Псевдо строчная таблица

12/07/2018 by Костя Григорян

Задача

В тридесятом государстве объявлено новое соревнование. Каждому участнику дается лист бумаги, ширина которого строго равна одному магическому метру, на котором надо начертить таблицу, имеющую размер $m \times n$. При этом для каждой ячейки таблицы указана минимальная площадь, которую должна эта ячейка занимать. Все строки таблицы равны между собой. Задача участников — начертить таблицу наименьшей высоты. Алиса снова очень хочет победить, но она все еще плохо знает математику, поэтому она просит Вас помочь ей в этом непростом деле.

Входные данные

Первая строка содержит два натуральных числа $m$ и $n$, $(1 \leqslant m,n \leqslant 100).$ Далее идут $m$ строк содержащие по $n$ натуральных чисел — $s_1, s_2, \cdots , s_{n-1}, s_n$ — минимальные площади каждой ячейки $(1 \leqslant s_i \leqslant 100).$

Выходные данные

Вывести минимальную высоту таблицы.

Тесты

$2 \ 3$	$12$
$1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 2 \ 3$
$1 \ 3$	$10$
$2 \ 3 \ 5$
$4 \ 4$	$96$
$3 \ 5 \ 7 \ 9 \\ 3 \ 5 \ 7 \ 9 \\ 3 \ 5 \ 7 \ 9 \\ 3 \ 5 \ 7 \ 9$
$3 \ 1$	$6$
$2 \\ 2 \\ 2$
$5 \ 3$	$430$
$46 \ 28 \ 12 \\ 46 \ 28 \ 12 \\ 46 \ 28 \ 12 \\ 46 \ 28 \ 12 \\ 46 \ 28 \ 12$
$2 \ 6$	$216$
$7 \ 32 \ 3 \ 23 \ 12 \ 31 \\ 7 \ 32 \ 3 \ 23 \ 12 \ 31$
$7 \ 5$	$945$
$5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78 \\ 5 \ 21 \ 23 \ 8 \ 78$
$1 \ 1$	$5$
$5$
$3 \ 7$	$210$
$10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \\ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \\ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10$
$2 \ 2$	$202$
$100 \ 1 \\ 100 \ 1$

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int n, m;
    cin >> m >> n;
    long long s[m][n], h=0;
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            cin >> s[i][j];
        }
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        h+=s[0][i];
    }
    cout << m*h;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n, m;

cin >> m >> n;

long long s[m][n], h=0;

for(int i=0; i<m; i++)

{

for(int j=0; j<n; j++)

{

cin >> s[i][j];

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

h+=s[0][i];

}

cout << m*h;

return 0;

}

Решение задачи

Так как все строки равны между собой, тогда решение задачи состоит в том, чтобы разбить таблицу на строки размером $1 \times n$ и найти их минимальную высоту. Как находить высоту $h$ для каждой такой строки было показано тут. Тогда минимальная высота всей таблицы равна $m \cdot h.$

Ссылки

Код решения

Related Images:

И опять «низкая» таблица

12/07/2018 by Кирилл Волков

Задача

В тридевятом государстве новое соревнование. Организаторы поняли, что предыдущая задача «Низкая таблица» была слишком простой и решили усложнить жизнь нашей Аленушке. Она совсем растерялась и снова умоляет Вас о помощи. Итак, вот новое условие: каждому участнику дается лист бумаги, ширина которого строго равна одному магическому метру, на котором надо начертить таблицу, состоящую из $n$ строк и $n$ столбцов. В каждой строке и столбце выбрано по одной ячейке, для которой указана минимальная площадь, которую должна занимать эта ячейка — $S_i$ для ячейки, расположенной в $i$-ой строке. Остальные могут иметь площадь $0.$ Задача участников аналогична предыдущей — начертить таблицу наименьшей высоты.

Входные данные

В первой строке содержится единственное натуральное число $n \leqslant 20.$
Во второй строке содержатся $n$ натуральных чисел $S_{1}, \ldots, S_{n}$, не превышающие $10^{4}.$

Выходные данные

Минимальная высота таблицы в магических миллиметрах, округленная до ближайшего меньшего целого.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 1 2 3	17191
19 2899 338 8846 5896 3325 9199 6493 211 7878 6083 2074 8493 2889 3743 133 5725 9453 7890 3594	1548340398
18 3823 5708 1356 9979 8801 5310 2123 4575 566 5039 9367 26 1966 6540 1514 7193 7667 994	1252560358
8 8283 8769 3568 869 8285 4494 7185 4519	340953967
9 6375 3059 6206 4221 6027 2064 6278 1347 996	301905233
17 2765 8226 4472 1139 9080 675 3712 7735 9566 223 8899 9716 6594 9631 8871 6176 313	1414903854
10 2654 7458 2284 8767 6061 1149 7243 607 757 8532	385237635
6 6429 9121 9490 7035 6352 2021	231968881
8 52 6380 8169 5689 367 2403 3112 2850	185108459
2 8063 3128	21235115
9 9226 7811 4279 68 5976 1418 9721 6784 8580	418145363
13 8987 3714 247 679 1416 3489 1501 7654 2164 9101 7347 4043 3289	591377417
18 9349 9854 4308 1799 1501 8647 6300 9379 1123 7369 1164 3083 1207 2754 2933 1051 8566 4016	1324052855
3 1311 2984 9564	35581065
16 3460 6135 8911 5656 5496 5463 9566 8473 7575 7444 2717 8241 9868 6698 849 7118	1576424119
15 2264 4988 4454 726 17 9279 422 7916 698 5780 2517 9352 6291 2954 4775	763779068
10 3625 7189 773 7283 2952 7865 588 1670 1013 2982	305484098
18 2741 2630 4163 4926 9431 2212 6978 1607 9489 6746 4947 3333 3144 4809 3352 207 1919 1918	1207862952
5 4320 8413 1175 4527 1519	88794894
6 9534 5380 2500 683 4281 4803	145815522
14 1458 1341 6248 8840 8877 6891 409 5853 6726 6401 4932 9007 5710 745	905996755

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <climits>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    double sqrtOfHeight = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int square;
        cin >> square;
        sqrtOfHeight +=  sqrt(square);
    }
    cout << (unsigned long long) (1000 * sqrtOfHeight * sqrtOfHeight);
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <climits>

using namespace std;

int main(){

int n;

cin >> n;

double sqrtOfHeight = 0;

for(int i = 0; i < n; i++){

int square;

cin >> square;

sqrtOfHeight += sqrt(square);

}

cout << (unsigned long long) (1000 * sqrtOfHeight * sqrtOfHeight);

return 0;

}

Решение задачи

Поменяем местами строки таблицы так, чтобы ячейки, для которых указана минимальная площадь, лежали на главной диагонали. От этого не изменится ни ширина, ни высота таблицы. Обозначим эти ячейки $S_{ii}$ для ячейки, лежащей на пересечении $i$-ой строки и $i$-ого столбца.
Докажем, что минимальная площадь указанной в условии таблицы $S = \left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{nn}} \right )^2.$ Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции. Случай при $n=2$ был доказан здесь.
Предположение индукции. Пусть утверждение верно $\forall n \leq k, \ k \geq 2.$
Шаг индукции. Докажем, что утверждение верно для $n = k+1.$ Рассмотрим подтаблицу $T_1$ нашей таблицы $T$, которая состоит из первых $k$ столбцов и $k$ строк исходной таблицы. По предположени индукции ее минимальная площадь $S_{T_1} = \left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}} \right )^2.$ Теперь можем рассматривать таблицу $T$ как таблицу, состоящую из двух строк и двух столбцов, так, что таблица $T_1$ будет верхней левой ячейкой. Тогда, учитывая утверждение, доказанное в базе индукции находим минимальную площать таблицы $T$ $$\begin{multline}S_{T} = \left (\sqrt{S_{T_1}}+\sqrt{S_{k+1k+1}} \right ) ^ 2 = \\ = \left (\sqrt{\left (\sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}} \right )^2}+\sqrt{S_{k+1k+1}} \right ) ^ 2 = \\ = \left ( \sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{kk}}+\sqrt{S_{k+1k+1}}\right )^2.\end{multline}$$ Что и требовалось доказать. Заметим, что для тривиального случая $n = 1$ формула также остается в силе. Пусть $h$ высота таблицы, а $l$ — ее ширина. Учитывая, что по условию $l = 1,$ а $S = hl,$ находим, что минимальное значение высоты таблицы $h_{min} = \left ( \sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} + \ldots + \sqrt{S_{nn}}\right )^2.$

Ссылки

Код решения на Ideone

Related Images:

Строчная таблица

11/07/2018 by Костя Григорян

Задача

В тридесятом государстве объявлено соревнование. Каждому участнику дается лист бумаги, ширина которого строго равна одному магическому метру, на котором надо начертить таблицу, имеющую размер $1 \times n$. При этом для каждой ячейки таблицы указана минимальная площадь, которую должна эта ячейка занимать. Задача участников — начертить таблицу наименьшей высоты и вычислить ширину каждой ячейки. Алиса очень хочет победить, но она плохо знает математику, поэтому она просит Вас помочь ей в этом непростом деле.

Входные данные

Первая строка содержит натуральное число $n, \ (1 \leqslant n \leqslant 100).$ Вторая строка содержит $n$ натуральных чисел — $s_1, s_2, \cdots , s_{n-1}, s_n$ — минимальные площади каждой ячейки $(1 \leqslant s_i \leqslant 100).$

Выходные данные

Вывести ширину каждой ячейки, учитывая, что высота таблицы должна быть минимальной, округлив ответ до четвертого знака после запятой.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
$3$	$0.1333 \ 0.3333 \ 0.5333$
$2 \ 5 \ 8$
$6$	$0.0736 \ 0.2638 \ 0.3313 \ 0.0736 \ 0.1963 \ 0.0613$
$12 \ 43 \ 54 \ 12 \ 32 \ 10$
$2$	$0.3333 \ 0.6667$
$1 \ 2$
$3$	$0.3333 \ 0.3333 \ 0.3333$
$10 \ 10 \ 10$
$7$	$0.1250 \ 0.1250 \ 0.1250 \ 0.1250 \ 0.1250 \ 0.1250 \ 0.2500$
$1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 2$
$1$	$1.0000$
$2$
$4$	$0.5102 \ 0.1735 \ 0.2653 \ 0.0510$
$100 \ 34 \ 52 \ 10$
$2$	$0.9901 \ 0.0099$
$100 \ 1$
$6$	$0.0702 \ 0.2515 \ 0.3158 \ 0.0351 \ 0.1287 \ 0.1988$
$12 \ 43 \ 54 \ 6 \ 22 \ 34$
$2$	$0.5000 \ 0.5000$
$2 \ 2$
$10$	$0.0182 \ 0.0364 \ 0.0545 \ 0.0727 \ 0.0909 \ 0.1091 \ 0.1273 \ 0.1455 \ 0.1636 \ 0.1818$
$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 10$
$3$	$0.0098 \ 0.9804 \ 0.0098$
$1 \ 100 \ 1$

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    long double s[n], h=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        cin >> s[i];
        h+=s[i];
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        cout.precision(4);
        cout << fixed << s[i]/h << " ";
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

long double s[n], h=0;

for(int i=0; i<n; i++)

{

cin >> s[i];

h+=s[i];

}

for(int i=0; i<n; i++)

{

cout.precision(4);

cout << fixed << s[i]/h << " ";

}

return 0;

}

Решение задачи

Пусть $h=\displaystyle\frac{1}{\gamma}$ — высота таблицы, а $x_1, \ x_2, \ \cdots, \ x_{n-1}, \ 1-x_1-x_2- \cdots -x_{n-1}$ – ширина каждой клетки. Тогда $\displaystyle\frac{x_1}{\gamma} \geqslant s_1, \ \displaystyle\frac{x_2}{\gamma} \geqslant s_2, \ \cdots, \ \displaystyle\frac{x_{n-1}}{\gamma} \geqslant s_{n-1}, \ \displaystyle\frac{1-x_1-x_2- \cdots -x_{n-1}}{\gamma} \geqslant s_n.$ Получаем $x_1 \geqslant s_1\gamma, \ x_2 \geqslant s_2\gamma, \ \cdots, \ x_{n-1} \geqslant s_{n-1}\gamma, \ 1-x_1-x_2- \cdots -x_{n-1} \geqslant s_n\gamma.$
Сделаем из неравенств равенства: $x_1=s_1\gamma+\varepsilon_1, \ x_2=s_2\gamma+\varepsilon_2, \ \cdots, \ x_{n-1}=s_{n-1}\gamma+\varepsilon_{n-1}.$
Имеем
$1-(s_1\gamma+\varepsilon_1)-(s_2\gamma+\varepsilon_2)- \cdots -(s_{n-1}\gamma+\varepsilon_{n-1}) \geqslant s_n\gamma \\
1 \geqslant (s_1+s_2+ \cdots +s_{n-1}+s_n)\gamma+\varepsilon_1+\varepsilon_2+ \cdots +\varepsilon_{n-1}
\\
\gamma \leqslant \displaystyle\frac{1-\varepsilon_1-\varepsilon_2- \cdots -\varepsilon_{n-1}}{s_1+s_2+ \cdots +s_{n-1}+s_n}.$
Максимальное значение $\gamma$ достигается при $\varepsilon_1=\varepsilon_2= \cdots =\varepsilon_{n-1}=0.$ Следовательно $\gamma \leqslant \displaystyle\frac{1}{s_1+s_2+ \cdots +s_{n-1}+s_n},$ а $h=s_1+s_2+ \cdots +s_{n-1}+s_n.$ Тогда ширина каждой ячейки будет равняться $\displaystyle\frac{s_i}{h}$

Ссылки

Код решения

Related Images:

«Низкая» таблица

11/07/2018 by Кирилл Волков

Задача

В тридевятом государстве объявлено соревнование. Каждому участнику дается лист бумаги, ширина которого строго равна одному магическому метру, на котором надо начертить таблицу, состоящую из двух столбцов и двух строк. При этом для каждой ячейки таблицы указана минимальная площадь, которую должна эта ячейка занимать. Известно, что для правой верхней и левой нижней ячейки это значение равно $0.$ Но вот незадача: значения минимальных площадей для левой верхней — $S_{11}$ и правой нижней — $S_{22}$ ячеек могут быть какими угодно (в пределах разумного, конечно, хотя кто их этих сказочных персонажей разберет). Задача участников — начертить таблицу наименьшей высоты. Аленушка очень хочет победить, но она плохо знает математику, поэтому просит Вас помочь ей в этом непростом деле.

Входные данные

В единственной строке содержатся два натуральных числа: $S_{11}, \ S_{22},$ не превышающие $10^{14}.$

Выходные данные

Минимальная высота таблицы в магических миллиметрах, округленная до ближайшего меньшего целого.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
1 2	5828
466 1194	3151849
8067 2659	19988861
5125 6755	23647646
3317 2652	11900840
25 9293	10282002
7081 7189	10282002
8192 1042	15077308
6795 1568	14891264
680 4510	8692456
9107 4760	27035040
7095 7846	29863113
6142 3794	19590583
9347 3639	24650258
8495 5394	27427394
2179 8718	19613999
1187 778	3886963
71 5592	6923209
100000000000000 100000000000000	400000000000000000

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main(){
    unsigned long long s1;
    unsigned long long s2;
    cin >> s1 >> s2;
    double sqrtOfHeight = sqrt(s1) + sqrt(s2);
    cout << (unsigned long long) (1000 * sqrtOfHeight * sqrtOfHeight);
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

unsigned long long s1;

unsigned long long s2;

cin >> s1 >> s2;

double sqrtOfHeight = sqrt(s1) + sqrt(s2);

cout << (unsigned long long) (1000 * sqrtOfHeight * sqrtOfHeight);

}

Решение задачи

Пусть $h$ и $l$ — высота и ширина таблицы соответственно. Тогда ее площадь $S=hl.$ В силу того, что $l=1,$ задача о нахождении минимальной высоты таблицы сводится к нахождению ее минимальной площади. Обозначим высоту $i$-ой строки $h_i$, ширину $j$-го столбца $l_j$, а площадь ячейки таблицы, находящейся на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца — $S_{ij}.$ Тогда $$\begin{multline}S = S_{11} +S_{12}+S_{21}+S_{22}=S_{11}+l_2 h_1+l_1 h_2+S_{22}= \\ =S_{11}+S_{11} \frac{l_2}{l_1} +S_{22} \frac{l_1}{l_2}+S_{22} = S_{11}+S_{11} y+S_{22} y^{-1}+S_{22},\end{multline}$$ где $y=\frac{l_2}{l_1}.$ Зафиксируем теперь $S_{11}$ и $S_{22}$ и рассмотрим функцию площади $S \left( y \right ) = S_{11}+S_{11} y+S_{22} y^{-1}+S_{22}.$ Найдем наименьшее значение данной функции. $\frac{\mathrm{d} S \left( y \right )}{\mathrm{d} y} = S_{11}-\frac{S_{22}}{y^{2}}.$ Приравнивая производную функции к нулю, находим, что функция имеет единственную стационарную точку $y_{0} = \sqrt{\frac{S_{22}}{S_{11}}}.$ Легко убедиться, что $y_0$ – точка глобального минимума, тогда $\min\limits_{y \in D\left(S\right)}S\left( y \right ) = S \left(y_0\right) = S_{11} + S_{22} + 2 \cdot \sqrt{S_{11} \cdot S_{22}} = \left( \sqrt{S_{11}} + \sqrt{S_{22}} \right )^2.$ Очевидно теперь, что минимальное значение площадь таблицы будет принимать при $S_{11}={S_{11}}’, \ S_{22}={S_{22}}’$ где ${S_{11}}’, \ {S_{22}}’$ – данные в условии минимальные значения площадей соответствующих ячеек. Отсюда имеем минимальное значение высоты таблицы $h_{min}=\left( \sqrt{{S_{11}}’} + \sqrt{{S_{22}}’} \right )^2.$

Ссылки

Код решения на Ideone

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: Высота таблицы

Псевдо строчная таблица

Задача

Входные данные

Выходные данные

Тесты

Код программы

Решение задачи

Ссылки

Related Images:

И опять «низкая» таблица

Задача

Входные данные

Выходные данные

Тесты

Код программы

Решение задачи

Ссылки

Related Images:

Строчная таблица

Задача

Входные данные

Выходные данные

Тесты

Код программы

Решение задачи

Ссылки

Related Images:

«Низкая» таблица

Задача

Входные данные

Выходные данные

Тесты

Код программы

Решение задачи

Ссылки

Related Images: