Задача

Найти объём тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex].

Пояснительный рисунок

Пояснительный рисунок к ML28

Входные данные

Координаты векторов [latex]\vec {a}[/latex], [latex]\vec {b}[/latex], [latex]\vec {c}[/latex].

Выходные данные

Объём тетраэдра.

Тесты

Входные данные									Выходные данные
[latex]x_a[/latex]	[latex]y_a[/latex]	[latex]z_a[/latex]	[latex]x_b[/latex]	[latex]y_b[/latex]	[latex]z_b[/latex]	[latex]x_c[/latex]	[latex]y_c[/latex]	[latex]z_c[/latex]	[latex]V[/latex]
0	0	1	0	1	0	1	0	0	0.166667
3	6	3	1	3	-2	2	2	2	3
0	0	0	1	3	-2	2	2	2	0

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    double Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz, V;
    cin >> Ax >> Ay >> Az >> Bx >> By >> Bz >> Cx >> Cy >> Cz; //Считывание координат векторов.
    V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0; //Подсчитывание объёма.
    if (V < 0) V *= -1; //Определитель матрицы может быть отрицательным числом, объём - нет. Поэтому если объём отрицательный, умножаем его на -1.
    cout << V; //Вывод объёма.
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

double Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz, V;

cin >> Ax >> Ay >> Az >> Bx >> By >> Bz >> Cx >> Cy >> Cz; //Считывание координат векторов.

V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0; //Подсчитывание объёма.

if (V < 0) V *= -1; //Определитель матрицы может быть отрицательным числом, объём - нет. Поэтому если объём отрицательный, умножаем его на -1.

cout << V; //Вывод объёма.

}

import java.util.*;

public class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double
            Ax = in.nextDouble(),
            Ay = in.nextDouble(),
            Az = in.nextDouble(),
            Bx = in.nextDouble(),
            By = in.nextDouble(),
            Bz = in.nextDouble(),
            Cx = in.nextDouble(),
            Cy = in.nextDouble(),
            Cz = in.nextDouble();
        double V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0;
        if (V < 0) V *= -1;
        System.out.print(V);
    }
}

import java.util.*;

public class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double

Ax = in.nextDouble(),

Ay = in.nextDouble(),

Az = in.nextDouble(),

Bx = in.nextDouble(),

By = in.nextDouble(),

Bz = in.nextDouble(),

Cx = in.nextDouble(),

Cy = in.nextDouble(),

Cz = in.nextDouble();

double V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0;

if (V < 0) V *= -1;

System.out.print(V);

}

Решение задачи

Так как тетраэдр построен на векторах [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex], для данной задачи оптимальным решением будет использовать следующие формулы:

[latex]V = \frac {|\Delta|} {6}[/latex], где [latex]V[/latex] — объём тетраэдра, а [latex]\Delta[/latex] — определитель матрицы.
[latex] \Delta =
\begin{vmatrix}
x_a & y_a & z_a \\
x_b & y_b & z_b \\
x_c & y_c & z_c
\end{vmatrix}
= x_a \left(y_b z_c-z_b y_c \right)-x_b \left( y_a z_c-z_a y_c \right)+x_c \left( y_a z_b-z_a y_b \right)
[/latex].

Итоги:

если значение определителя матрицы равно нулю, то либо некоторые из заданных векторов коллинеарны, либо нулевые, либо все они лежат в одной плоскости. Во всех этих случаях тетраэдр не может существовать, и программа выведет [latex]0[/latex];
если значение определителя не равно нулю, то программа вычислит объём тетраэдра. В случае, если определитель примет отрицательное значение, программа домножит значение объёма на [latex]-1[/latex], в результате чего оно станет положительным.

Ссылки

Related Images:

Тетраэдр

Задача. Найти площадь полной поверхности тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)[/latex], [latex] \overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)[/latex].
Тесты:

№	Вход									Выход
№	[latex]a_x[/latex]	[latex]a_y[/latex]	[latex]a_z[/latex]	[latex]b_x[/latex]	[latex]b_y[/latex]	[latex]b_z[/latex]	[latex]c_x[/latex]	[latex]c_y[/latex]	[latex]c_z[/latex]	[latex]S[/latex]
1	-3	3	3	3	-3	3	3	3	-3	69.3607
2	-1	1	1	1	-1	1	1	1	-1	7.70674
3	-2	2	2	2	-2	2	2	2	-2	30.827
4	0	0	1	1	0	0	1	1	-1	2.07313

Код на C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() {
    double ax, ay, az, bx, by, bz, cx, cy, cz;//обозначим переменные
    cin >> ax >> ay >> az >> bx >> by >> bz >> cx >> cy >> cz;//введём переменные
    double A1A2 = sqrt(ax*ax+ay*ay+az*az); //вычислим длину ребра А1A2
    double A1A3 = sqrt(bx*bx+by*by+bz*bz);//вычислим длину ребра А1A3
    double cosa =(ax*bz+ay*by+az*bz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A3
    double sina =sqrt(1-cosa*cosa);//вычислим их синус
    double s1 = 0.5*A1A2*A1A3*sina;//найдём площадь поверхности
    double A1A4 = sqrt(cx*cx+cy*cy+cz*cz);//вычислим длину ребра А1A4
    double cosb =(ax*cx+ay*cy+az*cz)/(A1A2*A1A4);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A4
    double sinb =sqrt(1-cosb*cosb);//вычислим их синус
    double s2 = 0.5*A1A2*A1A4*sinb;//найдём площадь поверхности
    double cosc =(bx*cx+by*cy+bz*cz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A3 и А1A4
    double sinc =sqrt(1-cosc*cosc);//вычислим их синус
    double s3 = 0.5*A1A3*A1A4*sinc;//найдём площадь поверхности
    double A2A3 = sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz));//вычислим длину ребра А2A3
    double A2A4 = sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay)+(cz-az)*(cz-az));//вычислим длину ребра А2A4
    double cosd =((cx-bx)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-by)+(cz-az)*(cz-bz))/(A2A3*A2A4);//вычислим косинус угла между ребрами А2A3 и А2A4
    double sind =sqrt(1-cosd*cosd);//вычислим их синус
    double s4 = 0.5*A2A3*A2A4*sind;//найдём площадь поверхности
    double s = s1+s2+s3+s4;//найдём площадь полной поверхности
    cout << s ;//выведем её результат
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double ax, ay, az, bx, by, bz, cx, cy, cz;//обозначим переменные

cin >> ax >> ay >> az >> bx >> by >> bz >> cx >> cy >> cz;//введём переменные

double A1A2 = sqrt(ax*ax+ay*ay+az*az); //вычислим длину ребра А1A2

double A1A3 = sqrt(bx*bx+by*by+bz*bz);//вычислим длину ребра А1A3

double cosa =(ax*bz+ay*by+az*bz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A3

double sina =sqrt(1-cosa*cosa);//вычислим их синус

double s1 = 0.5*A1A2*A1A3*sina;//найдём площадь поверхности

double A1A4 = sqrt(cx*cx+cy*cy+cz*cz);//вычислим длину ребра А1A4

double cosb =(ax*cx+ay*cy+az*cz)/(A1A2*A1A4);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A4

double sinb =sqrt(1-cosb*cosb);//вычислим их синус

double s2 = 0.5*A1A2*A1A4*sinb;//найдём площадь поверхности

double cosc =(bx*cx+by*cy+bz*cz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A3 и А1A4

double sinc =sqrt(1-cosc*cosc);//вычислим их синус

double s3 = 0.5*A1A3*A1A4*sinc;//найдём площадь поверхности

double A2A3 = sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz));//вычислим длину ребра А2A3

double A2A4 = sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay)+(cz-az)*(cz-az));//вычислим длину ребра А2A4

double cosd =((cx-bx)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-by)+(cz-az)*(cz-bz))/(A2A3*A2A4);//вычислим косинус угла между ребрами А2A3 и А2A4

double sind =sqrt(1-cosd*cosd);//вычислим их синус

double s4 = 0.5*A2A3*A2A4*sind;//найдём площадь поверхности

double s = s1+s2+s3+s4;//найдём площадь полной поверхности

cout << s ;//выведем её результат

return 0;

}

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Main{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{
                Scanner in = new Scanner(System.in);
                PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
                double ax = in.nextDouble();
                double ay = in.nextDouble();
                double az = in.nextDouble();
                double bx = in.nextDouble();
                double by = in.nextDouble();
                double bz = in.nextDouble();
                double cx = in.nextDouble();
                double cy = in.nextDouble();
                double cz = in.nextDouble();
                double A1A2 = Math.sqrt(ax*ax+ay*ay+az*az); //вычислим длину ребра А1A2
                double A1A3 = Math.sqrt(bx*bx+by*by+bz*bz);//вычислим длину ребра А1A3
                double cosa =(ax*bz+ay*by+az*bz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A3
                double sina = Math.sqrt(1-cosa*cosa);//вычислим их синус
                double s1 = 0.5*A1A2*A1A3*sina;//найдём площадь поверхности
                double A1A4 = Math.sqrt(cx*cx+cy*cy+cz*cz);//вычислим длину ребра А1A4
                double cosb =(ax*cx+ay*cy+az*cz)/(A1A2*A1A4);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A4
                double sinb = Math.sqrt(1-cosb*cosb);//вычислим их синус
                double s2 = 0.5*A1A2*A1A4*sinb;//найдём площадь поверхности
                double cosc =(bx*cx+by*cy+bz*cz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A3 и А1A4
                double sinc = Math.sqrt(1-cosc*cosc);//вычислим их синус
                double s3 = 0.5*A1A3*A1A4*sinc;//найдём площадь поверхности
                double A2A3 = Math.sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz));//вычислим длину ребра А2A3
                double A2A4 = Math.sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay)+(cz-az)*(cz-az));//вычислим длину ребра А2A4
                double cosd =((cx-bx)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-by)+(cz-az)*(cz-bz))/(A2A3*A2A4);//вычислим косинус угла между ребрами А2A3 и А2A4
                double sind = Math.sqrt(1-cosd*cosd);//вычислим их синус
                double s4 = 0.5*A2A3*A2A4*sind;//найдём площадь поверхности
                double s = s1+s2+s3+s4;//найдём площадь полной поверхности
                System.out.println(s) ;//выведем её результат
        }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

double ax = in.nextDouble();

double ay = in.nextDouble();

double az = in.nextDouble();

double bx = in.nextDouble();

double by = in.nextDouble();

double bz = in.nextDouble();

double cx = in.nextDouble();

double cy = in.nextDouble();

double cz = in.nextDouble();

double A1A2 = Math.sqrt(ax*ax+ay*ay+az*az); //вычислим длину ребра А1A2

double A1A3 = Math.sqrt(bx*bx+by*by+bz*bz);//вычислим длину ребра А1A3

double cosa =(ax*bz+ay*by+az*bz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A3

double sina = Math.sqrt(1-cosa*cosa);//вычислим их синус

double s1 = 0.5*A1A2*A1A3*sina;//найдём площадь поверхности

double A1A4 = Math.sqrt(cx*cx+cy*cy+cz*cz);//вычислим длину ребра А1A4

double cosb =(ax*cx+ay*cy+az*cz)/(A1A2*A1A4);//вычислим косинус угла между ребрами А1A2 и А1A4

double sinb = Math.sqrt(1-cosb*cosb);//вычислим их синус

double s2 = 0.5*A1A2*A1A4*sinb;//найдём площадь поверхности

double cosc =(bx*cx+by*cy+bz*cz)/(A1A2*A1A3);//вычислим косинус угла между ребрами А1A3 и А1A4

double sinc = Math.sqrt(1-cosc*cosc);//вычислим их синус

double s3 = 0.5*A1A3*A1A4*sinc;//найдём площадь поверхности

double A2A3 = Math.sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz));//вычислим длину ребра А2A3

double A2A4 = Math.sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay)+(cz-az)*(cz-az));//вычислим длину ребра А2A4

double cosd =((cx-bx)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-by)+(cz-az)*(cz-bz))/(A2A3*A2A4);//вычислим косинус угла между ребрами А2A3 и А2A4

double sind = Math.sqrt(1-cosd*cosd);//вычислим их синус

double s4 = 0.5*A2A3*A2A4*sind;//найдём площадь поверхности

double s = s1+s2+s3+s4;//найдём площадь полной поверхности

System.out.println(s) ;//выведем её результат

}

Решение:
Координаты векторов находим по формуле:
[latex] \overrightarrow{A_2A_4}=(c_x-a_x,c_y-a_y,c_z-a_z) [/latex] здесь [latex] a_x, a_y, a_z[/latex] — координаты точки [latex]A_2[/latex]; [latex]c_x, c_y, c_z[/latex] — координаты точки [latex]A_4[/latex];
Таким же образом находим остальные координаты векторов.
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора [latex]\overrightarrow{a}(a_x;a_y;a_z)[/latex] выражается через его координаты формулой:
[latex] \left| \overrightarrow{A_1A_2} \right| =\sqrt { ({ a_x) }^{ 2 }+({ a_y) }^{ 2 }+({ a_z) }^{ 2 } } [/latex];
Таким же способом находим другие модули векторов.
Площадь грани можно найти по формуле:
[latex] s_1=\frac { 1 }{ 2 } \vec{A_1} \times \vec{A_2} \sin \angle{A_2A_3} [/latex] где
[latex] \sin \angle{ A_2A_3 =\sqrt { 1-{ (\cos \angle{ A_2A_3) } }^{ 2 } } } [/latex] Так же будем находить и другие.
Найдем угол между ребрами [latex] A_1A_2(a_x;a_y;a_z) [/latex] и [latex] A_1A_3(b_x;b_y;b_z) [/latex]:
[latex] \cos \angle{ A_2A_3 =\frac { a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z }{ \left| A_2A_3 \right| } } [/latex] Так мы найдём и другие 3 площади граней.
Площадь полной поверхности.
[latex] s=s_1+s_2+s_3+s_4. [/latex]

Ссылки:

Онлайн компилятор ideone C++ .
Онлайн компилятор ideone Java .
Онлайн калькулятор .