Ю11.3

Задача. Метод Эйткена-Стеффенсона (развитие метода простой итерации). Найти решение уравнения [latex]x=\varphi(x)[/latex] методом Эйткена-Стеффенсона, в котором от заданного начального [latex]x_{0}[/latex] три очередных приближения находятся по формулам: [latex]x_{n+1}=\varphi (x_{n})[/latex]; [latex]x_{n+2}=\varphi (x_{n+1})[/latex]; [latex]x_{n+3}=\frac{x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}{x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}}[/latex]. Процесс продолжается до достижения одного из условий: [latex]\left | x_{n+3}-x_{n+2} \right |<\varepsilon[/latex] или [latex]x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}=0[/latex].

Решение. В начале мы задаем начальное приближение  [latex]x=x_{0}[/latex] и [latex]\varepsilon[/latex]. Нам понадобится цикл с постусловием. Далее вычисляем первое приближение [latex]x_{1}=\varphi (x_{0})[/latex] и второе приближение [latex]x_{2}=\varphi (x_{1})[/latex]. Находим по формуле [latex]x=\frac{x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}{x_{0}-2x_{1}+x_{2}}[/latex]. Далее мы проверяем выполнение условия выхода из цикла: если [latex]\left | x-x_{0} \right |>\varepsilon[/latex] (нужно проверять разность [latex]\left | x-x_{0} \right |>\varepsilon[/latex], а не [latex]\left | x-x_{2} \right |>\varepsilon[/latex]) и [latex]x_{0}-2x_{1}+x_{2}\neq 0[/latex] тогда цикл продолжается, но если хотя бы одно из условий выполнено, то мы получаем, что [latex]x[/latex] — решение уравнения [latex]x=\varphi(x)[/latex].

Данная программа написана для функции [latex]9.2x^{3}+3.3x^{2}+4x-1[/latex].

Тесты:

x [latex]\varepsilon[/latex] Корень уравнения Комментарий
2 0.005 1.99889 Пройден
1 0.00002 0.233905 Пройден
-4 0.0005 -3.99981 Пройден

Код программы:

Код программы можно проверить здесь.

Решение на Java:

Ссылка на решение.

Янішевська Альона Русланівна
Янішевська Альона Русланівна

Latest posts by Янішевська Альона Русланівна (see all)

6 thoughts on “Ю11.3

  1. Как Вы думаете зачем указано условие продолжения «или x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}=0.»? Т.е. в Ваших обозначениях это d!=0. Дело в том, что при вычислении x_{n+3}=\frac{x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}{x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}} происходит деление на это выражение, и чтобы избежать деления на ноль, процесс мы заканчиваем (ответом видимо будет x_{n+2}). А Вы таки делите на 0, заканчиваете вычисления и ответом предоставляете результат деления на 0 — плохо.

    Кроме того первое из условий продолжения \left | x_{n+3}-x_{n+2} \right |< \varepsilon, а не \left | x_{n+3}-x_{n} \right |<\varepsilon - т.е. в Вашем случае мне непонятно почему Вы пишете "(нужно проверять разность \left | x-x_{0} \right |>\varepsilon, а не \left | x-x_{2} \right |>\varepsilon)» — хотя вполне возможно правы Вы, а не Юркин — попробовал найти информацию в Интернет, ее мало и она скорее с форумов и методичек в основном. Если Вы действительно правы, а не Юркин сошлитесь на авторитетный источник — откуда Вы взяли эту информацию.

    А где результаты выполнения программы? Т.е. таблица тестов? Ее нет вообще… на ideone непоказательный тест (с большим eps).

  2. Все конечно хорошо, но уравнение 9.2*x*x*x+3.3*x*x+4*x-1 = x имеет один действительный корень 0.233905, который Вы и нашли. Видимо, при x=2 и x=4 не выполняются условия применимости метода — желательно указать в отчете.

    Засчитано, 8 баллов (октябрьское задание).

Добавить комментарий