271
6 6 41.5692

Решение

Величину угла можно найти если задано только количество вершин — [latex]\frac{\pi\cdot(n-2))}{n}[/latex].

Для примера можно рассмотреть квадрат.
Без імені
Так как квадрат — правильный четырёхугольник, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности.  [latex]R[/latex]  делит угол напополам — [latex]\frac{\alpha }{2}[/latex].  Отсюда получаем треугольник:

Без імені

[latex]\frac{\alpha }{2}[/latex] — половина угла квадрата, [latex]\frac{a}{2}[/latex] — половина стороны. Так как [latex]r[/latex] проходит перпендикулярно к стороне [latex]a[/latex], то мы можем воспользоваться формулой тангенса — [latex]tg\frac{\alpha }{2}=\frac{r}{0.5a}=\frac{2r}{a}[/latex] .

[latex]a=\frac{2r}{tg\frac{\alpha }{2}}[/latex].

Выводим формулу только с  [latex]n[/latex] и [latex]r[/latex].

[latex]P=\frac{2nr}{tg(\frac{\pi(n-2)}{2n})}[/latex].

Код

Код можно увидеть здесь

 

ML 24

Условие задачи :

Треугольник задан длинами сторон. Найти радиус вписанной [latex]r[/latex] и описанной [latex]R[/latex] окружностей.

Тесты :

[latex]a[/latex] [latex]b[/latex] [latex]c[/latex] [latex]r[/latex] [latex]R[/latex]
3 4 5 1 2.5
7.5 10 13 2.45012 6.52361
1 3 4 0 inf
1 1 3 Не существует! Не существует!

Код программы :

Алгоритм :

Для начала проверяем, образуют ли вообще данные стороны треугольник. В треугольнике сумма длин любых двух сторон больше длины третьей (или равна ее длине, если треугольник является вырожденным). Если нет, сообщаем об этом пользователю :

Если треугольник существует, проводим следующие вычисления (порядок сохранен) :

  1. Вычисляем полупериметр [latex]p[/latex] треугольника: [latex]p[/latex] = [latex]\frac{a + b + c}{2}[/latex]
  2. Находим площадь [latex]S[/latex] по формуле Герона: [latex]S[/latex] = [latex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/latex]
  3. Вычисляем радиус [latex]r[/latex] вписанной окружности по формуле: [latex]r[/latex] = [latex]\frac{S}{p}[/latex]
  4. Вычисляем радиус [latex]R[/latex] описанной окружности по формуле: [latex]R[/latex] = [latex]\frac{abc}{4S}[/latex]

Работающая версия программы на Ideaone.com :

Ideone.com

Почитать про треугольник можно здесь :

Треугольник — Википедия

А26

Задача:

Найти площадь сектора, радиус которого равен 13.7, а дуга содержит заданное число радиан [latex] \varphi[/latex].

Тесты:

Ввод Вывод Результат
1 93.845 Площадь найдена
-1 Неверный ввод Неправильные данные, подсчет невозможен
0.7 65.691 Площадь найдена
8.36 784.544 Площадь найдена
0 Неверный ввод Неправильные данные, подсчет невозможен
3.14 294.673 Площадь найдена

Код программы:

Решение:
Площадь сектора находится по формуле [latex]S=\frac{\varphi}{2}r^2[/latex], после чего выводится на экран. В случае, если введённый угол меньше или равен нулю, программа выдает сообщение о неверном вводе.

Использованную формулу можно найти по этой ссылке,  а здесь  находится код в Ideone.

 

 

A59б

Задача:

Для задачи (А.59(б)

Даны действительные числа

Определить, принадлежит ли точка с координатами x, y  заштрихованной области.

X  Y  Ответ
-0.65 -0.75  Yes
-0.95 -0.59 No
700 8 No
0 0 No
0.56 0.75 Yes
1,0011 1,0012 No
0.6 0 Yes

Код программы на С++

Код программы на Java

Поскольку заштрихованная область это круг с «вырезанным кругом» внутри, то для того чтобы определить лежит ли точка в нужной нам области нам достаточно сравнить сумму квадратов координат точек с квадратом радиуса двух окружностей, которые и являются нашими границами.

Если точка лежит на самой окружности, мы считаем что она принадлежит нужной нам области.

Сравнивая полученную величину с радиусами большого и малого круга мы можем уверенно сказать находится ли точка в нужной нам окрестности.

 

Ю2.7

Задача.

Треугольник и круги.

Лежит ли заданный  на плоскости треугольник АВС в области пересечения заданных кругов:

[latex](x-a1)^2+(y-b1)^2<r1^2[/latex] , и [latex](x-a2)^2+(y-b2)^2<r2^2[/latex]  ?

Ссылка на программу на С++: http://ideone.com/NYTAWN

Код программы на Java:

Ссылка на программу на Java:http: //ideone.com/QZ7RB1

Решение:

Поскольку все фигуры выпуклые достаточно проверить вершины треугольника. Подставляем координаты всех трёх вершин в оба неравенства. Если все условия удовлетворены, то лежит. Если хоть одно условие не выполняется, то не лежит.

Тест

a1 b1 r1 a2 b2 r2 ax bx cx ay by cy Принадлежит?
1 2 3 3 4 5 6 7 8 6 7 4 нет
1 2 15 3 4 12 6 7 8 6 7 4 да
7 5 10 4 6 16 6 7 3 5 6 7 да
7 5 5 4 6 3 6 7 3 5 6 7 нет

 

А60а

Задача. Пусть [latex]D[/latex]
— заштрихованная часть плоскости и пусть [latex]u[/latex] определяется по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] следующим образом: [latex]u=\begin{cases}0, ; \text{ if } (x,y)\in D \\x ; \text{ another case }\end{cases}[/latex] (запись [latex](x,y)\in D[/latex] означает, что точка с координатами [latex]x[/latex] , [latex]y[/latex] принадлежит [latex]D[/latex]).

Даны действительные числа [latex]x[/latex] , [latex]y[/latex]. Определить [latex]u[/latex].

Снимок

x y Комментарии
3 -2 3
1.53 0.44 0
0 2 0
1 0 0

Для решения задачи воспользуемся тем, что [latex]x^{2}+y^{2}=R^{2}[/latex]. Данная точка лежит на координатной плоскости так, что [latex]x^{2}+y^{2}\geq 1^{2}[/latex] и [latex]x^{2}+y^{2}\leq 2^{2}[/latex]. При этом [latex]y\geq 0[/latex].