значащие цифры | C++ для приматов

Задача: Численно убедиться в справедливости равенства [latex]\frac{1}{4}\ln{\frac{1+x}{1-x}}+\frac{1}{2}\arctan{x}=\quad x+\frac{{x}^{5}}{5}+\dots+\frac{{x}^{4n+1}}{4n+1}+\dots[/latex], для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]e[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] слагаемых, необходимых, для достижения заданной точности. Интервал для этой задачи: [latex]-1<x<1[/latex].

Ввод		Вывод
[latex]x[/latex]	Погрешность	Output	Комментарий
-0.99	1e-4	148	Пройден
0.99	1e-4	148	Пройден
0.99	1e-14	685	Пройден
0.7	1e-10	14	Пройден
-0.3	1e-13	6	Пройден
0.001	1e-13	1	Пройден

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
	double x, e; //Переменная и погрешность
	scanf("%lf %le", &x, &e);
	double curr = 1./4.*log((1.+x)/(1.-x)) + (1./2.)*atan(x);  //Левая часть выражения
	int count = 0; //Счетчик
	double y = x; //i-тое слагаемое
	double sum = x; //Сумма
	for(; fabs(sum-curr) > e; count++){
		double n = (4.*count+1.)/(4.*count+5.);
		y = y*x*x*x*x*n;
		sum += y;
	}
	count++;
	printf("%d", count);
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

double x, e; //Переменная и погрешность

scanf("%lf %le", &x, &e);

double curr = 1./4.*log((1.+x)/(1.-x)) + (1./2.)*atan(x); //Левая часть выражения

int count = 0; //Счетчик

double y = x; //i-тое слагаемое

double sum = x; //Сумма

for(; fabs(sum-curr) > e; count++){

double n = (4.*count+1.)/(4.*count+5.);

y = y*x*x*x*x*n;

sum += y;

}

count++;

printf("%d", count);

return 0;

}

Идея решения: Используем цикл for, в условие которого ставим проверку на превышение погрешности суммы. Левую часть выражения вычисляем и записываем в переменную [latex]curr[/latex]. Сумму (то что стоит в правой части выражения) объявим как [latex]sum[/latex], и инициализируем значением [latex]x[/latex] (Это делается для того, чтобы во время работы цикла не вычислялось одно лишнее слагаемое).

Каждую итерацию цикла инкрементируем счетчик [latex]count[/latex]. Переменную [latex]y[/latex], которая соответствует i-тому слагаемому суммы, увеличивают до значения следующего слагаемого и прибавляют к сумме. Далее проверяем разность частичной суммы и заданного значения [latex]curr[/latex]. Если эта разность будет удовлетворять нашей точности, то число [latex]count[/latex] и будет количеством слагаемых в правой части.

Замечание: После цикла значение [latex]count[/latex] вновь инкрементируется, это сделано по следующей причине: сумма изначально содержала в себе первое слагаемое. Если сумма бы изначально содержала в себе 0, то нам пришлось бы вычислять лишнее слагаемое.

Ideone

Related Images:

Задача: Сколько сомножителей надо взять в произведении: [latex]\prod_{k=1}^{\infty}{(1+\frac{{(-1)}^{k}}{2k+1})}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex], чтобы равенство выполнялось до шестой значащей цифры, то есть с погрешностью не более [latex]{10}^{-6}[/latex]

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
	double curr = sqrt(2.0)/2; //Переменная для сравнения
	double mul = 1;   //Произведение
	double e = 1.0e-6;  //Точность
	int count = 1; //Счетчик
	for(;fabs(mul - curr) > e;count++){
		mul *= (1. + (count % 2 ? (-1) : 1)/(2.*count + 1));
	}
	printf("%d",count); 
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

double curr = sqrt(2.0)/2; //Переменная для сравнения

double mul = 1; //Произведение

double e = 1.0e-6; //Точность

int count = 1; //Счетчик

for(;fabs(mul - curr) > e;count++){

mul *= (1. + (count % 2 ? (-1) : 1)/(2.*count + 1));

}

printf("%d",count);

return 0;

}

Идея решения: Используем цикл for, в качестве [latex]k[/latex] в формуле используем переменную [latex]count[/latex] в программе. Переменную, которая будет соответствовать произведению, назовем [latex]mul[/latex] (сокращенно от multiplication) и присвоим ей значение 1 как нейтральный элемент для операции умножения. Каждую итерацию цикла проверяем разность [latex]mul-curr[/latex], где [latex]curr=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex], на превышение погрешности [latex]{10}^{-6}[/latex].

Если разность больше точности, умножаем [latex]mul[/latex] на выражение под знаком произведения и увеличиваем [latex]count[/latex] на единицу.

Если разность меньше точности, число [latex]count[/latex] и будет количеством сомножителей в произведении.

Число сомножителей оказалось достаточно большим — 88390. Ideone

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: значащие цифры

Ю3.39

Related Images:

Ю3.17

Related Images: