KM63

Задача М63 из журнала «Квант» №1 за 1971 год, стр.39. Автор А.А. Кириллов.
Можно ли из плиток размером 1х2 сложить четырехугольник размером [latex] M\times N [/latex] так, чтоб при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего стороны квадрата и идущие по краям плиток.
km63

Изображение как на рисунке не годиться так как тут есть «шов» [latex] AB [/latex].

Входные данные
Размеры четырёхугольника [latex] M [/latex] и [latex] N [/latex].

Выходные данные
Возможно ли это сделать [latex] Yes [/latex] или не возможно [latex] No [/latex].

Тесты

вводимые данные выводимые данные
M N возможно || не возможно
2 16 no
6 6 no
66 69 yes
16 5 yes
99 71 no
7 7 no
78 77 yes
7 8 yes

Код задачи

Решение
Легко доказать, что прямоугольники [latex] {2\times m}, [/latex] [latex] {3\times m}, [/latex] [latex] {4\times m} [/latex] разрезать таким образом нельзя. Если же [latex] {m\geq{5}}, [/latex] [latex] {n\geq{5}} [/latex] и [latex] mn [/latex] четно (последнее условие разумеется необходимо), то во всех случаях кроме [latex]{6\times 6}[/latex] нужное разбиение существует.
Ссылки
ideone

Mif 8

Задача

Условие взято отсюда

Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан на плоскости целочисленными координатами вершин. Определите тип четырёхугольника: квадрат, ромб, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Из характеристик указать наиболее частную.

Тесты

[latex]a_1[/latex]   [latex]a_2[/latex] [latex]b_1[/latex] [latex]b_2[/latex] [latex]c_1[/latex][latex]c_2[/latex] [latex]d_1[/latex] [latex]d_2[/latex]                                                   Ответ
0 0 1 0 1 1 0 1   квадрат
0 -3 2 0 0 3 -2 0 ромб
0 0 4 0 4 1 1 4 прямоугольник
0 0 10 0 12 4 2 4 пaраллелограмм
0 0  2 0  1 1  0 1 трапеция
0 0  0 2  1 1  1 0 трапеция
-4 -5 -15 7 5 8 6 -7 произвольный
 0 0 1 0 10 20  -5 7 произвольный

 

Код

 

Решение

Для начала стоит найти длины всех сторон:

[latex]AB^{2}=((a1-b1)^{2}+(a2-b2)^{2})[/latex]. (аналогично для остальных сторон)

Затем можно найти длины диагоналей четырёхугольника

[latex]AC^{2}=((a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2})[/latex]. (аналогично для [latex]BD[/latex]).

Через условие задаем равность противоположных сторон [latex]AB=CD[/latex] и  [latex]BC=DA[/latex]:

  1. У ромба смежные стороны равны, но если у ромба диагонали равны, то это квадрат;
  2. Если четырёхугольник не является квадратом, но диагонали равны, то это прямоугольник;
  3. В противном случае — параллелограмм.

Если одна из пар противополижных сторон параллельны, то данный четырёхугольник — трапеция. Впротивном случае — произвольный четырёхугольник.

Код на ideone