Задача

Задача из журнала «Квант» №7 1970 г.
Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов [latex]r[/latex] нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось [latex]n[/latex] [latex]k[/latex] -угольников?

Входные данные:

Количество многоугольников [latex]n[/latex].
Количество углов многоугольника [latex]k[/latex].

Выходные данные:

Количество разрезов [latex]r[/latex].

Пример получения двух шестиугольников за 5 разрезов

Тесты

	Входные данные		Выходные данные
№	[latex]n[/latex]	[latex]k[/latex]	[latex]r[/latex]
1	100	20	1699
2	14	3	13
3	1	3	1
4	40	360	14279
5	2	6	5

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int r, n, k;
    cin>>n>>k;
    r=k>3? n*(k-3)-1 : n>1? n-1 : 1;
    cout<<r;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int r, n, k;

cin>>n>>k;

r=k>3? n*(k-3)-1 : n>1? n-1 : 1;

cout<<r;

return 0;

}

Решение

При каждом разрезе количество кусков бумаги [latex]n[/latex] увеличивается на [latex]1[/latex]. Общее количество вершин [latex]k[/latex] будет увеличиваться в зависимости от места разреза. Таким образом при разрезе через две стороны общее количество вершин будет увеличиваться на [latex]4[/latex]. При разрезе через две вершины общее количество вершин увеличивается на [latex]2[/latex], а при разрезе через сторону и вершину — на [latex]3[/latex].

При [latex]k>3[/latex] сначала разделим лист на [latex]n[/latex] четырёхугольников при помощи разрезов через противоположные стороны. На это нам понадобиться [latex]n-1[/latex] разрезов. Затем можем, при помощи разрезов через соседние стороны, превращать каждый четырехугольник в [latex]k[/latex] — угольник, на что понадобиться [latex]k-4[/latex] разрезов.Выходит, что на получение [latex]n[/latex] [latex]k[/latex]- угольников нужно сделать не меньше [latex]n(k-4)+n-1[/latex] разрезов, значит [latex]r=n(k-3)-1[/latex].

Если же [latex]k=3[/latex], то нам нужно, наоборот, уменьшить количество вершин. Тогда первый разрез сделаем через две вершины квадрата — получаем два треугольника, затем каждым разрезом через вершину и сторону увеличиваем количество треугольников на [latex]1[/latex] пока не получим [latex]n[/latex]. В таком случае [latex]r= n-1 [/latex]. Исключение: если [latex]n=1[/latex], то [latex]r=1.[/latex]

Ссылки

Код программы.
Условие задачи (страница 47).

Related Images:

Задача e-olimp.com №67

Ссылка на засчитанное решение.

Условие:

При разрезании сыра в задаче «Сыр для Анфисы» у хозяина оставались куски сыра в виде прямоугольного параллелепипеда с разными целыми длинами сторон. Готовя новое блюдо из сыра для Анфисы хозяину приходилось разрезать эти куски на кубики со стороной 1. Какое наименьшее количество разрезов приходилось ему делать для того, чтобы разрезать заданные куски сыра, если он каждый раз разрезал один кусок сыра на две части.

Тесты

Входные данные			Выходные данные
a	b	c	Выходные данные
2	3	4	23
1	2	3	5

Код программы:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	long A, B, C;
	cin >> A >> B >> C;
	cout << (A*B*C - 1);
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

long A, B, C;

cin >> A >> B >> C;

cout << (A*B*C - 1);

return 0;

}

Для запроса на выполнение нажать здесь.

Решение

При разрезании сторон a, b, c мы получаем a, b, c количество частей соответственно. Следовательно, при разрезании стороны A, мы выполняем [latex](a-1)[/latex] разрезов. Тогда, при разрезании стороны B, делаем [latex]a*(b-1)[/latex]; при разрезании стороны C — [latex]a*b*(c-1)[/latex] соответственно. Всего мы совершаем [latex](a-1)+a*(b-1)+a*b*(c-1)[/latex] разрезов. В итоге, получаем формулу [latex]a*b*c — 1[/latex].