e-olymp 1704. Умная черепашка

Условие задачи

Имеется клетчатое поле размером $m\times n$. В левом нижнем углу сидит черепашка. Она умеет ходить только вправо или вверх. Перед тем как добраться до правого верхнего угла её заинтересовал вопрос: сколько существует способов добраться из исходной точки до правого верхнего угла?

Черепашка хотя и умная, но сама считать так много пока не умеет. Помогите черепашке найти ответ на свой вопрос.

Входные данные

Два натуральных числа $m$ и $n$, не превышающие 30.

Выходные данные

Вывести количество способов, которыми черепашка сможет добраться из левого нижнего угла в правый верхний.

Тесты

Ввод Вывод
1 4 5 10
2 3 14 105
3 11 17 5311735
4 20 21 68923264410
5 30 30 30067266499541040

Код программы (циклы)

Решение

Для нахождения количества способов, которыми черепашка сможет добраться из левого нижнего угла в правый верхний, мы воспользуемся формулой из комбинаторики: $\frac{\left(n+m-2\right)!}{(n-1)!\times(m-1)!}$.  Для того, чтобы избежать больших чисел,  делим на наибольший множитель знаменателя (пусть это будет $\left(n-1\right)!$ ). Получаем: $ \frac{n\times(n+1)\times…\times(n+m-2)}{1\times2\times…\times(m-1)}$. Домножаем числитель, пока он не делится на очередной сомножитель знаменателя. Если делится, то делим и переходим к следующему сомножителю знаменателя.

 

Код программы (динамическое программирование)

Решение

Заполним треугольную матрицу ответами для всех возможных значений $m$ и $n$ . Логика заполнения такая — если поле выглядит как полоска клеток, черепахе идти можно будет только вправо. Значит в первой строке (как и в столбце) будут все элементы равные 1. Поскольку в каждой клетке есть два варианта движения (вправо или вверх), остальные элементы будут заполняться как сумма ранее найденных значений для клеток справа текущей и над ней. Для диагональных элементов оба соседних расположены симметрично (то есть они равны), поэтому диагональный элемент будет равен удвоенному соседу справа. Решение намного быстрее, если нужно пройти много тестов, но тратит память на запоминание всех ответов.

Ссылки (циклы)

Ссылки (динамическое программирование)

e-olymp 1289. Ланч

Задача

Влад хочет взять с собой для ланча пару фруктов. У него есть $a$ различных бананов, $b$ различных яблок и $c$ различных груш. Сколькими способами он может выбрать 2 разных фрукта из имеющихся у него?

Входные данные

В одной строке заданы три неотрицательных числа: $a$, $b$, $c$. Все числа не превышают [latex]10^6[/latex].

Входные данные

Вывести количество способов, которыми можно выбрать 2 фрукта разного вида.

 

Тесты

Вход Выход
2 3 4 26
6 2 4 44
0 4 8 32
1052 886 225 1368122
772 621 124 652144

Код программы

Решение

Пусть у нас $1$ банан и $b$ различных яблок. Мы можем взять $1$ банан  и одно яблоко $b$ способами. Так как бананов $a$, по одному яблоку и банану можем взять [latex](a \cdot b)[/latex] способами. Аналогично, так как груш $с$,  то есть [latex](a \cdot с)[/latex] способов взять по одному банану и одну грушу, и [latex](c \cdot b)[/latex] способов взять по одному яблоку и одну грушу. То есть всего [latex](a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) [/latex].

Ссылки

e-olymp

ideone

e-olymp 513. Проблема Николая

Задача

Николаю нужно доставить подарки для [latex]n[/latex] [latex](n ≤ 10^{18})[/latex] детей. Его интересует сколькими способами он может это сделать. Вам нужно дать ответ на этот простой вопрос. Так как это количество может быть очень большим, выведите результат по модулю [latex]m[/latex] [latex](m ≤ 2009)[/latex].

Входные данные

В одной строке заданы два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex].

Выходные данные

Вывести искомое количество способов.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]500[/latex] [latex]2001[/latex] [latex]0[/latex]
[latex]4[/latex] [latex]5[/latex] [latex]4[/latex]
[latex]4[/latex] [latex]7[/latex] [latex]3[/latex]
[latex]15[/latex] [latex]213[/latex] [latex]147[/latex]
[latex]10[/latex] [latex]3[/latex] [latex]0[/latex]

Код программы

Решение задачи

Если [latex]m[/latex] является членом произведения [latex]n![/latex], то остаток от деления на [latex]m[/latex] равен [latex]0[/latex].В остальных случаях ищем [latex]n![/latex] с вычислением остатка от деления после каждого перемножения.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com.

Код решения на ideone.com.