e-olymp 143. Точка и треугольник

Точка и треугольник

Принадлежит ли точка [latex]O[/latex] треугольнику [latex]ABC[/latex]?

Входные данные

Содержит координаты точек [latex]O, A, B, C[/latex]. Числовые значения не превышают по модулю 100.

Выходные данные

Вывести 1, если точка [latex]O[/latex] принадлежит треугольнику [latex]ABC[/latex] и 0 в противоположном случае.

Входные данные Выходные данные
1 2 6 -9 3 8 1 5 11 1
2 -13 10 -12 5 99 80 17 13 0
3 98 -50 -87 7 5 3 23 17 0
4 5 15 7 12 5 3 2 54 1
5 2 2 3 1 1 3 9 11 1

Код программы

Решение

Для того, чтобы точка [latex]M[/latex] принадлежала треугольнику, заданному точками [latex]D([/latex]$x_{1}$,$y_{1}$[latex]), [/latex] [latex]E([/latex]$x_{2}$,$y_{2}$[latex]), [/latex][latex]F([/latex]$x_{3}$,$y_{3}$[latex]), [/latex] необходимо, чтобы псевдоскалярное (косое) произведение соответствующих векторов было больше либо равно нулю или же меньше либо равно нуля. Пользуясь формулой для косого произведения, запишем произведения векторов.
[$\overline{DE}$,$\overline{MD}$]=($x_{1}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{2}$-$y_{1}$)-($x_{2}$-$x_{1}$) $\cdot$ ($y_{1}$-$y_{0}$)
[$\overline{EF}$,$\overline{ME}$]=($x_{2}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{3}$-$y_{2}$)-($x_{3}$-$x_{2}$) $\cdot$ ($y_{2}$-$y_{0}$)
[$\overline{FD}$,$\overline{MF}$]=($x_{3}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{1}$-$y_{3}$)-($x_{1}$-$x_{3}$) $\cdot$ ($y_{3}$-$y_{0}$)
Если [$\overline{DE}$,$\overline{MD}$], [$\overline{EF}$,$\overline{ME}$] и [$\overline{FD}$,$\overline{MF}$] больше либо равно нулю или же меньше либо равно нуля, то точка принадлежит треугольнику.

 

Ссылки

Ссылка на Ideone
Ссылка на e-olymp

ML29. Площадь тетраэдра

Тетраэдр

Тетраэдр

Задача. Найти площадь полной поверхности тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)[/latex], [latex] \overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)[/latex].
Тесты:

Вход Выход
[latex]a_x[/latex] [latex]a_y[/latex] [latex]a_z[/latex] [latex]b_x[/latex] [latex]b_y[/latex] [latex]b_z[/latex] [latex]c_x[/latex] [latex]c_y[/latex] [latex]c_z[/latex] [latex]S[/latex]
1 -3 3 3 3 -3 3 3 3 -3 69.3607
2 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 7.70674
3 -2 2 2 2 -2 2 2 2 -2 30.827
4 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 2.07313

Код на C++:

Код на Java:

Решение:
Координаты векторов находим по формуле:
[latex] \overrightarrow{A_2A_4}=(c_x-a_x,c_y-a_y,c_z-a_z) [/latex] здесь [latex] a_x, a_y, a_z[/latex] — координаты точки [latex]A_2[/latex]; [latex]c_x, c_y, c_z[/latex] — координаты точки [latex]A_4[/latex];
Таким же образом находим остальные координаты векторов.
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора [latex]\overrightarrow{a}(a_x;a_y;a_z)[/latex] выражается через его координаты формулой:
[latex] \left| \overrightarrow{A_1A_2} \right| =\sqrt { ({ a_x) }^{ 2 }+({ a_y) }^{ 2 }+({ a_z) }^{ 2 } } [/latex];
Таким же способом находим другие модули векторов.
Площадь грани можно найти по формуле:
[latex] s_1=\frac { 1 }{ 2 } \vec{A_1} \times \vec{A_2} \sin \angle{A_2A_3} [/latex] где
[latex] \sin \angle{ A_2A_3 =\sqrt { 1-{ (\cos \angle{ A_2A_3) } }^{ 2 } } } [/latex] Так же будем находить и другие.
Найдем угол между ребрами [latex] A_1A_2(a_x;a_y;a_z) [/latex] и [latex] A_1A_3(b_x;b_y;b_z) [/latex]:
[latex] \cos \angle{ A_2A_3 =\frac { a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z }{ \left| A_2A_3 \right| } } [/latex] Так мы найдём и другие 3 площади граней.
Площадь полной поверхности.
[latex] s=s_1+s_2+s_3+s_4. [/latex]

Ссылки:

Онлайн компилятор ideone C++ .
Онлайн компилятор ideone Java .
Онлайн калькулятор .

ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга

Задача. Какого наибольшего размера прямоугольник можно вырезать из круга диаметра [latex]d[/latex], если известно, что длины его сторон образуют золотую пропорцию.

Входные данные: 

Единственное число — диаметр окружности.

Выходные данные:

Два числа — длины сторон прямоугольника.

ml38

Тесты.

Входные данные Выходные данные
[latex]d[/latex] [latex]a[/latex] [latex]b[/latex]
1 0 0 0
2 1 0.850651 0.525731
3 2 1.7013 1.05146
4 21 17.8638 11.0404
5 0.32 0.272208 0.168234
6 1.7 1.44611 0.893743
7 134 113.981 70.448

Код программы на C++.

Код программы на Java.

Решение.

Прямоугольник будет иметь наибольший размер в случае, когда его вершины лежат на окружности. Тогда, очевидно, диаметр окружности будет диагональю данного прямоугольника. Согласно условию, длины его сторон образуют золотую пропорцию. Это означает, что [latex]\frac { a }{ b } =\phi [/latex], где [latex]a[/latex] — длина большей стороны прямоугольника, [latex]b[/latex] — длина его меньшей стороны, а [latex]\phi=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } [/latex]. Отсюда [latex]a=b\cdot \phi[/latex]. По теореме Пифагора, [latex]{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ d }^{ 2 }[/latex]. Путём подстановки из предыдущего выражения и простых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления длины меньшей стороны: [latex]b=d\cdot \sqrt { \frac { 1 }{ { \phi }^{ 2 }+1 } } [/latex].
Сначала для удобства находим значение [latex]\phi[/latex], затем — по указанным формулам длины сторон прямоугольника.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

ML26. Площадь треугольника

Задача.

Найти площадь треугольника по заданным координатам его вершин [latex] A(x_a,y_a,z_a )[/latex], [latex]B(x_b,y_b,z_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c,z_c)[/latex].

Входные данные

Координаты вершин треугольника [latex]ABC[/latex]

Выходные данные

Площадь [latex]S[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex]

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]x_a [/latex] [latex]y_a [/latex] [latex]z_a [/latex] [latex]x_b [/latex] [latex]y_b [/latex] [latex]z_b [/latex] [latex]x_c [/latex] [latex]y_c [/latex] [latex]z_c [/latex] [latex]S [/latex]
-2 1 2 3 -3 4 1 0 9 19.7864
-3 13 -5 6 11 12 4 8 18 50.5618
-6 0 4 5 1 3 -3 -1 -4 43.307
-6 -2.3 -8.2 1.9 -7.8 0.2 -8.5 3.4 -8.9 28.0909

Код программы

Решение задачи

Используя известные нам координаты вершин треугольника и формулу вычисления расстояния между двумя точками в пространстве [latex]AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}[/latex] можно найти длины сторон треугольника [latex]ABC[/latex]. Для нахождения площади используем Формулу Герона[latex]AB=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}[/latex] перед этим находим полупериметр [latex]p[/latex] по формуле [latex]p=\frac{a+b+c}{2}[/latex] подставляем значение и выводим конечный результат.

Ссылки

Условие задачи.
ideone

Mif 17.13

17_13

Задача №17.13

Условие

Принадлежит ли точка (х;у) фигуре на рисунке? Варианты 1-20. Пожалуйста повторите в своём отчёте рисунок, выполнив его в формате SVG.

Тесты

Входные данные (точка K) Выходные данные
(3;4) no
(1;1) yes
(1;4) yes
(3;0) yes
(0;6) no
(-13; -3) no
(-4.5; -3) yes

Код программы

Для запроса на выполнение нажать здесь.

Решение

[latex](x — x_A)(y_B — y_A) — (y — y_A)(x_B — x_A) = 0[/latex] — уравнение прямой, проходящей через точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. Тогда для любой точки [latex](x; y)[/latex] можно определить её местоположение относительно прямой [latex]AB[/latex]. Если левая часть неравенства будет равно 0, то точка лежит на прямой. Прямая [latex]AB[/latex] разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки лежащие в одной полуплоскости будут давать положительные значения, а точки из другой полуплоскости — отрицательные. Тогда, объединением условий местоположения точки [latex](x; y)[/latex] и местоположения точек [latex]C, A, B[/latex] относительно прямых [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex], [latex]AC[/latex] соответственно, мы сможем определить местоположение данной точки относительно треугольника.

По рисунку видно, что [latex]A(1;4), B(5, -4), C(-5, -3)[/latex]. Тогда, определяем положение точки [latex]K[/latex] относительно каждой прямой и точки не лежащей на данной прямой треугольника [latex]ABC[/latex].

 

Mif 7. Тип треугольника

Тип треугольника.

Постановка задачи

Даны действительные числа [latex]x[/latex], [latex]y[/latex], [latex]z[/latex], задающие длины сторон некоторого треугольника. Будет ли треугольник остроугольным, тупоугольным или прямоугольным? Какой из трёх случаев самый маловероятный?

Алгоритм решения

По теореме косинусов
[latex]a^2 = b^2 + c^2 — 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha[/latex],
где [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex] — стороны треугольника, а [latex]\alpha[/latex] — угол между [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], тогда
[latex]\alpha = \arccos\frac{b^2 + c^2 — a^2}{2 \cdot b \cdot c}[/latex],
[latex]\beta = \arccos\frac{c^2 + a^2 — b^2}{2 \cdot a \cdot c}[/latex],
[latex]\gamma = \arccos\frac{a^2 + b^2 — c^2}{2 \cdot a \cdot b}[/latex],
где [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], [latex]\gamma[/latex] — углы треугольника.
Если самый большой угол больше [latex]\frac{\pi}{2}[/latex], то треугольник тупоугольный, если самый большой угол равен [latex]\frac{\pi}{2}[/latex], то треугольник прямоугольный, если самый большой угол меньше [latex]\frac{\pi}{2}[/latex], то треугольник остроугольный. Так как треугольник является прямоугольным только в том случае, когда самый большой угол равен [latex]\frac{\pi}{2}[/latex], этот случай является самым маловероятным.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]a[/latex] [latex]b[/latex] [latex]c[/latex]
2 2 3 Тупоугольный
3 4 5 Прямоугольный
1 1 1 Остроугольный

Реализация

ideone: ссылка