окно | C++ для приматов

Задача

Окно в университетской аудитории имеет форму прямоугольника с присоединенным в верхней части полукругом. Периметр всего окна равен [latex]P[/latex]. Определить радиус полукруга [latex]R[/latex], при котором площадь окна максимальна.
Входные данные: Периметр окна [latex]P[/latex].
Выходные данные: Радиус полукруга [latex]R.[/latex]

Тесты

	Входные данные	Выходные данные
№	[latex]P[/latex]	[latex]R[/latex]
1	100	14.0025
2	73	10.2218
3	14	1.96035
4	0	0

Код программы.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
    double P, R;
    cin>>P;
    R=P/(4+M_PI);
    cout<<R;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double P, R;

cin>>P;

R=P/(4+M_PI);

cout<<R;

return 0;

}

Решение

Университетское окно

Обозначим боковую сторону окна [latex]b[/latex], а нижнюю [latex]a[/latex]. [latex]R=\frac { a }{ 2 } [/latex], тогда периметр окна [latex]P=a+2b+\frac { \pi a }{ 2 } [/latex], а площадь равна сумме площадей прямоугольника и полукруга [latex]S=ab+\frac { \pi { a }^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Выразим сторону [latex]b[/latex] через [latex]a[/latex] и периметр [latex]P[/latex] : [latex]b=\frac { 2P-2a-\pi a }{ 4 } [/latex], тогда [latex]S=\frac { 4Pa-4a^{ 2 }-\pi a^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Вычислим производную функции [latex]S(a)[/latex]. [latex]S'(a)=\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } [/latex], затем найдем точки экстремума функции:
[latex]\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } =0[/latex], тогда [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex].
Найдём область допустимых значений для [latex]a[/latex]. Наибольшего значения [latex]a[/latex] достигает при [latex]b=0[/latex], [latex]P=a+ \frac {\pi a}{2}[/latex], соответственно [latex]a=\frac { 2P }{ 1+\pi } [/latex]. Значит областью допустимых значений является отрезок [latex][0; \frac { 2P }{ 2+\pi } ] [/latex]. Поскольку [latex]0 < \frac { 2P }{ 4+\pi } < \frac { 2P }{ 2+\pi }[/latex] делаем вывод, что [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex] попадет в область допустимых значений. Найдём максимальное значение функции на отрезке:
[latex]S(0)=0[/latex].
[latex]S(\frac { 2P }{ 4+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 32 + 8 \pi } [/latex].
[latex]S( \frac { 2P }{ 2+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 16 + 8 \pi } \cdot \frac { \pi }{ 2+ \pi } [/latex].
[latex] \frac {S(\frac { 2P }{ 4+\pi })}{S( \frac { 2P }{ 2+\pi })} = \frac { 4+4\pi +{ \pi }^{ 2 } }{ 4\pi +{ \pi }^{ 2 } } [/latex].
Тогда [latex]S(0) < S(\frac { 2P }{ 2+\pi }) < S(\frac { 2P }{ 4+\pi }) [/latex].
Значит площадь окна [latex]S[/latex] достигает максимального значения при [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi }[/latex], из чего следует [latex]R=\frac { P }{ 4+\pi }[/latex].