Задача
Задача из журнала «Квант» №3, 1974 год (Задача составлена на основе задачи Гуревича)
Рассмотрим последовательности, состоящие из [latex]n[/latex] цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует классов эквивалентности?
Входные данные
[latex]n[/latex] — целове число, [latex]k[/latex] — целое число ([latex]k \neq 0[/latex], [latex]k \leq n[/latex]).
Выходные данные
[latex]m[/latex] — целое число, неполное частное от деления, [latex]q[/latex] — целое число, остаток от деления, [latex]N[/latex] — классы эквивалентности.
Тесты
| [latex]n[/latex] |
[latex]k[/latex] |
[latex]m[/latex] |
[latex]q[/latex] |
[latex]N[/latex] |
| 4 |
3 |
1 |
1 |
12 |
| 8 |
4 |
2 |
0 |
81 |
Код программы
Код программы на С++
|
|
#include <iostream> using namespace std; long pow (long x, int n) { return (n == 0) ? 1 : (n % 2 == 0) ? pow(x*x, n/2) : pow(x, n-1)*x; } int main() { int n, m, k, q, N; cin >> n >> k; m=n/k; q=n%k; N=pow((m+1),k-q)*pow((m+2),q); cout << m << " " << q << " " << N << endl; return 0; } |
Код программы на Java
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
import java.util.*; import java.lang.*; import java.io.*; class Ideone { public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception { int n, k, q, m; double N; Scanner in = new Scanner(System.in); n = in.nextInt(); k = in.nextInt(); m = n/k; q = n%k; N = Math.pow((m+1),k-q) * Math.pow((m+2),q); System.out.println(q + " " + m + " " + N); } public static long pow(long x, int n) { return (n == 0) ? 1 : (n % 2 == 0) ? pow(x*x, n/2) : pow(x, n-1)*x; } } |
Решение
Решим задачу для последовательностей из [latex]3n[/latex] цифр. Чтобы не возникло путаницы, греческими буквами будем обозначать последовательности, а латинскими – элементы последовательностей. Пусть последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из [latex]3n[/latex] цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex]. Разобъем [latex]\alpha[/latex] на три подпоследовательности:
[latex]\alpha_1={\alpha_1,\alpha_4,\alpha_7,\ldots, \alpha_{3k+1},\ldots,\alpha_{3(n-1)+1}}[/latex],
[latex]\alpha_2={\alpha_2, \alpha_5, \alpha_8,\ldots, \alpha_{3k+2},\ldots,\alpha_{3(n-1)+2}}[/latex],
[latex]\alpha_3={\alpha_3, \alpha_6, \alpha_9,\ldots, \alpha_{3k},\ldots,\alpha_{3n}}[/latex].
Такое разбиение будем называть стандартным. Каждая из последовательностей [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] стандартного разбиения состоит из [latex]n[/latex] цифр. Пусть [latex]\beta[/latex] – произвольная последовательностей. Через [latex]|\beta|[/latex] обозначим число единиц в последовательности [latex]\beta[/latex]. Подсчет числа неэквивалентных последовательностей основывается на следующей теореме:
Теорема. Пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]3n[/latex], ([latex]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/latex]) и ([latex]\beta_1,\beta_2,\beta_3[/latex]) – их стандартные разбиения. Для того чтобы последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы подпоследовательности [latex]\alpha_1[/latex] и [latex]\beta_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex] и [latex]\beta_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] и [latex]\beta_3[/latex] содержали одинаковое число единиц соответственно, то есть чтобы выполнялось условие
[latex]|\alpha_1|=|\beta_1|[/latex], [latex]|\alpha_2|=|\beta_2|[/latex], [latex]|\alpha_3|=|\beta_3|[/latex].
Покажем сначала, как на основе этой теоремы подсчитывается число неэквивалентных последовательностей, а затем докажем теорему. В силу теоремы каждый класс эквивалентных последовательностей однозначно определяются упорядоченной тройкой чисел ([latex]|\alpha_1|, |\alpha_2|, |\alpha_3|[/latex]). Эти числа смогут принимать любые значения от 0 до [latex]n[/latex]. Следовательно, число неэквивалентных последовательностей длины [latex]3n[/latex] равно числу различных упорядоченных троек целых чисел от 0 до [latex]n[/latex]. Нетрудно видеть, что число таких троек равно [latex] \left(n+1\right)^{3} [/latex].
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть мы переставили в последовательности [latex]\alpha={\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex] две соседние тройки цифр: [latex]a_k, a_{k+1}, a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+3}, a_{k+4}, a_{k+5}[/latex]. Эту перестановку можно представить следующим образом: сначала поменяли местами цифры [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex], затем поменяли местами цифры [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] и, наконец, поменяли местами цифры [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex]. Число [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex] – соседние цифры одной и той же подпоследовательности стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex]; числа [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] – другой, а числа [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex] – третьей. Таким образом, в каждой из подпоследоваетльностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex] мы пeреставили два соседних члена. Значит, если последовательность [latex]\beta[/latex] получена из последовательности [latex]\alpha[/latex] конечным числом перестановок, то есть, если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны, то подпоследовательности [latex]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\beta[/latex] суть некоторые перестановки подпоследовательностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] соответственно. Отсюда вытекают равенства (1).
Достаточность. Нам надо доказать, что если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]3n[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквиваленты. Удобнее доказывать более общее утверждение: если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]k[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквивалентны. Доказательство будем вести индукцией по [latex]k[/latex].
1) При [latex]k=1[/latex] последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] содержит по одной цифре. Из условия (1) следует, что эти цифры равны, то есть что последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] просто совпадают.
2) Предположим, что в случае, когда [latex]k=p[/latex], утверждение уже доказано. Докажем его при [latex]k=p+1[/latex]. Итак, пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]p+1[/latex] и пусть выполнено соотношение (1). Пусть далее, последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex], а последовательность [latex]\beta[/latex] — из цифр [latex]{\beta_1, \beta_2,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex].
а) если [latex]\alpha_1 = \beta_1[/latex], то рассмотрим последовательности [latex]\alpha\prime={\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex] и [latex]\beta\prime={\beta_2,\beta_3,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex]. Ясно, что последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] удовлетворяют условия (1). А так как длины этих последовательностей равны [latex]p[/latex], то можно воспользоваться индуктивным предположением. Таким образом, последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] эквивалентны, то есть последовательность [latex]\alpha\prime[/latex] несколькими перестановками можно перевести в последовательность [latex]\beta\prime[/latex]. Эти же перестановки переводят [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex]. Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны.
б) Пусть [latex]a_1\neq b_1[/latex], и пусть для определенности [latex]a_1=1[/latex], а [latex]b_1=2[/latex]. Так как [latex]a_1=1[/latex], то [latex]|\alpha|>0[/latex]. Тогда в силу (1) и [latex]|\beta|>0[/latex]. Следовательно, найдется число [latex]q[/latex] такое, что [latex]b_{3q+1} = 1[/latex]. В последовательности [latex]\beta[/latex] поменяем местами соседние тройки цифр [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] и [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3(q-1)+2}, b_{3(q-1)+3}[/latex]. В результате этой перестановки тройка [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] сдвигается на 3 цифры влево. Затем поменяем местами эту тройку с рядом стоящей тройкой цифр [latex]b_{3(q-2)+1}, b_{3(q-2)+2}, b_{3(q-2)+3}[/latex] и так далее; после [latex]q[/latex] перестановок получим последовательность [latex]\beta\prime\prime[/latex], первой цифрой которой будет [latex]b_{3q+1}[/latex], то есть 1. Последовательность [latex]\beta[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] эквивалентны и поэтому, как было доказано выше, удовлетворяют условию (1). Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] удовлетворяют условию (1). Но первые элементы этих последовательностей совпадают. Таким образом, случай б) свелся к уже разобранному случаю а). Теорема доказана.
Следовательно, если [latex]n=mk+q[/latex], где [latex]0<=q<k[/latex], то число классов эквивалентных последовательностей равно [latex] \left(m+1\right)^{k-q}\left(k+1\right)^{q} [/latex].
Ссылки
Условие задачи (стр.40-41)
Решение задачи на сайте Ideone.com (C++)
Решение задачи на сайте Ideone.com (Java)
Related Images:
