[Страница в стадии написания] Задача изучить циклические вычисления и некоторые особенности работы с плавающей точкой на важных для прикладного математика примерах применения разностных схем. Полноценное изучение самого численного дифференцирования конечно же будет проходить в курсе численных методов.

Пока читаем чужие материалы и придумываем свои:

• От физиков (проф. Виктор Задков)
• От математиков (А.Н.Пакулина)

План

1. Выбираем функцию, производную которой точно знаем.
2. Учимся табулировать функцию.
3. Ещё один столбец таблицы с аппроксимацией производной левыми или правыми конечными разностями
4. Учимся формировать выходные данные в формате электронных таблиц (или какого-либо математического пакета). Рисуем график.
5. Оцениваем погрешность как разность между приближённым и точным значением производной
6. Считаем среднеквадратичное отклонение
7. Варьируем величину шага, наблюдаем за изменением погрешности
8. Экспериментально находим «оптимальный» шаг, когда погрешность метода уже невелика, а ошибка округления ещё невелика
9. Добавляем столбец с центральными разностями
10. Строим графики изменения среднеквадратичного отклонения на некотором интервале для всех (можно только левые/правые и центральные) рассмотренных методов (лучше в зависимости от числа точек разбиения отрезка). Замечаем, что погрешность центральных разностей убывает квадратично [latex]\left(\frac{1}{n^{2}} \right)[/latex], а левых/правых — линейно [latex]\left(\frac{1}{n} \right)[/latex].

Для студентов, которые быстро справляются с материалом, предлагаем к рассмотрению конечные разности более высоких порядков и/или вторую производную. Студенты, которые работают в более медленном темпе успевают освоить только первые 6 пунктов плана.

Related Images: