D2549. Сумма ряда

Условие задачи:
Найти сумму сходящегося ряда:
[latex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} + …[/latex]

Входные данные:
Целое число [latex]n[/latex] — номер искомой частичной суммы.

Выходные данные:
Искомая частичная сумма.

Тесты:

Вход Выход
1 1 0.5
2 500 0.998004
3 100000 0.999965

Код на языке C++ (первый вариант):

Код на языке Java (первый вариант):

Код на языке C++ (второй вариант):

Код на языке Java (второй вариант):

Решения:
Вариант первый (решение с циклом): Зададим цикл с счетчиком [latex]i[/latex] от 1 до заданного пользователем числа [latex]n.[/latex] Именно такое количество необходимых слагаемых [latex]\frac{1}{n(n + 1)}[/latex] будет найдено на каждом шаге цикла для последующего суммирования и нахождения искомой частичной суммы.

Вариант второй (решение без цикла): Ряд сводится к ряду: [latex](1 — \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} — \frac{1}{3}) + … + (\frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1})[/latex]. От сюда имеем: [latex]1 — \frac{1}{n + 1}.[/latex]

Ссылки:
Условие задачи (стр.248).
Первый вариант C++ .
Первый вариант Java .
Второй вариант C++ .
Второй вариант Java .

D2630. Сходимость ряда

Задача
Исследовать сходимость ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln(n!)}{n^{a}}[/latex] и вычислить его сумму при заданной точности.

Входные данные
Натуральное число [latex]a[/latex]

Выходные данные
Сумма ряда если она существует.

Тесты

входящие данные выходящие данные
2 -nan
3 0.578615
6 0.0146958
12 0.000172786
22 1.65259e-07

Решение задачи
Исследуем ряд на сходимость при различных значениях переменных [latex]a[/latex]. При [latex]a\leq 1[/latex] случай тривиальный — ряд будет расходиться.
Рассчитаем его при [latex]a\geq 2[/latex]. Как видно при [latex]a=2[/latex] ряд продолжает расходиться, а при [latex]a>2[/latex] он начинает сходиться и становиться возможным вычислить его сумму.

Ссылки
Условие задачи (стр. 257)
Код на ideone

D2550. Сумма ряда

Условие задачи:
Найти сумму сходящегося ряда:
[latex]\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + … + \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)} + …[/latex]

Входные данные:
Целое число [latex]k[/latex] — номер искомой частичной суммы.

Выходные данные:
Искомая частичная сумма.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1
1 0.25
2
234 0.3328591749644379
3
10000 0.33332222259257893

Код на языке C++:

Код на языке Java:

Решение задачи:
Используем цикл for от 1 до заданного пользователем [latex]k[/latex] номера частичной суммы, в котором будем суммировать слагаемые ряда вида: [latex]\frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)},[/latex] где [latex]n = \overline{1,k}[/latex].

Условие задачи (стр.248)
Код задачи на C++: Ideone
Код задачи на Java: Ideone

D2631. Сумма ряда с заданной точностью

Задача

Найти количество членов ряда, требуемых для получения значения  [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] с точностью до [latex]\varepsilon [/latex], а также найти само значение суммы с заданной точностью.

Входные данные: 

Точность [latex]\varepsilon [/latex].

Выходные данные:

Количество членов ряда [latex]n[/latex].
Значение суммы [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex].

Тесты

 №  Входные данные  Выходные данные
 [latex]\varepsilon[/latex]  [latex]n[/latex]  [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex]
 1  0.01  98  4.74785
 2  1e-7  4188  5.71199
 3  1e-9  8900  5.71208
 4  1  1  0.367879

Код программы

Решение

Докажем, что ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] сходится. Обозначим общий член данного ряда [latex]x_n[/latex]. Поскольку все члены ряда положительны, воспользуемся предельным признаком сравнения рядов. Для сравнения возьмём сходящийся ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } [/latex], общий член которого обозначим [latex]b_n[/latex]: [latex]\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ \frac { x_n }{ b_n } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ n }^{ 2 } }=K[/latex], тогда данный ряд сходится, если [latex]0<K<\infty [/latex], либо [latex]K=0[/latex].
[latex]\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ n }^{ 2 } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ e }^{ {2}{\ln { \left( n \right)} } } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n }+{ {2}{\ln { \left( n \right)} } } }}={ e }^{ -\infty }=0 [/latex].
[latex]K=0[/latex], а значит ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] сходится и значение суммы является конечным числом. Тогда для сколь угодно малого [latex]\varepsilon >0[/latex] найдётся номер, начиная с которого каждый последующий член ряда меньше [latex]\varepsilon[/latex]

Ссылки

D2580. Сходимость ряда

Задача. Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда: [latex]\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^2}+\frac{3!}{3^3}+\ldots+\frac{n!}{n^n}+\ldots[/latex]

Входные данные

[latex]n[/latex] — количество взятых членов ряда.

Выходные данные

[latex]sum[/latex] — сумма.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 Сумма: 1
Числитель: 1
Знаменатель: 1
3 Сумма: 1.72222
Числитель: 6
Знаменатель: 9
20 Сумма: 1.87985
Числитель: 2.4329e+18
Знаменатель: 5.24288e+24

Код на C++

Код на Java

Решение

Используем цикл [latex]for[/latex]: высчитываем [latex]i[/latex]-тый слагаемый, и добавляем его в сумму. В цикле высчитываем числитель, добавляем в сумму [latex]i[/latex]-тый слагаемый и домножаем числитель [latex]i[/latex]-того слагаемого на значение счётчика.
Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Ссылки

Условие задачи (стр.251)
Решение задачи на сайте Ideone.com (C++)
Решение задачи на сайте Ideone.com (Java)
Сходимости ряда