D2549. Сумма ряда

24/12/2017 by Алла Марокко

Условие задачи:
Найти сумму сходящегося ряда:
[latex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} + …[/latex]

Входные данные:
Целое число [latex]n[/latex] — номер искомой частичной суммы.

Выходные данные:
Искомая частичная сумма.

Тесты:

№	Вход	Выход
1	1	0.5
2	500	0.998004
3	100000	0.999965

Код на языке C++ (первый вариант):

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    double S = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        S += 1.0/(i*(i + 1)); 
    }
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

double S = 0;

cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i++){

S += 1.0/(i*(i + 1));

}

cout << S;

return 0;

}

Код на языке Java (первый вариант):

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n;
        n=in.nextInt();
        double S = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            S += 1.0/(i*(i + 1)); 
        }
        System.out.println(S);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

int n;

n=in.nextInt();

double S = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++){

S += 1.0/(i*(i + 1));

}

System.out.println(S);

}

Код на языке C++ (второй вариант):

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    double S = 0;
    cin >> n;
    S = 1-(1/n); 
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

double S = 0;

cin >> n;

S = 1-(1/n);

cout << S;

return 0;

}

Код на языке Java (второй вариант):

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n;
        n=in.nextInt();
        double S = 0;
        S=1-(1/n);
        System.out.println(S);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

int n;

n=in.nextInt();

double S = 0;

S=1-(1/n);

System.out.println(S);

}

Решения:
Вариант первый (решение с циклом): Зададим цикл с счетчиком [latex]i[/latex] от 1 до заданного пользователем числа [latex]n.[/latex] Именно такое количество необходимых слагаемых [latex]\frac{1}{n(n + 1)}[/latex] будет найдено на каждом шаге цикла для последующего суммирования и нахождения искомой частичной суммы.

Вариант второй (решение без цикла): Ряд сводится к ряду: [latex](1 — \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} — \frac{1}{3}) + … + (\frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1})[/latex]. От сюда имеем: [latex]1 — \frac{1}{n + 1}.[/latex]

Ссылки:
Условие задачи (стр.248).
Первый вариант C++ .
Первый вариант Java .
Второй вариант C++ .
Второй вариант Java .

Related Images:

D2548. Сходимость и сумма ряда

27/10/2016 by Роман Саркисян

Условие

Доказать сходимость ряда и найти его сумму
[latex]\frac { 1 }{ 2 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 8 } + \ldots + \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } + \ldots [/latex]

Решение

Для начала докажем, что наш ряд сходится. Докажем это, через признак Даламбера. Суть этого признака заключается в том, что если предел отношения последующего члена к предыдущему меньше [latex]1[/latex](или в частных случаях равен [latex]0[/latex]) то данный ряд будет сходится.
Берем отношение последующего и предыдущего [latex]\lim\limits_{ n\to \infty } \frac { \frac{ 2(n+1)-1 }{ { 2 }^{ n+1 } } }{ \frac{ 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] превратим нашу 4-х этажную дробь в 2-х этажную [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { ({ 2(n+1)-1){ 2 }^{ n } } }{ { (2n-1 }){ 2 }^{ n+1 } }[/latex] раскроем скобки и применим свойство степеней, получим [latex] \lim\limits _{ n\to \infty } \frac { (2n+2-1){ 2 }^{ n } }{ (2n-1){ 2 }^{ n }2 }[/latex] далее приведем подобные сократим дробь и снова раскроим скобки, получим [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { 2n+1 }{ 4n-2 } [/latex] далее чтобы перейти непосредственно к пределу разделим коэффициенты при старших степенях числителя на знаменатель, в ответе получаем [latex]\frac { 2 }{ 4 }[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex].
[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [latex]<[/latex] [latex]1[/latex] из этого следует что данный ряд сходится!
Далее найдем сумму это ряда. [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty } { \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Тесты

[latex]n[/latex]	сумма [latex]n[/latex] элементов
1	0.5
2	1.25
3	1.875
23	2.99999
24	3

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int a,n;
    double s=0,q=1;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q=q*2;  
        s+=(2*i-1)/q;
    }
    cout<<s;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a,n;

double s=0,q=1;

cin>>n;

for(int i=1;i<=n;i++){

q=q*2;

s+=(2*i-1)/q;

}

cout<<s;

return 0;

}

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
  public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
  {
    int a,n;
    double s=0,q=1;
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    n=in.nextInt();
    for(int i=1;i<=n;i++){
      q=q*2;  
      s+=(2*i-1)/q;
    }
    System.out.println(s);

  }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int a,n;

double s=0,q=1;

Scanner in = new Scanner(System.in);

n=in.nextInt();

for(int i=1;i<=n;i++){

q=q*2;

s+=(2*i-1)/q;

}

System.out.println(s);

}

Код на ideone C++
Код на ideone Java

Related Images:

Ю3.19

26/11/2014 by Григорян Артак

Для заданных [latex]a[/latex] и [latex]p[/latex] вычислить [latex]\sqrt[p]{a}[/latex], используя рекуррентную формулу:

[latex]x_{n+1}=\frac{x_{n}}{p^{2}}[(p^{2}-1)+\frac{1}{2}(p+1)\frac{a}{x_{n}^{p}}-\frac{1}{2}(p-1)\frac{x_{n}^{p}}{a}][/latex];

Сколько итераций надо выполнить, чтобы для заданной погрешности [latex]\varepsilon[/latex] было справедливо соотношение [latex]\mid x_{n+1}-x_{n} \mid [/latex] [latex] \leq[/latex][latex]\varepsilon[/latex]?При каких начальных приближениях [latex]x_{0}[/latex] процесс сходится?

a	p	xz	eps	i	xn	x	Комментарий
16	4	1	0.000001	5	4	4
17	2	2	0.01	3	4.12311	4.12311
26	4	12	0.1	—	—	—	Превышено ограничение на время

Код программы:

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main () 
{
    double a,xz,eps;
    int p;
    cin>>a>>p>>xz>>eps;
    double x=pow(a,1.0/p);
    double xn=xz,x_prev=-10000000;
    int i=0;
    while (fabs(xn-x_prev)>=eps)
    {  
        x_prev=xn;
        xn=(x_prev/(p*p))*((p*p-1)+0.5*(p+1)*a/(pow(x_prev,p))-0.5*(p-1)*pow(x_prev,p)/(a));
        i++;
       
    }
    cout<<i<<' '<<xn<<' '<<x<<endl; 
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main ()

{

double a,xz,eps;

int p;

cin>>a>>p>>xz>>eps;

double x=pow(a,1.0/p);

double xn=xz,x_prev=-10000000;

int i=0;

while (fabs(xn-x_prev)>=eps)

{

x_prev=xn;

xn=(x_prev/(p*p))*((p*p-1)+0.5*(p+1)*a/(pow(x_prev,p))-0.5*(p-1)*pow(x_prev,p)/(a));

i++;

}

cout<<i<<' '<<xn<<' '<<x<<endl;

return 0;

}

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		double a=in.nextDouble();
		int p=in.nextInt();
		double xz=in.nextDouble();
		double eps=in.nextDouble();
		double x=Math.pow(a,1.0/p);
		double xn=xz,x_prev=-10000000;
    	int i=0;
		while (Math.abs(xn-x_prev)>=eps)
		{  
    		x_prev=xn;
       		xn=(x_prev/(p*p))*((p*p-1)+0.5*(p+1)*a/(Math.pow(x_prev,p))-0.5*(p-1)*Math.pow(x_prev,p)/(a));
    		i++;
       
    	}
    	System.out.print(i);System.out.print(" ");
    	System.out.print(xn);System.out.print(" ");
    	System.out.println(x);
   
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in=new Scanner(System.in);

double a=in.nextDouble();

int p=in.nextInt();

double xz=in.nextDouble();

double eps=in.nextDouble();

double x=Math.pow(a,1.0/p);

double xn=xz,x_prev=-10000000;

int i=0;

while (Math.abs(xn-x_prev)>=eps)

{

x_prev=xn;

xn=(x_prev/(p*p))*((p*p-1)+0.5*(p+1)*a/(Math.pow(x_prev,p))-0.5*(p-1)*Math.pow(x_prev,p)/(a));

i++;

}

System.out.print(i);System.out.print(" ");

System.out.print(xn);System.out.print(" ");

System.out.println(x);

}

Вводим с клавиатуры [latex]a[/latex], [latex]p[/latex], [latex]xz[/latex], [latex]eps[/latex], где [latex]xz[/latex]- наше приближение [latex]x_{0}[/latex], а [latex]eps[/latex] заданная погрешность.
С помощью цикла и рекуррентно заданной формулы получаем [latex]xn[/latex].С помощью счетчика [latex]i[/latex] получаем количество итераций.
Если программа вычисляет слишком долго, то мы можем сказать, что процесс не сходится.

Код программы можно посмотреть тут

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: Сходимость

D2549. Сумма ряда

Related Images:

D2548. Сходимость и сумма ряда

Условие

Решение

Тесты

Related Images:

Ю3.19

Related Images: