ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга

Задача. Какого наибольшего размера прямоугольник можно вырезать из круга диаметра [latex]d[/latex], если известно, что длины его сторон образуют золотую пропорцию.

Входные данные:

Единственное число — диаметр окружности.

Выходные данные:

Два числа — длины сторон прямоугольника.

Тесты.

№	Входные данные	Выходные данные
	[latex]d[/latex]	[latex]a[/latex]	[latex]b[/latex]
1	0	0	0
2	1	0.850651	0.525731
3	2	1.7013	1.05146
4	21	17.8638	11.0404
5	0.32	0.272208	0.168234
6	1.7	1.44611	0.893743
7	134	113.981	70.448

Код программы на C++.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() {
    double a, b, f, d;
    cin >> d;
    f = (sqrt(5) + 1) / 2;
    b = d / sqrt (1 + f * f);
    a = b * f;
    cout << a << ' ' << b;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double a, b, f, d;

cin >> d;

f = (sqrt(5) + 1) / 2;

b = d / sqrt (1 + f * f);

a = b * f;

cout << a << ' ' << b;

return 0;

}

Код программы на Java.

import java.util.*;
import java.math.*;
 
class Main
{
    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double f = (Math.sqrt(5)+1)/2;
        double d = in.nextDouble();
        double b = d / Math.sqrt(1 + f * f);
        double a = b * f;
        System.out.print(a + " " + b);
    }
}

import java.util.*;

import java.math.*;

class Main

{

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double f = (Math.sqrt(5)+1)/2;

double d = in.nextDouble();

double b = d / Math.sqrt(1 + f * f);

double a = b * f;

System.out.print(a + " " + b);

}

Решение.

Прямоугольник будет иметь наибольший размер в случае, когда его вершины лежат на окружности. Тогда, очевидно, диаметр окружности будет диагональю данного прямоугольника. Согласно условию, длины его сторон образуют золотую пропорцию. Это означает, что [latex]\frac { a }{ b } =\phi [/latex], где [latex]a[/latex] — длина большей стороны прямоугольника, [latex]b[/latex] — длина его меньшей стороны, а [latex]\phi=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } [/latex]. Отсюда [latex]a=b\cdot \phi[/latex]. По теореме Пифагора, [latex]{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ d }^{ 2 }[/latex]. Путём подстановки из предыдущего выражения и простых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления длины меньшей стороны: [latex]b=d\cdot \sqrt { \frac { 1 }{ { \phi }^{ 2 }+1 } } [/latex].
Сначала для удобства находим значение [latex]\phi[/latex], затем — по указанным формулам длины сторон прямоугольника.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

Related Images:

Похожее

5 thoughts on “ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга”

Очень хорошо получилось для первой работы. Конечно, нужно немного подправить.
— У Вас описка в формуле теоремы Пифагора.
— SVG чертёж лучше делать в текстовом редакторе, предварительно рассчитав на листике бумаги координаты всех пяти точек. Это всего десять чисел. После этого останется записать команды рисования одной окружности и пяти отрезков (или одной ломанной). Тогда и код рисунка будет в сотню раз короче, и не будет таких странностей, когда диагональ не попадает в вершину, а вершина не попадает на окружность. Да! Буквы нужно делать в курсиве (наклонными), тогда они будут выглядеть, так как в тексте. Ну и заодно уж откорректируйте размер, чтобы не было большого пустого поля снизу.

Эммануил Прокопов says: 26/09/2016 at 18:22

Ваши замечания были учтены.

Молодец! Очень хорошо. Но пока не идеально.
— Вынесите квадрат из под корня в формуле, которую вывели.
— Уберите точку в названии.
— __trashed-2 не самое удачное название для постоянной ссылки. Т.е. можно так и оставить, но лучше исправить.
— окружность вплотную примыкает к границам рисунка — стоит сдвинуть всё на десяток пикселей вниз и вправо. Т.е. можно так и оставить, но лучше исправить.

Эммануил Прокопов says: 27/09/2016 at 23:29

Спасибо. Всё сделано.

Хорошо. Молодец! Работа зачтена.
Только, пожалуйста, извлеките корень из единицы (т.е. упростите дальше свою формулу), а то как-то странновато выглядит.