e-olymp 2071. Три грибника

25/11/2017 by Павел Жуков

Задача

Три грибника

Три грибника Петя, Вася и Николай, возвращаясь из лесу домой, решили устроить привал, а заодно и перекусить. Как это у нас принято, через некоторое время каждый начал сначала хвастаться своими сегодняшними успехами, а со временем, а так все трое были друзьями, то вскоре начали делить найденными ими грибы между собой и своими товарищами.

Сначала Пётр дал Васе и Николаю по столько грибов, сколько у них уже было. Николай быстро понял, что так будет не по-братски, и дал Василию и Петру по столько грибов, по сколько у них стало. Василий не мог отстать от сотоварищей и также дал каждому из друзей по столько грибов, сколько у них этому моменту имелось. И тут друзья с удивлением обнаружили, что у всех стало грибов поровну.

Сколько грибов было у каждого перед привалом, если известно, что все вместе они собрали [latex]n[/latex] грибов?

Входные данные

В единственной строке находится единственное натуральное число [latex]n[/latex] ([latex]n ≤ 30000[/latex]).

Выходные данные

В единственной строке вывести через пробел количество грибов перед привалом у Петра, Василия и Николая, соответственно. Гарантируется, что все входные данные корректны.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
[latex]24[/latex]	[latex]13[/latex] [latex]4[/latex] [latex]7[/latex]
[latex]48[/latex]	[latex]26[/latex] [latex]8[/latex] [latex]14[/latex]
[latex]72[/latex]	[latex]39[/latex] [latex]12[/latex] [latex]21[/latex]
[latex]96[/latex]	[latex]52[/latex] [latex]16[/latex] [latex]28[/latex]
[latex]120[/latex]	[latex]65[/latex] [latex]20[/latex] [latex]35[/latex]
[latex]144[/latex]	[latex]78[/latex] [latex]24[/latex] [latex]42[/latex]

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << n * 13 / 24 << " " << n / 6 << " " << n * 7 / 24;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

cout << n * 13 / 24 << " " << n / 6 << " " << n * 7 / 24;

return 0;

}

Решение задачи

Представим нашу задачу в форме таблицы, строки которой будут соответствовать грибникам, а столбцы — количеству грибов у соответствующего грибника между обменами:

П.	[latex]x_{1}[/latex]	[latex]x_{2} = x_{1} — y_{1} — z_{1}[/latex]	[latex]x_{3} = 2 \cdot x_{2}[/latex]	[latex]x_{4} = 2 \cdot x_{3}[/latex]
В.	[latex]y_{1}[/latex]	[latex]y_{2} = 2 \cdot y_{1}[/latex]	[latex]y_{3} = 2 \cdot y_{2}[/latex]	[latex]y_{4} = y_{3} — x_{3} — z_{3}[/latex]
Н.	[latex]z_{1}[/latex]	[latex]z_{2} = 2 \cdot z_{1}[/latex]	[latex]z_{3} = z_{2} — x_{2} — y_{2}[/latex]	[latex]z_{4} = 2 \cdot x_{3}[/latex]

По условию задачи [latex]x_{4} = y_{4} = z_{4} = \frac n 3[/latex]. Тогда выражением нужных корней и подстановкой известных считаем [latex]x_{1}[/latex], [latex]y_{1}[/latex] и [latex]z_{1}[/latex] начиная с правого столбца и двигаясь налево:

[latex]x_{3} = \frac {x_{4}}{2} = \frac {n}{6}[/latex]

[latex]z_{3} = \frac {z_{4}}{2} = \frac {n}{6}[/latex]

[latex]y_{3} = y_{4} + x_{3} + z_{3}= \frac {n}{3} + \frac {n}{6} + \frac {n}{6} = \frac {2 \cdot n}{6}[/latex]

[latex]x_{2} = \frac {x_3}{2} = \frac {n} {12}[/latex]

[latex]y_{2} = \frac {y_3}{2} = \frac {n}{3}[/latex]

[latex]z_{2} = z_{3} + y_{2} + x_{2} = \frac {n}{6} + \frac {n}{12} + \frac {n}{3} = \frac {7 \cdot n}{12}[/latex]

[latex]y_{1} = \frac {y_{2}}{2} = \frac {n}{6}[/latex]

[latex]z_{1} = \frac {z_2}{2} = \frac {7 \cdot n}{24}[/latex]

[latex]x_{1} = x_{2} + y_{1} + z_{1} = \frac {n}{12} + \frac {n}{6} + \frac {6 \cdot n}{12} = \frac {13 \cdot n}{24}[/latex]

Получили ответы: [latex]x_{1} = \frac {13 \cdot n}{24}[/latex], [latex]y_{1} = \frac {n}{6}[/latex] и [latex]z_{1} = \frac {7 \cdot n}{24}[/latex]. Это и будет количество грибов соответственно у Пети, Васи и Николая в самом начале. Отсюда получаем итоговую формулу решения, указанную в коде программы.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

Related Images:

Ю2.4

19/09/2014 by Сорокина Полина

Задача: Числа [latex]a, b, c[/latex] тогда и только тогда являются сторонами треугольника, когда существуют такие положительные [latex]x, y, z[/latex], что:

