MLoop7

Алина Гончарова
Алина Гончарова

Latest posts by Алина Гончарова (see all)

Задача

Вычислите с точностью \epsilon значение функции f\left( x \right) = \tan x. При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Решение

Функцию [latex]f(x)=\tan x [/latex] можно представить в виде: [latex]f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}[/latex] (по свойствам тангенса). Поэтому будем раскладывать в ряд две функции: [latex]\sin x[/latex] и [latex]\cos x[/latex].

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора  с опорной точкой x_{0}=0 (ряд Маклорена). Для функции [latex]f(x)=\sin x[/latex]  она имеет следующий вид:

[latex]f(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

А для [latex]f(x)=\cos x[/latex]:

[latex]f(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/latex]

Далее нам нужно найти рекуррентные формулы для членов данных рядов.

[latex]\frac{a_n}{a_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+2)(2n+3)}[/latex];

[latex]\frac{b_n}{b_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+1)(2n+2)}[/latex]

При помощи функции fmod удалим период, так как тангенс [latex]\pi[/latex] периодичная функция.

Затем необходимо накапливать сумму текущих членов ряда для синуса и косинуса соответственно до тех пор, пока слагаемое не будет меньше заданной точности.

Код

 

Тесты

Входные данные Выходные данные
0.42 0.001 0.446569
1.52 0.001 19.9377
3.1415 0.0001 -0.000113798

Задача взята отсюда.

Код программы на Ideone.com.

MLoop 17

Задача

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Входные данные

В одной строке заданы значение переменной [latex]x[/latex] и точность вычислений [latex]\varepsilon[/latex].
[latex]\left | x \right |< 1[/latex]

Выходные данные

Значение функции в точке [latex]x[/latex] .

Тесты

[latex]\varepsilon[/latex] [latex]x[/latex]  [latex]ln(1-x^2)[/latex] Результат
0.001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287435
0.0001 0.5 [latex]ln(0.75)[/latex] -0.287671
0.01 0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.001 -0.1 [latex]ln(0.99)[/latex] -0.01005
0.1 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0
0.01 0 [latex]ln(1.00)[/latex] 0

 

Код программы

ideone.com

 

Решение

Функцию [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] можно представить в виде:
[latex]ln\left ( 1-x^2 \right )= ln\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right ) = ln\left ( 1-x \right )+ln\left ( 1+x \right )[/latex] (по свойствам логарифма).

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора  для натурального логарифма с опорной точкой [latex]x_{0}=0[/latex] (ряд Маклорена). Для функции [latex]ln\left (1+x\right )[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]ln\left (1+x\right )=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}[/latex]

Подставив в формулу [latex]-x[/latex] вместо [latex]x[/latex] , получим:

[latex]ln\left (1-x\right )=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\cdots -\frac{x^{n}}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}[/latex]

Тогда,

[latex]ln\left (1+x\right )+ln\left (1-x\right )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=[/latex] [latex]=\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\frac{x^{n}}{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}\left (\left (-1\right )^{n-1}-1\right )}{n}=[/latex][latex]=-x^{2}+0-\frac{x^{4}}{2}+0-\frac{x^{6}}{3}+0-\cdots[/latex]

Так как при нечетном [latex]n[/latex] члены данного ряда обращаются в ноль, его можно записать в виде:

[latex]-\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{3}-\cdots-\frac{x^{2n+2}}{n+1}[/latex]

Далее необходимо найти рекуррентную формулу для членов данного ряда.

[latex]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{x^{2n+2}}{n+1}\cdot\frac{n-1+1}{x^{2\left ( n-1 \right )+2}}=\frac{x^{2}\cdot n }{n+1}[/latex]

Затем необходимо суммировать до тех пор пока очередное слагаемое не будет меньше заданной точности.

MLoop 11

Павел Загинайло
Павел Загинайло

Latest posts by Павел Загинайло (see all)

Условие задачи

Вычислите с точностью \epsilon значение функции f\left( x \right) = \arccos x. При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Код программы.

 

Тесты

Входные данные Выходные данные Арккосинус
e x arccos = ([latex]\pi[/latex]/2 — f) Арккосинус
0.000001 0.866 0.523651 0.5236495809
0.01 0.5 1.04727 1.0471975512
0.00000000000001 0.35 1.21323 1.2132252231
0.00001 0.99 0.141873 0.1415394733

 

Решение

Для того, чтобы представить функцию f\left( x \right) = \arccos x необходимо воспользоваться формулой Тейлора, а именно рядом Маклорена для арккосинуса. Она имеет следующий вид:

[latex]\arccos x=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}[/latex]

Чтобы при вычислениях использовать только арифметические операции необходимо преобразовать это выражение. Первый член данной суммы — [latex]x[/latex]. Нужно узнать на что нужно домножить первый элемент, чтобы получить следующий. Для этого следует найти, чему будет равно отношение [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/latex]. В результате мы получим следующее: [latex]\frac{x^{2}(2n+1)^{2}}{2(n+1)(2n+3)}[/latex].

В функции [latex]f[/latex] переменная [latex]p[/latex] — слагаемые нашей суммы, а изначально — первый элемент. Также, в начале мы присвоили переменной суммы значение первого элемента. Затем в цикле мы домножаем наше слагаемое на полученный ранее коэффициент и складываем его с суммой до тех пор, пока значение [latex]p[/latex] превышает значение заданной точности [latex]e[/latex]. В основной части программы мы лишь выводим разность [latex]\pi/2[/latex] и нашей суммы. Это и будет значение арккосинуса.

 

Код на ideone.com

MLoop6

Радик Сиденко
Радик Сиденко

Latest posts by Радик Сиденко (see all)

Условие задачи:

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) =\cos x[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Алгоритм решения:

Для решения данной задачи я использовал Ряд Маклорена:.
[latex]\cos x = 1-\frac {x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} }{(2n)!}x^{ 2n },x\in{C}[/latex].

Тесты:

X   E Answer
1 0.0001 0.540278
1 0.000001 0.540303
-1 0.0001 0.540278
5 0.0001 0.283625

Код программы:

 

Объяснение Кода:

В коде используются 7 переменных а именно: [latex]x[/latex], [latex]x2[/latex], [latex]c[/latex], [latex]e[/latex],  [latex]n[/latex], [latex]f[/latex], [latex]z[/latex].
Переменная [latex]x[/latex] отвечает за [latex]x[/latex],   [latex]x2[/latex] за [latex]{ x }^{ n }[/latex],     [latex]c[/latex] за [latex]\cos x[/latex],  [latex]e[/latex] за [latex]\varepsilon[/latex] (epsilon-точность вычисления),  [latex]n[/latex] за порядковый номер,   [latex]f[/latex] за [latex]n![/latex]   и   [latex]z[/latex] за [latex]{ (-1) }^{ n }[/latex].

Ссылка на код в ideone