Функция Эйлера

Условие

В теории чисел известна функция Эйлера $latex \varphi(n)$ — количество чисел, меньших $latex n$ и взаимно простых с ним. Напомним, два числа взаимно просты, если у них нет общих делителей, кроме единицы.

Расширим понятие функции Эйлера на строки. Пусть $latex s$ — непустая строка над алфавитом {$latex a$ .. $latex z$}, а $latex k$ — целое положительное число. Тогда $latex s \cdot k$ по определению — строка $latex t = \underbrace{s \circ s \circ \ldots \circ s}_{\text{k}}$ (конкатенация $latex s$ самой с собой $latex k$ раз). В таком случае будем говорить, что строка $latex s$  — делитель строки $latex t$. Например, «ab» — делитель строки «ababab».

Две непустые строки $latex s$ и $latex t$ будем называть взаимно простыми, если не существует строки $latex u$ такой, что она — делитель и для $latex s$, и для $latex t$. Тогда функция Эйлера $latex \varphi(s)$ для строки $latex s$ по определению — количество непустых строк над тем же алфавитом {$latex a$ .. $latex z$}, меньших $latex s$ по длине, и взаимно простых с ней.

Входные данные

Во входном файле дана строка $latex s$ длиной от $latex 1$ до $latex 10^5$ символов включительно, состоящая из маленьких латинских букв.

Выходные данные

Вычислите значение $latex \varphi(s)$ и выведите единственное число — остаток от его деления на $latex 1000000007 (10^9 + 7)$.

Решение

Очевидно, что когда строка $latex s$ длины $latex n$ не имеет делителей, кроме самой себя, любая строка длины меньшей, чем $latex n$, будет взаимно простой с $latex s$. Тогда достаточно посчитать количество всех возможных строк длины от $latex 1$ до $latex n-1$ включительно. Для некоторого $latex k$ количество строк этой длины будет равно $latex 26^k$. Тогда количество $latex m$ всех возможных строк длины от $latex 1$ до $latex n-1$ будет вычисляться по следующей формуле: $latex m=\sum\limits_{k=1}^{n-1} 26^k$.

Теперь рассмотрим случай, когда строка имеет делители. Поскольку строка $latex s$ в таком случае является конкатенацией некоторого количества одинаковых строк меньшей длины, найдём эту самую подстроку, кторая является минимальным (кратчайшим) делителем строки $latex s$. Для этого воспользуемся префикс-функцией.  Она возвращает вектор $latex pi$ значений для всех подстрок строки $latex s$, которые являются префиксами $latex s$, где значение — максимальная длина префикса строки, совпадающего с её суффиксом. Тогда на $latex n-1$-ом месте вектора $latex pi$ будет стоять длина наибольшего префикса строки $latex s$, а оставшийся «кусочек» строки $latex s$ будет представлять собой минимальный делитель.

Осталось вычислить количество строк, которые не взаимно просты с $latex s$. Пусть k — длина минимального делителя $latex s$. Тогда все строки, являющиеся конкатенациями этого делителя, не будут взаимно простыми с $latex s$. Для подсчёта их количества достаточно поделить длину исходной строки на k, но ответ будет на единицу меньше, поскольку в этой формуле учитывается и сама строка $latex s$, как собственный делитель.

Для окончательного ответа на задачу остаётся вычесть из общего количества строк количество не взаимно простых с $latex s$.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 aa 25
2 abab 18277
3 abcdefgh 353082526
4 aaaaaab 321272406
5 aaaaaaa 321272406

 

Программный код

 

Лена Наумова
Лена Наумова

Latest posts by Лена Наумова (see all)

One thought on “Функция Эйлера

Добавить комментарий