[latex]\begin{cases}& \text{ } a=x+y \\& \text{ } b=y+z \\& \text{ } c=x+z\end{cases}[/latex]

[latex]a[/latex]	[latex]b[/latex]	[latex]c[/latex]	[latex]x[/latex]	[latex]y[/latex]	[latex]z[/latex]	Комментарий
10	5	7	6	4	1	Выполняется
3.5	6.8	4	0.35	3.15	3.65	Выполняется
-5	7	3	—	—	—	Не треугольник
17	4	8	—	—	—	Не треугольник

C++:

#include <stdio.h>
int main(void) {
	double a, b, c, x, y, z;
	printf ("Введите длины сторон треугольника.\n");
	scanf ("%lf %lf %lf\n", &a, &b, &c);
	if ((a>0) && (b>0) && (c>0) && (a+b>c) && (b+c>a) && (a+c>b)) 
	{
		y=(a+b-c)/2;
		x=a-y;
		z=b-y;
		printf("x=%lf, y=%lf, z=%lf\n", x, y, z);
	}
	else 
	{
		printf ("Не является треугольником.\n");
	}
	return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void) {

double a, b, c, x, y, z;

printf ("Введите длины сторон треугольника.\n");

scanf ("%lf %lf %lf\n", &a, &b, &c);

if ((a>0) && (b>0) && (c>0) && (a+b>c) && (b+c>a) && (a+c>b))

{

y=(a+b-c)/2;

x=a-y;

z=b-y;

printf("x=%lf, y=%lf, z=%lf\n", x, y, z);

}

else

{

printf ("Не является треугольником.\n");

}

return 0;

}

Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args)
	{
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		double a, b, c, x, y, z;
		System.out.println("Введите длины сторон треугольника.");
		a = in.nextDouble();
		b = in.nextDouble();
		c = in.nextDouble();
		if ((a>0) && (b>0) && (c>0) && (a+b>c) && (b+c>a) && (a+c>b)) {
			y=(a+b-c)/2;
			x=a-y;
			z=b-y;
			System.out.println("x="+x+"; y="+y+"; z="+z);
		}
		else {
			System.out.println("Не является треугольником.\n");
		}
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double a, b, c, x, y, z;

System.out.println("Введите длины сторон треугольника.");

a = in.nextDouble();

b = in.nextDouble();

c = in.nextDouble();

if ((a>0) && (b>0) && (c>0) && (a+b>c) && (b+c>a) && (a+c>b)) {

y=(a+b-c)/2;

x=a-y;

z=b-y;

System.out.println("x="+x+"; y="+y+"; z="+z);

}

else {

System.out.println("Не является треугольником.\n");

}

Для всех переменных ( [latex]a, b, c[/latex] — даны по условию, [latex]x, y, z[/latex] — нужно найти) я использовала тип данных double, так как числа могут быть вещественными.

[latex]a, b, c[/latex] — стороны треугольника, поэтому они не могут быть отрицательными. И по соотношениям между сторонами треугольника каждая сторона меньше суммы двух других сторон. В противном случае [latex]a, b, c[/latex] не являются сторонами треугольника.

Чтобы получить значения [latex]x, y, z[/latex], решаем систему, данную в условии. Из первого уравнения: [latex]x=a-y[/latex]. Из второго: [latex]z=b-y[/latex]. Подставляем [latex]x=a-y[/latex] и [latex]z=b-y[/latex] в третье уравнение: [latex]c=a+b-2\cdot y[/latex]. Находим [latex]y=\frac{a+b-c}{2}[/latex], [latex]x=a-y[/latex], [latex]z=b-y[/latex].

Задача на Ideone:
C++
Java

Related Images:

А50

18/09/2014 by Ілларіонова Марія Валеріївна

Задача А50. Даны действительные числа [latex]a_{1}[/latex], [latex]b_{1}[/latex], [latex]c_{1}[/latex], [latex]a_{2}[/latex], [latex]b_{2}[/latex], [latex]c_{2}[/latex]. Выяснить, верно ли что [latex]\left|a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} \right|\geq 0.0001[/latex], и если верно, то найти решение системы линейных уравнений

[latex]a_{1} x+b_{1} y+c_{1} =0[/latex],

[latex]a_{2} x+b_{2} y+c_{2} =0[/latex]

(при выполнении выписанного неравенства система заведомо совместна и имеет единственное решение).

[latex]a_{1}[/latex]	[latex]b_{1}[/latex]	[latex]c_{1}[/latex]	[latex]a_{2}[/latex]	[latex]b_{2}[/latex]	[latex]c_{2}[/latex]	[latex]x[/latex]	[latex]y[/latex]	Комментарий.
3,8	5	-2	6	8,4	3	16,5625	-12,1875	Тест пройден.
0	4	5	2	0	9	-4,5	-1,25	Тест пройден.
1	2	-3	3	2	-1	-1	2	Тест пройден.
1	0.00002	5	2	0.00005	8	—	—	Тест не пройден. Неравенство не выполняется.
1	4	5	2	8	3	—	—	Тест не пройден. Неравенство не выполняется.

