e-olymp 497. Лентяй

Задача

Студент Валера являет собой классический пример лентяя. На занятия он практически не ходит, и только в конце семестра появляется в университете и сдает ”хвосты”. Его заветная мечта: найти такой день, когда можно будет сдать сразу все долги. У него есть расписание работы преподавателей, из которого точно известно, с какого и по какой день месяца каждый преподаватель ежедневно будет доступен. Помогите Валере написать программу, которая по расписанию будет определять, сможет ли Валера сдать все долги за один день или нет.

Входные данные:
Первая строка содержит количество тестов. Каждый тест состоит из количество предметов $n$ $(1 \le n \le 100)$, которые нужно сдать Валере. Далее идет $n$ строк, каждая из которых состоит из двух чисел $a$ и $b$ $(1 \le a \le b \le 31)$, задающих интервал работы очередного преподавателя.

Выходные данные:
Для каждого теста вывести в отдельной строке "YES" если возможно встретить всех преподавателей за один день, или "NO", если это невозможно.

Тесты

Входные данные Вывод программы
2
1
1 2
2
1 2
3 4
YES
NO
1
1
5 6
YES
2
2
1 4
7 9
3
1 30
2 5
5 10
NO
YES

Continue reading

e-olymp 12. Поврежденная картина

Задача

Римская цифра [latex]I[/latex], стоявшая на полу комнаты в точке с координатами [latex]X_0[/latex], [latex]Y_0[/latex], [latex]0[/latex] не выдержала отношения к решению задачи «Римские цифры» и упала на пол. Поскольку нижний конец был прикреплен шарнирно, то он остался на месте, а верхний оказался в точке с координатами [latex]X_1[/latex], [latex]Y_1[/latex], [latex]0[/latex]. В комнате стояла строго вертикально бумажная картина. Зная координаты концов нижнего основания [latex]X_2[/latex], [latex]Y_2[/latex], [latex]0[/latex] и [latex]X_3[/latex], [latex]Y_3[/latex], [latex]0[/latex] и высоту картины [latex]H[/latex] найти длину «разрыва бумаги» на картине.

Входные данные

Во входной строке записано 9 чисел [latex]X_0, Y_0, X_1, Y_1, X_2, Y_2, X_3, Y_3, H[/latex]. Все входные данные — целые числа, модуль которых не превышает [latex]10^9[/latex].

Выходные данные

Программа выводит единственное число – искомую величину с точностью до [latex]0.001[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1 6 1 4 0 4 5 6 4.000
0 0 6 0 2 0 5 0 5 2.397
2 0 5 0 0 0 6 0 5 4.172
0 0 5 0 2 0 6 0 1 2.058
0 0 10 0 2 0 6 0 1 0.000

Решение задачи

Эта задача интересна тем, что для ее решения необходимо смоделировать большое количество разнообразных взаиморасположений картины и буквы. Далее  будут использоваться следующие обозначения: [latex]X_0[/latex]- основание буквы, [latex]X_1[/latex] — ее вершины, [latex]X_2[/latex] и [latex]X_3[/latex] — координаты основания картины, [latex]H[/latex] — высота картины.

1. [latex]X_0 X_1[/latex] и [latex]X_2 X_3[/latex] лежат на одной прямой

1.1. [latex]X_0[/latex] принадлежит [latex]X_2[/latex][latex]X_3[/latex]

1.1.1. [latex]X_1[/latex]принадлежит [latex]X_2[/latex][latex]X_3[/latex]

1.1.1.1 [latex]X_0[/latex][latex]X_1[/latex] не превышает [latex]H[/latex]

В таком случае искомая величина — дуга [latex]O X1[/latex], равная [latex]\frac{1}{4} [/latex] длины окружности с радиусом, равным высоте буквы: [latex]O[/latex][latex]X_1[/latex] = [latex]\frac{П\times X_0 X_1}{2} [/latex]

1.1.1.2 [latex]X_0[/latex][latex]X_1[/latex] больше, чем [latex]H[/latex]

в таком случае нам необходимо найти дугу [latex]NX_1[/latex],для этого умножив радиус на величину центрального угла: [latex]NX_1[/latex] =[latex]X_0 X_1 \times \arcsin \frac {H}{X_0 X_1}[/latex]

1.1.2 [latex]X_1[/latex] не принадлежит [latex]X_2 X_3[/latex]

1.1.2.1.[latex]X_2[/latex]  принадлежит [latex]X_0 X_1[/latex]

1.1.2.1.1. [latex]X_0 X_1[/latex] не превышает [latex]H[/latex]

В таком случае нам нужно найти дугу [latex]OM[/latex] по схожему с случаем 1.1.1.2 алгоритму: [latex]OM[/latex] = [latex]X_0 X_1 \times \arcsin \frac{X_0 X_3} {X_0 X_1} [/latex]

1.1.2.1.2. [latex]X_0[/latex][latex]X_1[/latex] больше [latex]H[/latex]

1.1.2.1.2.1. [latex]X_0 X_1 < \sqrt{X_0 X_2^2 + H^2} [/latex]

В таком случае искомая величина равна дуге [latex]MN[/latex]= [latex]X_0 X_1 \times  (\arcsin \frac{H}{X_0 X_1} — \arccos \frac{X_0 X_3}  {X_0 X_1}))

1.1.2.2. данный случай аналогичен предыдущему.Единственное различие заключается в том,что точки [latex]X_2[/latex] и [latex]X_3[/latex] меняются местами в формулах.

1.2 [latex]Х_0[/latex]  не принадлежит [latex]X_2[/latex][latex]X_3[/latex]

1.2.1 [latex]X_1[/latex]принадлежит [latex]X_2[/latex][latex]X_3[/latex]

введем новую переменную [latex]A[/latex], равную расстоянию от [latex]X_0[/latex] до картины.

1.2.1.1 [latex]X_0 X_1[/latex] меньше, чем [latex]\sqrt{A^2 + H^2}[/latex]

В данном случае нам нужно найти дугу [latex]M X_1[/latex] = [latex]X_0 X_1 \times \arccos \frac{A}{X_0 X_1}[/latex]

 

1.2.1.2 [latex]X_0[/latex][latex]X_1[/latex] не меньше, чем [latex]\sqrt{A^2 + H^2}[/latex]

в этом случае нам нужно найти дугу [latex]МХ_1[/latex]= [latex]X_0 X_1 \times \arcsin \frac{A}{X_0 X_1}[/latex]

1.2.2. обе вершины цифры не принадлежат картине

Обозначим через [latex]A[/latex] расстояние от [latex]X_0[/latex] до дальней вершины картины.

1.2.2.1. [latex]X_0 X_1 < \sqrt{A^2 + H^2} [/latex]

Искомая величина — дуга [latex]MN[/latex] = [latex]X_0 X_1\times  (\arcsin \frac{H}{X_0 X_1} —  \arccos \frac{A}{X_0 X_1})[/latex]

2. [latex]X_0 X_1[/latex] и [latex]X_2 X_3[/latex] не лежат на одной прямой

2.1. [latex]X_0 X_1[/latex] пересекает [latex]X_2 X_3[/latex]

В этом случае длина разрыва будет равна длине отрезка [latex]MN[/latex] либо высоте картины, если она окажется меньше вышеупомянутого отрезка.

 

Для того, чтобы не рассматривать случаи, в которых искомая величина равна нулю (все оставшиеся), при создании переменной, в которой будем хранить ответ, сразу приравняем ее к нулю.

Ссылки

Условие задачи на сайте e-olymp
Код решения

Ю2.7

Задача.

Треугольник и круги.

Лежит ли заданный  на плоскости треугольник АВС в области пересечения заданных кругов:

[latex](x-a1)^2+(y-b1)^2<r1^2[/latex] , и [latex](x-a2)^2+(y-b2)^2<r2^2[/latex]  ?

Ссылка на программу на С++: http://ideone.com/NYTAWN

Код программы на Java:

Ссылка на программу на Java:http: //ideone.com/QZ7RB1

Решение:

Поскольку все фигуры выпуклые достаточно проверить вершины треугольника. Подставляем координаты всех трёх вершин в оба неравенства. Если все условия удовлетворены, то лежит. Если хоть одно условие не выполняется, то не лежит.

Тест

a1 b1 r1 a2 b2 r2 ax bx cx ay by cy Принадлежит?
1 2 3 3 4 5 6 7 8 6 7 4 нет
1 2 15 3 4 12 6 7 8 6 7 4 да
7 5 10 4 6 16 6 7 3 5 6 7 да
7 5 5 4 6 3 6 7 3 5 6 7 нет

 

Ю 3.4

Задача: Прямоугольник на плоскости [latex]a \le x \le b, \quad c \le y \le d[/latex] задаётся четырьмя числами (его габаритами): [latex]a, b, c, d.[/latex] Последовательно вводятся габариты [latex]n[/latex] прямоугольников. В процессе ввода находить площадь их пересечения, не запоминая самих габаритов.

NI — «no intersection» — нет общего сегмента

[latex]a[/latex] [latex]b[/latex] [latex]c[/latex] [latex]d[/latex] [latex]S[/latex] Комментарий
1 -5 -3 1 4 NI Пройден: нет общего интервала
-2 0 1 4
2 0 4.5 1.2 4.6 NI Пройден: нет общего интервала
2 4 5 7.4
3 2 5 1 4 NI Пройден: общая сторона не считается пересечением, т.к. даёт нулевую площадь
5 6 1 4
4 2 4 2 4 4 Пройден
2 4 2 4
5 2 5 1 4 NI Пройден: не все данные прямоугольники имеют общий сегмент
0 3 2 3
6 7 3 5
6 0 7 0 3 1 Пройден
2 6 1 5
3 5 2 5
4 8 2 3

 

Алгоритм решения:
1. Для удобства, запрограммировать задачу можно, сведя её к одномерному случаю: рассматривать проекции сторон прямоугольников на координатные оси. (см. рис. 1)
2. Проверка на пересечение: данные прямоугольники пересекаются и имеют общую площадь, если их проекции имеют общий интервал значений, больший одной точки.
3. Так как запоминать габариты прямоугольников нельзя по условию, работать будем с габаритами «общего» прямоугольника, которые сохраняются соотв. в переменные [latex]x1 \le x2, y1 \le y2[/latex]. Если новый прямоугольник пересекается с «общим», то определить обновленные габариты общего прямоугольника и рассчитать площадь(см. рис. 2). Если не пересекается, то выполнение программы прерывается, т.к. нужно вывести площадь прямоугольника, общего для всех [latex]n[/latex] прямоугольников.

Значения переменных в условии задачи не ограничены, так что для хранения габаритов был использован тип double, для всех порядковых переменных — тип int.

Протестировать решение можно по ссылке.