# e-olymp 93. Truck driving

Umidsh Izadish is a truck driver and wants to drive from a city to another city while there exists a dedicated straight road between each pair of cities in that country. Amount of consumed fuel is the distance between two cities which is computed from their coordinates. There is a gas station in each city, so Umidsh can refuel the gas container of his truck. Your job is to compute the minimum necessary volume of gas container of Umidsh’s Truck.

## Input data

The first line of input contains an integer, the number of test cases. Following, there are data for test cases. Each test case begins with a line containing one integer, $C$ $(2 ≤ C ≤ 200)$, which is the number of cities. The next $C$ lines each contain two integers $x$, $y$ $(0 ≤ x, y≤ 1000)$ representing the coordinate of one city. First city is the source city and second is the destination city of Umidsh.

## Output data

There should be one line for each test case in output. Each line should contain one floating point number which is the minimum necessary volume of truck’s gas container, printed to three decimals.

## Tests

 Input Output $2$ $2$ $0$ $0$ $3$ $4$ $3$ $17$ $4$ $19$ $4$ $18$ $5$ $5.000$ $1.414$ $1$ $3$ $4$ $5$ $4$ $6$ $4$ $7$ $1.000$ $2$ $4$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $3$ $8$ $9$ $0$ $1$ $14$ $14$ $1.414$ $11.314$ $3$ $2$ $1$ $1$ $1$ $2$ $5$ $8$ $6$ $3$ $3$ $4$ $1$ $7$ $7$ $5$ $0$ $3$ $1$ $1$ $1$ $3$ $2$ $5$ $1.000$ $5.657$ $2.000$

## Solution

We can interpretate the set of the cities as weighted graph, which vertices represent cities and weight of each edge between two vertices is the gas volume required for passing the distance between corresponding cities.
The volume of truck’s gas container depends on the gas volume required for arrival to the each next station of the Umidsh’s way. The maximum between gas volume required to get to the city $A$ and gas volume required to pass the way from the city $A$ to the city $B$ represents the minimum necessary gas volume required to get to the city $B$ through the city $A$. So the volume of truck’s gas container would turn to minimum, when the maximum gas volume required for passing the distance between each two stations of his way would turn to minimum. Thus we could use modified Dijkstra’s algorithm to find the biggest value among the weights of an edges between each two stations of the way between vertice 0 and vertice 1.

# A1038. Дейкстра?

Задача: Имеется $n$ городов. Некоторые из них соединены дорогами известной длины. Вся система дорог задана квадратной матрицей порядка  $n$, элемент $a_{ij}$ которой равен некоторому отрицательному числу, если город $i$ не соединен напрямую дорогой с городом $j$ и равен длине дороги в противном случае latex [/latex].

1. Для 1-го города найти кратчайшие маршруты в остальные города.
2. В предположении, что каждый город соединен напрямую с каждым, найти кратчайший маршрут, начинающийся в 1-м городе и проходящий через все остальные города.

Входные данные:

 4
 -1 2 4 -1 2 -1 1 6 4 1 -1 1 -1 6 1 -1

Выходные данные:

1 > 2 = 2

1 > 3 = 3

1 > 4 = 4

Длина кратчайшей цепи, проходящей через все вершины 4

Ссылка на ideone: http://ideone.com/iXjoLZ

Решение:

Алгоритм: Для решения задачи применим алгоритм Дейкстры. Применяя этот алгоритм мы считаем что у нас нету ребер с отрицательным весом. Если вес ребра отрицательный, то его просто не существует (по условию задачи). Вводим матрицу смежности графа и проверяем является ли граф полным (для задания 2). Если граф является полным, то ищем для каждой вершины инцидентное ребро с минимальным весом и суммируем (задание 2). В цикле каждой вершине присваиваем минимально расстояние до нее от первой вершины и записываем в массив (задание 1).

# e-olimp 4852. Кратчайшее расстояние

Задача

Дан ориентированный граф. Найдите кратчайшее расстояние от вершины x до всех остальных вершин графа.

#### Входные данные

В первой строке содержатся два натуральных числа $n$ и $x$  $\left ( 1\leq n\leq 1000,1\leq x\leq n \right )$ — количество вершин в графе и стартовая вершина соответственно. Далее в $n$ строках по $n$ чисел — матрица смежности графа: в $i$-ой строке на $j$-ом месте стоит $1$, если вершины $i$ и $j$ соединены ребром, и $0$, если ребра между ними нет. На главной диагонали матрицы стоят нули.

#### Выходные данные

Выведите через пробел числа $d_1,d_2,$$\ldots$$,d_i$, где $d_i$ равно$-1$, если путей между $x$ и $i$ нет, в противном случае это минимальное расстояние между $x$ и $i$.

Тесты

 Входные данные Выходные данные 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 6 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 -1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2

Реализация

Засчитанное решение на e-olimp.com

Код на ideone.com

Решение

Для решения данной задачи необходимо применить  алгоритм Дейкстры . А именно, мы храним в массиве текущую длину наиболее короткого пути из заданной вершины во все остальные вершины графа. Положим, что изначально длина такого пути равна бесконечности ( при реализации просто используем достаточно большое число). А длина пути из заданной вершины до самой себя равна нулю. Обозначим, что вершина может быть помечена или не помечена. Изначально все вершины являются не помеченными. Далее выбираем  вершину $v$ с наименьшей длиной пути до заданной вершины и помечаем ее. Тогда просматриваем все ребра, исходящие из вершины $v$. Пусть эти ребра имеют вид  $\left ( v,t_0 \right )$. Тогда для каждой такой вершины $t_0$ пытаемся найти наиболее коротки путь из заданной вершины. После чего снова выбираем еще не помеченную вершину и проделываем вышеописанный алгоритм снова до тех пор, пока не останется не помеченных вершин. Найденные расстояния и будут наименьшими.

# e-olymp 625. Расстояние между вершинами

Задача с сайта e-olimp № 625.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ВЕРШИНАМИ

Дан неориентированный взвешенный граф. Найти вес минимального пути между двумя вершинами.

Входные данные

Первая строка входного файла содержит натуральные числа N, M, S и F (N5000, M100000, 1S, FN, SF) — количество вершин и ребер графа а также номера вершин, длину пути между которыми требуется найти.

Следующие M строк содержат по три натуральных числа bi, ei и wi — номера концов i-ого ребра и его вес соответственно (1bi, eiN, 0wi100000).

Выходные данные

Первая строка должна содержать одно натуральное число — вес минимального пути между вершинами S и F. Во второй строке через пробел выведите вершины на кратчайшем пути из S в F в порядке обхода. Если путь из S в F не существует, выведите -1.

Код программы:

После считывания входных данных создаем три массива. Массив вершин входящих в кратчайший путь, а также два массива для преобразования считанной матрицы в матрицу смежности  вершин графа. Далее с помощью алгоритма Дейкстра находим кратчайшее расстояние до каждой вершины и одновременно записываем в  массив $h\left [ n \right ]$ вершины, через которые проходит кратчайший путь. Затем выводим расстояние до вершины $f$ если путь к ней существует, иначе печатаем: «-1». Далее выводим кратчайший маршрут между вершинами $s$ и $f$.

# e-olimp 4856. Кратчайший путь

Задача e-olimp.com №4856. Ссылка на засчитанное решение.

Дан неориентированный взвешенный граф. Найти кратчайший путь между двумя данными вершинами.

Входные данные

Первая строка содержит натуральные числа $n$ и $m$ $\left(n\leq 2000, m\leq 50000 \right)$ — количество вершин и рёбер графа. Вторая строка содержит натуральные числа $s$ и $f$ $\left(1\leq s, f\leq n, s\neq f \right)$ — номера вершин, длину пути между которыми требуется найти. Следующие $m$ строк содержат по три числа $b_{i}$, $e_{i}$ и $w_{i}$- номера концов $i$-ого ребра и его вес соответственно $\left(1 \leq b_{i}, e_{i}\leq n, 0\leq w_{i}\leq 100000\right)$.

Выходные данные

Первая строка должна содержать одно число — длину минимального пути между вершинами $s$ и $f$. Во второй строке через пробел выведите вершины на кратчайшем пути из $s$ в $f$ в порядке обхода. Если путь из $s$ в $f$ не существует, выведите -1.

Код программы:

Для решения использовался алгоритм Дейкстры, подробнее в комментариях к коду.