Условие
В теории чисел известна функция Эйлера $latex \varphi(n)$ — количество чисел, меньших $latex n$ и взаимно простых с ним. Напомним, два числа взаимно просты, если у них нет общих делителей, кроме единицы.
Расширим понятие функции Эйлера на строки. Пусть $latex s$ — непустая строка над алфавитом {$latex a$ .. $latex z$}, а $latex k$ — целое положительное число. Тогда $latex s \cdot k$ по определению — строка $latex t = \underbrace{s \circ s \circ \ldots \circ s}_{\text{k}}$ (конкатенация $latex s$ самой с собой $latex k$ раз). В таком случае будем говорить, что строка $latex s$ — делитель строки $latex t$. Например, «ab» — делитель строки «ababab».
Две непустые строки $latex s$ и $latex t$ будем называть взаимно простыми, если не существует строки $latex u$ такой, что она — делитель и для $latex s$, и для $latex t$. Тогда функция Эйлера $latex \varphi(s)$ для строки $latex s$ по определению — количество непустых строк над тем же алфавитом {$latex a$ .. $latex z$}, меньших $latex s$ по длине, и взаимно простых с ней.
Входные данные
Во входном файле дана строка $latex s$ длиной от $latex 1$ до $latex 10^5$ символов включительно, состоящая из маленьких латинских букв.
Выходные данные
Вычислите значение $latex \varphi(s)$ и выведите единственное число — остаток от его деления на $latex 1000000007 (10^9 + 7)$.
Решение
Очевидно, что когда строка $latex s$ длины $latex n$ не имеет делителей, кроме самой себя, любая строка длины меньшей, чем $latex n$, будет взаимно простой с $latex s$. Тогда достаточно посчитать количество всех возможных строк длины от $latex 1$ до $latex n-1$ включительно. Для некоторого $latex k$ количество строк этой длины будет равно $latex 26^k$. Тогда количество $latex m$ всех возможных строк длины от $latex 1$ до $latex n-1$ будет вычисляться по следующей формуле: $latex m=\sum\limits_{k=1}^{n-1} 26^k$.
Теперь рассмотрим случай, когда строка имеет делители. Поскольку строка $latex s$ в таком случае является конкатенацией некоторого количества одинаковых строк меньшей длины, найдём эту самую подстроку, кторая является минимальным (кратчайшим) делителем строки $latex s$. Для этого воспользуемся префикс-функцией. Она возвращает вектор $latex pi$ значений для всех подстрок строки $latex s$, которые являются префиксами $latex s$, где значение — максимальная длина префикса строки, совпадающего с её суффиксом. Тогда на $latex n-1$-ом месте вектора $latex pi$ будет стоять длина наибольшего префикса строки $latex s$, а оставшийся «кусочек» строки $latex s$ будет представлять собой минимальный делитель.
Осталось вычислить количество строк, которые не взаимно просты с $latex s$. Пусть k — длина минимального делителя $latex s$. Тогда все строки, являющиеся конкатенациями этого делителя, не будут взаимно простыми с $latex s$. Для подсчёта их количества достаточно поделить длину исходной строки на k, но ответ будет на единицу меньше, поскольку в этой формуле учитывается и сама строка $latex s$, как собственный делитель.
Для окончательного ответа на задачу остаётся вычесть из общего количества строк количество не взаимно простых с $latex s$.
Тесты
| № | Входные данные | Выходные данные |
| 1 | aa | 25 |
| 2 | abab | 18277 |
| 3 | abcdefgh | 353082526 |
| 4 | aaaaaab | 321272406 |
| 5 | aaaaaaa | 321272406 |
Программный код
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MOD = 1e9+7; vector<int> prefix_function(string s) { int n = s.length(); vector<int> pi(n); pi[0] = 0; for(int i = 1; i < n; i++){ int j = pi[i - 1]; while(j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1]; if(s[i] == s[j]) j++; pi[i] = j; } return pi; } int main() { string s; cin >> s; int n = s.length(); long long mul = 26, ans = 0; for(int i = 1; i < n; i++, mul *= 26, mul %= MOD) ans += mul; vector<int> pi = prefix_function(s); int k = n - pi[n - 1]; if(n % k == 0){ ans -= n / k - 1; } cout << ans % MOD; return 0; } |