e-olymp 932. Высота треугольника

Задача

Определить высоту треугольника площадью [latex]S[/latex], если его основание больше высоты на величину [latex]a[/latex].

Входные данные

Два целых числа: [latex]S (0 < S ≤ 100), и[/latex] [latex]a[/latex] ([latex]\left | a \right |[/latex] ≤ 100).

Выходные данные

Искомая высота с точностью до сотых.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 20 7 3.73
2 35 3 7.00
3 12 4 3.29
4 67 9 7.92
5 135 13 11.17

Код программы

Алгоритм решения задачи

  1. Формула для вычисления площади треугольника [latex]S=[/latex][latex]\frac{1}{2}\cdot h \cdot c[/latex], где [latex]h[/latex] – высота, а [latex]c[/latex] – сторона, к которой высота проведена.
  2. В задаче сказано, что основание больше высоты на величину [latex]a[/latex]. Значит вместо [latex]c[/latex] мы можем подставить в формулу [latex]h+a[/latex]. Теперь формула приобретает следующий вид: [latex]S=[/latex][latex]\frac{1}{2}\cdot h \cdot \left (h+a \right )[/latex]
  3. Cовершив некоторые преобразования приходим к квадратному уравнению [latex]h^{2}+a\cdot h-2\cdot S = 0[/latex]
  4. Далее находим дискриминант по формуле [latex]D = a^{2}+4\cdot2\cdot S[/latex]. Находим корень квадратный из дискриминанта [latex]\sqrt{D}[/latex]
  5. Находим высоту по формуле [latex]h=\frac{-a+\sqrt{D}}{2}[/latex]
  6. Второй корень нам не подходит, потому что он меньше [latex]0[/latex], а длина не может быть отрицательной.
  7. Подставляем исходные данные в формулы, получаем результат.

Также подробное описание представлено в коде программы.

Ссылки

Ссылка на e-olymp

Ссылка на ideone

e-olymp 926. Формула Герона

Latest posts by Артем Чернобровкин (see all)

Задача

Герон Александрийский

Герон Александрийский

Задано стороны [latex]a, b, c, d[/latex] и диагональ [latex]f[/latex] выпуклого четырехугольника. Определить площадь четырехугольника, используя вспомогательную функцию вычисления площади треугольника по формуле Герона.

Входные данные

В одной строке задано 5 действительных чисел [latex] a, b, с, d, f[/latex] (0 < [latex] a, b, c, d, f[/latex] ≤ 100), как показано на рисунке.

Выходные данные

Вывести площадь четырехугольника с точностью 4 знака после десятичной точки.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 2 2 2 2 2 3.4641
2 7 7 5 6 2 11.6120
3 9 5 3 2 4 2.9047
4 5 7 2 3 4 12.7027
5 7 8 6 2 5 22.0043

Код программы

Решение задачи

Дано

Фигура, состоящая из двух треугольников;

Цель

Посчитать площадь данной фигуры;

Идея

Разбить фигуру на два треугольника и посчитать площадь каждого в отдельности, а потом сложить.

Способ решения

  1. Вспомним формулу Герона [latex] S = \sqrt{p \cdot(p-a) \cdot(p-b) \cdot(p-c)}[/latex].
  2. Поймем, что нам не хватает некоторых данных, а именно [latex]p[/latex].
  3. Понимаем, что [latex]p[/latex] — это полупериметр, который находится по формуле [latex]p=\frac{P}{2}[/latex].
  4. Возникает вопрос, что такое [latex]P[/latex] ? Приходим к выводу, что это периметр.
  5. Находим формулу периметра, который равен [latex]P=a+b+c[/latex]. Данная формула была подведена под условие нашей задачи.
  6. После того как мы вывели формулы, можем приступать к решению задачи.
  7. Подставляя исходные данные в формулы, которые были представлены выше, получаем результат.
  8. Более подробное описание каждого действия представлено выше в коде. Это сделано для того, чтобы пользователь получал ответы на интересующие его вопросы непосредственно в момент их возникновения.

Ссылки

Задача на e-olymp

Код задачи на ideone

Ю1.23

Задача

Треугольник  задается координатами своих вершин на плоскости: [latex]A\left(x_{1};y_{1} \right)[/latex], [latex] B\left(x_{2};y_{2} \right)[/latex], [latex] C\left(x_{3};y_{3} \right)[/latex].
Найти сумму длин медиан данного треугольника.

Тесты:

[latex]x_{1}[/latex] [latex]y_{1}[/latex] [latex]x_{2}[/latex] [latex]y_{2}[/latex] [latex]x_{3}[/latex] [latex]y_{3}[/latex] Результат Прохождение теста
0 4 0 7 0 2 Не является треугольником… Пройден
51 0 97 0 68 0 Не является треугольником… Пройден
1 7 3 13 6 22 Не является треугольником… Пройден
0 3 0 0 4 0 10.3775 Пройден
0 0 1 1.7320 2 0 5.1960 Пройден

Исходный код программы:

Алгоритм:

  1. Вводим переменные;
  2. Вводим координаты точек [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex];
  3. Используем условный оператор для выделения частного случая.
    • Если точки будут лежать на одной прямой, то медиан, как и самого треугольника не может быть в принципе. Для проверки  используем уравнение прямой, проходящей через две несовпадающие точки: [latex]\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}[/latex]. С помощью эквивалентных преобразований получаем формулу:[latex]\left(y_{2}-y_{1} \right) \left(x-x_{1}\right)-\left(y-y_{1} \right) \left(x_{2}-x_{1}\right)=0[/latex] c помощью которой (подставив вместо [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]  [latex]x_{3}[/latex] и [latex]y_{3}[/latex] соответственно) сможем определить, находятся ли данные точки на одной прямой).
    • В случае, если точки не находятся на одной прямой, находим длины  отрезков соединяющих середины сторон с противоположными им вершинами(эти отрезки и являются медианами); (Координаты середин отрезков находим по формулам: [latex]\frac{\left(x_{1}+x_{2} \right)}{2}[/latex], [latex]\frac{\left(y_{1}+y_{2} \right)}{2}[/latex], где [latex]\left(x_{1};y_{1} \right)[/latex] и [latex]\left(x_{2};y_{2} \right)[/latex] — координаты концов отрезка, середину которого мы находим. Длину медианы находим по формуле: [latex]AB=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2} \right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2} \right)^{2}}[/latex] , где  [latex]\left(x_{1};y_{1} \right)[/latex] и [latex]\left(x_{2};y_{2} \right)[/latex] — координаты точек [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] соответственно).
  4. Находим сумму длин этих отрезков. (Простое сложение).

 

А47

Іванов Вячеслав Володимирович
Іванов Вячеслав Володимирович

Latest posts by Іванов Вячеслав Володимирович (see all)

Задача:
Даны действительные положительные числа [latex]x[/latex], [latex]y[/latex], [latex]z[/latex].
а) Выяснить существует ли треугольник с длинами сторон [latex]x[/latex], [latex]y[/latex], [latex]z[/latex].
б) Если треугольник существует, то ответить — является ли он остроугольным?

NA — «not acute» — существует, но не остроугольный
A — «acute» — остроугольный
DE — «doesn’t exist» — не существует

[latex]x[/latex] [latex]y[/latex] [latex]z[/latex] Результат Комментарий:
3 4 5 NA Пройден: трегольник прямоугольный
1.30 3.86 5.14 NA Пройден
1.67 2.29 8 NE Пройден: нарушено условие (I)
811 22 790 NA Пройден: треугольник тупоугольный
10 11 12 A Пройден

Алгоритм:
I. Необходимым и достаточным условием существования треугольника с тремя заданными сторонами является условие вида:
[latex] x + y > z[/latex] (вырожденный случай не рассматривается)

(аналогичные неравенства можно записать и для остальных сторон треугольника, но т.к. переменные в программе упорядочены по возрастанию, одного неравенства достаточно.)

II. Вид треугольника определяется углом, лежащим против большей стороны:
[latex]\alpha \in [ 0; \frac{ \pi }{ 2 } ]\Leftrightarrow \cos{(\alpha)}>0[/latex]

Знак косинуса угла легко определить через теорему косинусов:
[latex]z^{ 2 }=x^{ 2 }+y^{ 2 }-2xy\cos { (\alpha ) } \\ \cos { (\alpha ) } =\frac { x^{ 2 }+y^{ 2 }-z^{ 2 } }{ 2xy }[/latex]

Если входные данные удовлетворяют вышеперечисленным условиям, то треугольник существует и является остроугольным.

Программное решение состоит из двух этапов:
0. Поиск наибольшей стороны.
1. Проверка условия (I).
2. Проверка условия (II).

Функция swap() взята из заголовочного файла algorithm.
В программе использован тип данных с плавающей точкой и двойной точностью (для отображения действительных чисел).
Для выполнения программы и проверки тестов можно воспользоваться следующим объектом. (реализация на Java)