Код программы (C++):

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
	double a1, b1, c1, a2, b2, c2; // Переменные, предоставленные в условии.
	double x, y; // Переменные, которые нужно найти.
	double b0, c0; // Вспомогательные переменные.
	scanf ("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &a1, &b1, &c1, &a2, &b2, &c2); // Ввод данных с клавиатуры.
	if (fabs(a1*b2-a2*b1)>=0.0001) {
		if (a1!=0) {
			b0=b2-(b1/a1*a2);
			c0=-(c2-(c1/a1*a2));
			y=c0/b0;
			x=(-c1-((b1*c0)/b0))/a1;
			printf ("x=%lf \ny=%lf \n", x, y);
		}
		else {
			b0=b1-(b2/a2*a1);
			c0=-(c1-(c2/a2*a1));
			y=c0/b0;
			x=(-c2-((b2*c0)/b0))/a2;
			printf ("x=%lf \ny=%lf \n", x, y);
		}
		
	}
	else {
		puts ("Неравенство не выполняется.");
	}
	return 0;
}

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main() {

double a1, b1, c1, a2, b2, c2; // Переменные, предоставленные в условии.

double x, y; // Переменные, которые нужно найти.

double b0, c0; // Вспомогательные переменные.

scanf ("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &a1, &b1, &c1, &a2, &b2, &c2); // Ввод данных с клавиатуры.

if (fabs(a1*b2-a2*b1)>=0.0001) {

if (a1!=0) {

b0=b2-(b1/a1*a2);

c0=-(c2-(c1/a1*a2));

y=c0/b0;

x=(-c1-((b1*c0)/b0))/a1;

printf ("x=%lf \ny=%lf \n", x, y);

}

else {

b0=b1-(b2/a2*a1);

c0=-(c1-(c2/a2*a1));

y=c0/b0;

x=(-c2-((b2*c0)/b0))/a2;

printf ("x=%lf \ny=%lf \n", x, y);

}

else {

puts ("Неравенство не выполняется.");

}

return 0;

}

Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		double a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, b0, c0;
		Scanner in = new Scanner (System.in);
		a1=in.nextDouble();
		b1=in.nextDouble();
		c1=in.nextDouble();
		a2=in.nextDouble();
		b2=in.nextDouble();
		c2=in.nextDouble();
		if (Math.abs(a1*b2-a2*b1)>=0.0001) {
			if (a1!=0) {
				b0=b2-(b1/a1*a2);
				c0=-(c2-(c1/a1*a2));
				y=c0/b0;
				x=(-c1-((b1*c0)/b0))/a1;
			}
			else {
				b0=b1-(b2/a2*a1);
				c0=-(c1-(c2/a2*a1));
				y=c0/b0;
				x=(-c2-((b2*c0)/b0))/a2;
			}
			System.out.format ("x=%f %ny=%f %n", x, y);
		}
		else {
			System.out.println("Неравенство не выполняется.");
		}
 
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

double a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, b0, c0;

Scanner in = new Scanner (System.in);

a1=in.nextDouble();

b1=in.nextDouble();

c1=in.nextDouble();

a2=in.nextDouble();

b2=in.nextDouble();

c2=in.nextDouble();

if (Math.abs(a1*b2-a2*b1)>=0.0001) {

if (a1!=0) {

b0=b2-(b1/a1*a2);

c0=-(c2-(c1/a1*a2));

y=c0/b0;

x=(-c1-((b1*c0)/b0))/a1;

}

else {

b0=b1-(b2/a2*a1);

c0=-(c1-(c2/a2*a1));

y=c0/b0;

x=(-c2-((b2*c0)/b0))/a2;

}

System.out.format ("x=%f %ny=%f %n", x, y);

}

else {

System.out.println("Неравенство не выполняется.");

}

По условию задачи необходимо решить систему линейных уравнений и вывести на экран [latex]x[/latex], [latex]y[/latex].

Программа решает это уравнение по методу Гаусса.

Изначально она делает проверку на наличие ненулевого аргумента [latex]a_{1}[/latex]. Если таковой имеется, то программа решает задачу, исходя из первого уравнения системы, в противном случае — решение начинается со второго уравнения.

Далее я ввела в программу переменные [latex]b_{0}[/latex], [latex]c_{0}[/latex], чтобы не перегружать формулы большим количеством данных. Алгоритм действий таков:

1) Перенести [latex]c_{1}[/latex] и [latex]c_{2}[/latex] в правую часть уравнения, что автоматически меняет их знак на противоположный.

2) Если в программе присутствует ненулевой аргумент [latex]a_{1}[/latex], то она вычитает из второго уравнения первое, предварительно домножив второе на [latex]\frac{b_{1} a_{2} }{a_{1} }[/latex].

3) Из преобразованного второго уравнения находится [latex]y[/latex], который впоследствии подставляется в первое уравнение системы для нахождения [latex]x[/latex] .

Для выполнения программы и проверки тестов можно воспользоваться следующим объектом (C++) и этим (Java).