e-olymp 8372. Составить треугольник

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

По заданным длинам трех отрезков определить, можно ли из них составить невырожденный треугольник. Треугольник называется невырожденным, если его площадь больше 0.

Входные данные

Три натуральных числа $a, b, c (1 ≤ a, b, c ≤ 1000)$ — длины трех отрезков.

Выходные данные

Вывести YES если из отрезков можно составить невырожденный треугольник и NO в противном случае.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 5 6 7 YES
2 3 7 4 NO
3 16 24 32 YES
4 54 1 100 NO
5 1 1 1 YES

Код программы (Ветвление)

Код программы (Линейные вычисления)

Решение задачи

Пусть $a, b, c$ – длины трех отрезков. Из них можно составить невырожденный треугольник, если длина каждых двух отрезков больше длины третьего (это условие известно как неравенство треугольника): | $b$ | < | $a$ | + | $c$ | \begin{cases} b + c > a\\a + c > b\\a + b > c\end{cases}

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Код программы на ideone (Линейные вычисления)

Код программы на ideone (Ветвление)

e-olymp 47. Паркет из треугольников

Задача

Прямоугольную комнату размерами [latex]m[/latex] на [latex]n[/latex] (сначала по горизонтали, а потом по вертикали) замостили треугольными плитками и их пронумеровали, как показано на рисунке.

За один шаг можно переместиться с одной паркетины на другую только через общую сторону. Найти наименьшее количество шагов, нужных для перемещения с паркетины [latex]a[/latex] на паркетину [latex]b[/latex].

Входные данные

Во входном файле в первой строке через пробел заданы значения [latex]n[/latex], [latex]m[/latex] [latex](1 ≤ n, m ≤ 100)[/latex], а во второй — [latex]a[/latex], [latex]b[/latex].

Выходные данные

Искомое количество шагов.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 5 4
25 38
5
2 5 4
6 22
4
3 5 4
15 22
3
4 3 2
1 12
7
5 3 2
6 12
2

Код 1

Код 2

Решение задачи

Способ 1

Каждый элемент имеет три параметра:

  1. Положение в строке
  2. Положение в столбце
  3. Четность

Для хранения этих значений создадим трёхмерный массив. Существует несколько вариантов расположения элементов в нем:

  1. Оба элемента расположены в одной строке строке
  2. Оба элемента расположены в одном столбце
  3. Оба элемента расположены на одной диагонали
  4. Произвольное расположение

Для удобства мы завели счетчик шагов.
Рассмотрим случай когда первый элемент меньше, чем последний, допустим, что

Позиция [latex]7[/latex] [latex]\left[ 0 , 3 , 0 \right] [/latex].
Позиция [latex]14[/latex] [latex]\left[ 1 , 2 , 1 \right] [/latex].
Для случая [latex] 5*4 [/latex] эти элементы расположены на одной диагонали. Далее идет создание вспомогательного 3-х мерного массива, в который мы положим координаты [latex]7[/latex]. Идея состоит в том, чтобы временный массив и массив с координатам [latex]14[/latex] совпали. Т.к [latex]7[/latex] нечетное, а [latex]14[/latex] четное, то первый «шаг» будет сделан по горизонтали, тем самым мы уровняем координату, отвечающую за четность. Далее идет сравнение по «строчной» координате, т.к. они не совпадают, то делается «шаг» вниз. Далее остается сделать «шаг» влево, чтобы совпали координаты по столбцам.
Аналогичные проверки делаются для остальных случаев.
Важно отметить, что лучше всего для проверки подходят переменные типа bool. Поэтому в некоторых местах были использованы преобразование из типа int в тип bool. Делалось это при помощи следующей строки кода

Для более оптимальной работы были использованы тернарные операции. Они скрывают под собой условие, выполнение которого состоит из одной строки кода.

Способ 2

Для того, чтобы наш код был универсален для случая [latex]firstNumber > lastNumber[/latex] и [latex]firstNumber < lastNumber[/latex] мы меняем местами [latex]firstNumber[/latex] и [latex]lastNumber[/latex].
Следующим шагом будет определение позиции [latex]firstNumber[/latex] и [latex]lastNumber[/latex]. Положим, что [latex] x [/latex] — это позиция в строке, а [latex] y [/latex] — столбце. Удобнее всего хранить значения в массиве, поэтому мы создаем

массив, переменные в котором будет иметь тип [latex] int [/latex], а размер будет фиксированный. Для определения количества шагов заведем переменную с типом [latex] int [/latex].
Важно отметить, что идея решения данного способа состоит в том, чтобы на позиции

стояло количество шагов, совершенных в ходе решения.

Ссылки

Задача на e-olymp

Код задачи на ideone ( способ 1 )

Код задачи на ideone ( способ 2 )

e-olymp 143. Точка и треугольник

Точка и треугольник

Принадлежит ли точка [latex]O[/latex] треугольнику [latex]ABC[/latex]?

Входные данные

Содержит координаты точек [latex]O, A, B, C[/latex]. Числовые значения не превышают по модулю 100.

Выходные данные

Вывести 1, если точка [latex]O[/latex] принадлежит треугольнику [latex]ABC[/latex] и 0 в противоположном случае.

Входные данные Выходные данные
1 2 6 -9 3 8 1 5 11 1
2 -13 10 -12 5 99 80 17 13 0
3 98 -50 -87 7 5 3 23 17 0
4 5 15 7 12 5 3 2 54 1
5 2 2 3 1 1 3 9 11 1

Код программы

Решение

Для того, чтобы точка [latex]M[/latex] принадлежала треугольнику, заданному точками [latex]D([/latex]$x_{1}$,$y_{1}$[latex]), [/latex] [latex]E([/latex]$x_{2}$,$y_{2}$[latex]), [/latex][latex]F([/latex]$x_{3}$,$y_{3}$[latex]), [/latex] необходимо, чтобы псевдоскалярное (косое) произведение соответствующих векторов было больше либо равно нулю или же меньше либо равно нуля. Пользуясь формулой для косого произведения, запишем произведения векторов.
[$\overline{DE}$,$\overline{MD}$]=($x_{1}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{2}$-$y_{1}$)-($x_{2}$-$x_{1}$) $\cdot$ ($y_{1}$-$y_{0}$)
[$\overline{EF}$,$\overline{ME}$]=($x_{2}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{3}$-$y_{2}$)-($x_{3}$-$x_{2}$) $\cdot$ ($y_{2}$-$y_{0}$)
[$\overline{FD}$,$\overline{MF}$]=($x_{3}$-$x_{0}$) $\cdot$ ($y_{1}$-$y_{3}$)-($x_{1}$-$x_{3}$) $\cdot$ ($y_{3}$-$y_{0}$)
Если [$\overline{DE}$,$\overline{MD}$], [$\overline{EF}$,$\overline{ME}$] и [$\overline{FD}$,$\overline{MF}$] больше либо равно нулю или же меньше либо равно нуля, то точка принадлежит треугольнику.

 

Ссылки

Ссылка на Ideone
Ссылка на e-olymp

ML29. Площадь тетраэдра

Тетраэдр

Тетраэдр

Задача. Найти площадь полной поверхности тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)[/latex], [latex] \overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)[/latex].
Тесты:

Вход Выход
[latex]a_x[/latex] [latex]a_y[/latex] [latex]a_z[/latex] [latex]b_x[/latex] [latex]b_y[/latex] [latex]b_z[/latex] [latex]c_x[/latex] [latex]c_y[/latex] [latex]c_z[/latex] [latex]S[/latex]
1 -3 3 3 3 -3 3 3 3 -3 69.3607
2 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 7.70674
3 -2 2 2 2 -2 2 2 2 -2 30.827
4 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 2.07313

Код на C++:

Код на Java:

Решение:
Координаты векторов находим по формуле:
[latex] \overrightarrow{A_2A_4}=(c_x-a_x,c_y-a_y,c_z-a_z) [/latex] здесь [latex] a_x, a_y, a_z[/latex] — координаты точки [latex]A_2[/latex]; [latex]c_x, c_y, c_z[/latex] — координаты точки [latex]A_4[/latex];
Таким же образом находим остальные координаты векторов.
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора [latex]\overrightarrow{a}(a_x;a_y;a_z)[/latex] выражается через его координаты формулой:
[latex] \left| \overrightarrow{A_1A_2} \right| =\sqrt { ({ a_x) }^{ 2 }+({ a_y) }^{ 2 }+({ a_z) }^{ 2 } } [/latex];
Таким же способом находим другие модули векторов.
Площадь грани можно найти по формуле:
[latex] s_1=\frac { 1 }{ 2 } \vec{A_1} \times \vec{A_2} \sin \angle{A_2A_3} [/latex] где
[latex] \sin \angle{ A_2A_3 =\sqrt { 1-{ (\cos \angle{ A_2A_3) } }^{ 2 } } } [/latex] Так же будем находить и другие.
Найдем угол между ребрами [latex] A_1A_2(a_x;a_y;a_z) [/latex] и [latex] A_1A_3(b_x;b_y;b_z) [/latex]:
[latex] \cos \angle{ A_2A_3 =\frac { a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z }{ \left| A_2A_3 \right| } } [/latex] Так мы найдём и другие 3 площади граней.
Площадь полной поверхности.
[latex] s=s_1+s_2+s_3+s_4. [/latex]

Ссылки:

Онлайн компилятор ideone C++ .
Онлайн компилятор ideone Java .
Онлайн калькулятор .

ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга

Задача. Какого наибольшего размера прямоугольник можно вырезать из круга диаметра [latex]d[/latex], если известно, что длины его сторон образуют золотую пропорцию.

Входные данные: 

Единственное число — диаметр окружности.

Выходные данные:

Два числа — длины сторон прямоугольника.

ml38

Тесты.

Входные данные Выходные данные
[latex]d[/latex] [latex]a[/latex] [latex]b[/latex]
1 0 0 0
2 1 0.850651 0.525731
3 2 1.7013 1.05146
4 21 17.8638 11.0404
5 0.32 0.272208 0.168234
6 1.7 1.44611 0.893743
7 134 113.981 70.448

Код программы на C++.

Код программы на Java.

Решение.

Прямоугольник будет иметь наибольший размер в случае, когда его вершины лежат на окружности. Тогда, очевидно, диаметр окружности будет диагональю данного прямоугольника. Согласно условию, длины его сторон образуют золотую пропорцию. Это означает, что [latex]\frac { a }{ b } =\phi [/latex], где [latex]a[/latex] — длина большей стороны прямоугольника, [latex]b[/latex] — длина его меньшей стороны, а [latex]\phi=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } [/latex]. Отсюда [latex]a=b\cdot \phi[/latex]. По теореме Пифагора, [latex]{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ d }^{ 2 }[/latex]. Путём подстановки из предыдущего выражения и простых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления длины меньшей стороны: [latex]b=d\cdot \sqrt { \frac { 1 }{ { \phi }^{ 2 }+1 } } [/latex].
Сначала для удобства находим значение [latex]\phi[/latex], затем — по указанным формулам длины сторон прямоугольника.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

ML26. Площадь треугольника

Задача.

Найти площадь треугольника по заданным координатам его вершин [latex] A(x_a,y_a,z_a )[/latex], [latex]B(x_b,y_b,z_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c,z_c)[/latex].

Входные данные

Координаты вершин треугольника [latex]ABC[/latex]

Выходные данные

Площадь [latex]S[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex]

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]x_a [/latex] [latex]y_a [/latex] [latex]z_a [/latex] [latex]x_b [/latex] [latex]y_b [/latex] [latex]z_b [/latex] [latex]x_c [/latex] [latex]y_c [/latex] [latex]z_c [/latex] [latex]S [/latex]
-2 1 2 3 -3 4 1 0 9 19.7864
-3 13 -5 6 11 12 4 8 18 50.5618
-6 0 4 5 1 3 -3 -1 -4 43.307
-6 -2.3 -8.2 1.9 -7.8 0.2 -8.5 3.4 -8.9 28.0909

Код программы

Решение задачи

Используя известные нам координаты вершин треугольника и формулу вычисления расстояния между двумя точками в пространстве [latex]AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}[/latex] можно найти длины сторон треугольника [latex]ABC[/latex]. Для нахождения площади используем Формулу Герона[latex]AB=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}[/latex] перед этим находим полупериметр [latex]p[/latex] по формуле [latex]p=\frac{a+b+c}{2}[/latex] подставляем значение и выводим конечный результат.

Ссылки

Условие задачи.
ideone