e-olymp 8514. Never drink too much!

The task is taken from e-olymp

Task

Mahmoud together with his friends visited Georgia. They would stay in a hotel at Rustavelli. When the cowboys reached the hotel, they hung their hats in the entrance and settled in. The beer bottles on the table could not escape from Mahmoud’s attention when passing through the corridor. At the suggestion of Mahmoud, all the cowboys began drinking. They drank too much, thus none of them was mindful. Then they decided going downtown. On the way out, everyone had a hat on, but they mixed up the hats as they were so drunk.

The man who is able to have on his own hat while he is drunk is considered clever and who is not able to do so is considered stupid.

You are given the number of cowboys — n (including Mahmoud). You should find in how many ways the cowboys may have on the hats so that all of them are stupid. Two ways are considered different if there is at least one cowboy who has a hat in this case and another hat in the other case.

As the answer may become very large, you should output the result modulo [latex]10^9+7[/latex].

Input

Given the number of cowboys — [latex]n (1 \leq n \leq 10^7)[/latex].

Output

The answer to the problem as specified above.

Tests

Inputs Outputs
1
1 0
2
4 9
3
9 133349
4
555 335132588
5
10000000 824182295

Code

 

Solution

We have all possible permutations [latex]C_n^0 \cdot n![/latex] , minus one fixed (one of them is not stupid) we get [latex]C_n^0 \cdot n!-C_n^1 \cdot (n-1)![/latex] but we subtract for minimum fixed pair (two of them are not stupid) we need to add them [latex]C_n^0 \cdot n!-C_n^1 \cdot (n-1)! + C_n^2 \cdot (n-2)! [/latex] etc.

So the [latex]k[/latex] member is  [latex]C_n^k \cdot (n-k)! \cdot (-1)^k[/latex]

Let`s find the attitude of [latex]k[/latex] member to the previous one. It`s [latex]-k -1[/latex]

The last one will be [latex]1[/latex] or [latex]-1[/latex] it depends on parity of [latex]n[/latex].

First two are the same ( [latex]n![/latex] ) so we skip them, but in this case we need to check if [latex]n[/latex] equals [latex]1[/latex]

And next we make a loop to find the answer by multiplying start value and add it to the answer.

The complexity is [latex]O(n)[/latex]

Links

ideone
e-olymp

Руслан Масальский

Прикладная математика. Одесский национальный университет им. Мечникова

e-olymp 2814. Быстрое возведение в степень.

Задача

Очень часто возникает задача эффективного вычисления xn по данным $x$ и $n$, где $n$ — положительное целое число.

Предположим, например, что необходимо вычислить $x^{16}$. Можно просто начать с $x$ и 15 раз умножить его на $x$. Но тот же ответ можно получить всего за четыре умножения, если несколько раз возвести в квадрат получающийся результат, последовательно вычисляя $x^{2}$, $x^{4}$, $x^{8}$, $x^{16}$.

Эта же идея, в целом, применима к любому значению $n$ следующим образом. Запишем $n$ в виде числа в двоичной системе счисления (убирая нули слева). Затем заменим каждую «1» парой символов SX, а каждый «0» — символом S и вычеркнем крайнюю слева пару символов SX. Результат представляет собой правило вычисления $x^{n}$, в котором «S» трактуется как операция возведения в квадрат, а «X» — как операция умножения на $x$. Например, $n = 23$ имеет двоичное представление $10111$. Таким образом, мы формируем последовательность SXSSXSXSX, из которой удаляем начальную пару SX для получения окончательного правила SSXSXSX. Это правило гласит, что необходимо «возвести в квадрат, возвести в квадрат, умножить на $x$, возвести в квадрат, умножить на $x$, возвести в квадрат и умножить на $x$», т.е. последовательно вычислить значения $x^{2}$, $x^{4}$, $x^{5}$, $x^{10}$, $x^{11}$, $x^{22}$, $x^{23}$.

Вам нужно для заданного n сформулировать соответствующее правило быстрого возведения числа $x$ в степень $x^{n}$

Входные данные

Одно натуральное число $n$, не превышающее $2 \cdot 10^{9}$.

Выходные данные

Выведите строку для правила возведения числа $x$ в степень $n$ для получения $x^{n}$.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 23 SSXSXSX
2 1
3 16 SSSS
4 1000000 SXSXSXSSXSSSSSXSSSXSSSSSS
5 2018 SXSXSXSXSXSSSSXS

Решение

Создаём две строки $s$ и $s1$ для двоичного представления числа $n$ и для правила нахождения числа $n$ соответственно. Далее мы проверяем $n$ на чётность, добавляя к строке $s$

  • $0$ при чётном $n$
  • $1$ при нечётном $n$

и делим $n$ на $2$. Продолжаем это пока $n \neq 0$. Таким образом мы получили двоичный код, записанный в обратном порядке от двоичного кода числа $n$. После мы присваиваем цифрам «0» и «1» соответственно «S» и «SX» справа налево (в порядке двоичного кода числа $n$). В конце, удаляем первые символы «SX» с помощью метода erase(), таким образом получая ответ

Условие задачи можно найти на e-olymp
Код решения — ideone

e-olymp 1494. Санта Клаус

Задача

Санта Клаус

Санта Клаус

Санта Клаус готовится к Рождеству. В этот праздник он хочет вручить подарки [latex]n[/latex] детям. Его помощники Эльфы уже собрали два мешка, с которыми он отправится в новогоднее путешествие по всем странам мира. И чтобы Санта не запутался, Эльфы составили список детей, чьи подарки уже лежат в каждом из мешков. Санта хочет помочь Эльфам, и поэтому решил положить в третий мешок подарки для тех детей, которым они еще не подготовлены.

Помогите Санте, составьте список детей, чьи подарки надо положить в третий мешок.

Входные данные

Первая строка входного файла содержит три целых числа: [latex]n[/latex] — число детей, [latex]m[/latex] и [latex]k[/latex] — число подарков в первом и втором мешке соответственно [latex](1\leq n,\;m,\;k\leq 100;m+k\leq n)[/latex]. Вторая строка входного файла содержит [latex]m[/latex] целых чисел — номера детей, подарки для которых лежат в первом мешке. Третья строка входного файла содержит [latex]k[/latex] целых чисел — номера детей, подарки для которых лежат во втором мешке.

Гарантируется что Эльфы положили для каждого ребенка не более одного подарка. Номера всех детей являются целыми положительными числами не превосходящими [latex]n[/latex]. Все дети должны получить подарок на Рождество, иначе Санта расстроится.

Выходные данные

В первой строке выведите одно число [latex]a[/latex] — сколько подарков должно быть в третьем мешке. Во второй строке выведите в произвольном порядке [latex]a[/latex] чисел — номера детей, которым эти подарки должны быть доставлены.

Тесты

Входные данные Выходные данные
2 1 1
2
1
0
3 1 2
1
2 3
0
7 2 1
7 3
1
4
2 4 5 6
100 14 4
2 93 30 56 17 19 75 22 23 5 49 11 8 33
91 40 81 54
82
1 3 4 6 7 9 10 12 13 14 15 16 18 20 21 24 25 26 27 28 29 31 32 34 35 36 37 38 39 41 42 43 44 45 46 47 48 50 51 52 53 55 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 94 95 96 97 98 99 100
10 3 5
2 5 8
3 7 1 4 9
2
6 10
61 40 5
61 20 5
3 4 9 8 49 31 20 33 35 34 61 1 32 53 51 7 21 44 46 47
2 60 50 19 25
36
5 6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 22 23 24 26 27 28 29 30 36 37 38 39 40 41 42 43 45 48 52 54 55 56 57 58 59
12 3 3
1 2 3
11 10 8
6
4 5 6 7 9 12

Код программы

Решение

Создадим массив типа  bool , в котором каждому [latex]i[/latex]-ому ребёнку соответствует элемент с индексом [latex]i — 1[/latex], принимающий значение [latex]0[/latex], если для ребёнка ещё нет подарка, и [latex]1[/latex], если подарок уже имеется в одном из мешков. Далее, отмечаем детей, подарки для которых уже лежат в мешках. Наконец, выводим номера тех детей, подарки для которых не были найдены ни в одном из мешков.

Ссылки

Условия задачи на e-olymp
Код задачи на ideone

e-olymp 3912. Реверс удавов

Задача

На каждом удаве из стаи написано его имя. Имя удава написано маленькими латинскими буквами от головы к хвосту. Все удавы из стаи ползут друг за другом, ведь так легче ползти. Иногда вожак даёт команду «Реверс». В этом случае каждый удав стаи разворачивается, и стая начинает ползти в противоположном направлении. Название стаи можно прочитать, если читать от головы удава, ползущего первым, к хвосту последнего. При этом название может измениться после команды «Реверс». Имена же удавов не меняются.

Входные данные

Первая строка содержит одно число $N (1 ≤ N ≤ 100000)$ – количество удавов. В следующих $N$ строках написаны имена удавов в том порядке, в котором они ползут. Имя удава – строчка, содержащая не более $10$ маленьких латинских букв.

Выходные данные

Выведите единственную строку – название стаи после команды «Реверс».

Тесты

Входные данные Выходные  данные
3
abc
def
ghi
ghidefabc
3
zxcgh
i
db
dbizxcgh
4
mn
kjl
iu
ghj
ghjiukjlmn
8
kdh
jg
lqwoc
kfxvk
iduhx
nsh
s
kjwyv
kjwyvsnshiduhxkfxvklqwocjgkdh

Код программы (string)

Решение задачи (string)

Записываем каждого удава в одномерный массив  flock типа  string размера N, а затем выводим его, начиная с конца.

Код программы (c-string)

Решение задачи (c-string)

Записываем каждого удава в динамический массив  flock типа  char размера $N$ $\times$   boa_name_size, где  boa_name_size – это константа, размером в $11$ символов, которую определяем с помощью директивы #define в начале программы. Не $10$, а $11$ потому что в нуль-терминированных строках (c-string) последний символ – символ конца строки '\0'.
Далее выводим наш массив с последней строки до первой.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com
Решение задачи на ideone.com (string)
Решение задачи на ideone.com (c-string)

e-olymp 6350. Изированная вода

Задача

Изированная вода

В Бердичеве ещё в советские времена продавалась знаменитая изированная вода. Собственно это была обычная газировка на разлив, но продавал её Изя, поэтому и воду все называли изированной. Продавец газировки был человеком не только очень умным и добродушным, но и очень сообразительным. О складе его ума говорит хотя бы тот факт, что у него было $2$ диплома о высшем образовании: он закончил физмат пединститута и мехмат университета, а о сообразительности – то, что имея два диплома, он продавал газировку и довольно успешно. Старожилы утверждают, что попить его газировки прилетали в те времена даже с самой Москвы…

Изя, герой задачи

С постоянными покупателями, и не только с ними, Изя был очень общительным человеком, и иногда, как говорится «под настроение клиента», задавал им свои задачки на сообразительность, которых у него в запасе было великое множество. Одна из подобных его задачек приведена в задаче «Покупка воды». Задав подобную задачку, он ждал от клиента быстрого, сообразительного и, главное, верного ответа на неё, если же ответ запаздывал, или был не верным, Изя всегда говорил что-то типа: «Молодой человек, придёте завтра – Вы сегодня не заслужили на обслуживание». Естественно, это была шутка и клиент всё равно имел возможность приобрести очень вкусную изированную воду.

Перед тем как сформулировать наш вопрос, напомним задачку, упоминаемую выше: «Стоимость бутылки воды, учитывая стоимость пустой бутылки, составляет $1$ руб. $20$ коп., а стоимость пустой бутылки – $20$ коп. Сколько бутылок воды можно выпить на $N$ руб., учитывая, что пустые бутылки можно сдавать, и на полученные деньги приобретать новые бутылки воды?».

Нас же будет интересовать ответ на следующий вопрос: «А сколько покупателей услышали сегодня от Изи фразу «Приходите завтра!»?».

Входные данные
В первой строке входных данных находится единственное число $N (1 ≤ N ≤ 10^6)$ — количество покупателей, которым Изя задавал упоминаемую в условии задачку.

В последующих $N$ строках задано через пробел $N$ пар чисел, первое из которых — количество денег в кошельке перед началом операции «Покупка ГазВоды», а второе — ответ покупателя.

Все входные данные — целые неотрицательные числа, не превышающие $10^9$.

Выходные данные
Вывести единственное число — количество покупателей, услышавших от продавца ответ «Придёте завтра» и при этом ответили неправильно. Подсчитывать же тех, кто долго думал, не обязательно, за Вас это сделает проверяющая система вердиктом TL (Time Limited).

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 1
2 2
1 2
1 1
2 1
3
3
45 45
38 37
12 10
2
3
5 4
7 6
3 2
0
2
1280 1280
1900 1899
1
7
1 1
2 2
3 2
6 5
6 6
7 3
2 2
5

Код программы

Решение задачи

Для решения этой задачи необходимо решить задачу «Покупка воды». Решение очень простое: количество бутылок воды, которое можно выпить на $n$ грн. равно $n — 1$.

Используем это в цикле для проверки на правильность ответа покупателя. Если ответ неправильный, то увеличиваем переменную  j, которая считает количество неправильных ответов, на один, и, после завершения цикла, выводим ее значение.

Ссылки

Код задачи на e-olymp.com
Решение задачи на ideone.com