A1029

Задача о восьми мирных ладьях

Задача о восьми мирных ладьях

Условие

Получить все расстановки   [latex]8[/latex]   ладей на шахматной доске, при которых ни одна ладья не угрожает другой.


Решение

Для начала, выясним, а сколько существует таких расстановок, при условии, что рассматривается стандартная шахматная доска   [latex]8 \times 8[/latex].

Ладья находится под боем, если другая ладья находится с ней на одной строке или в одном столбце. Следовательно, фиксируя, скажем, столбцы, можно разместить ладьи по строкам таким образом, чтобы ни одна пара не находилась под боем.

Заведем массив на восемь элементов и занумеруем его таким образом, чтобы значение   [latex]j[/latex]   по индексу   [latex]i[/latex]   соответствовало строке [  [latex]j[/latex],   в которой находится ладья в   [latex]i[/latex]-м столбце.

Теперь легко видеть, что положение на доске определяется перестановкой чисел   [latex]1,..,8[/latex].   Как известно, число различных перестановок длины [latex]n[/latex]   —   [latex]P_{n}=n![/latex]. Следовательно, всего существует   [latex]8!=40320[/latex]   различных расстановок ладей.

Реализация
ideone: http://ideone.com/tBySY4
Легенда: R — Rook — ладья


Детали реализации

Для получения перестановок использована функция стандартной библиотеки [latex]next\_permutation()[/latex]

В силу большого объёма выходного файла (5.5 мб) он доступен отдельно, по ссылке: https://www.dropbox.com/s/yyaz7vq08jczsnl/out?dl=0

А719б

Условие

Симметричные квадратные матрицы [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] порядка [latex]n[/latex] заданы последовательностями из [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex] чисел аналогично правым треугольным матрицам. Получить в аналогичном виде матрицу [latex]A^{2}-B^{2}[/latex].


Решение

Безусловно, по входным данным можно восстановить матрицы, тривиальным образом их перемножить и вывести результат в заданном виде. Как пример плохого стиля программирования: наивный алгоритм приводит к почти двукратному перерасходу потребляемой памяти и существенно уступает в производительности. Существует другое решение, прийти к которому можно путем последовательного приспособления стандартных матричных операций к формату входных данных.

Наибольшую сложность, как вычислительную, так и идейную, представляет умножение матриц, в данном случае — возведение в квадрат. Нижеприведенная последовательность шагов позволит перемножать симметричные матрицы, используя их линейное представление в формате исходных данных.


Замечание 1

Подпространство симметричных матриц незамкнуто относительно умножения: произведением двух симметричных матриц может быть несимметричная матрица.

Пример

[latex] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 13 & 9 \\ 4 & 31 & 22 \\ 12 & 20 & 15 \end{array} \right)[/latex]


Замечание 2

Степень симметрической матрицы также является симметрической матрицей. Доказательство основано на представлении матрицы как представления линейного оператора и на свойствах эрмитовых операторов.


Во всех дальнейших выкладках подразумевается, что матрица представлена линейным массивом из [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex] элементов.

Для начала, заметим, что элемент [latex]c_{i,j}[/latex] матрицы [latex]C=A^{2}[/latex], равен скалярному произведению (как векторов в стандартном базисе) [latex]i[/latex]-ой строки матрицы [latex]A[/latex] на [latex]j[/latex]-ую её строку (в силу того, что в симметричной матрице [latex]j[/latex]-ая строка совпадает с [latex]j[/latex]-м столбцом). Следовательно, для возведения в степень симметричной матрицы необходимо и достаточно реализовать операцию скалярного перемножения двух её строк.

Тогда следует понять, как по данному представлению матрицы получить её [latex]i[/latex]-ую строку. Для удобства, выпишем имеющиеся элементы в виде полной матрицы. Заметим, что первым элементом [latex]i[/latex]-ой строки будет [latex]i[/latex]-ый элемент первой строки, и обобщим это наблюдение. Обозначим позицию текущего интересующего нас элемента [latex]i[/latex]-ой строки как [latex]j[/latex]. Если [latex]j < i[/latex], то следует выбрать [latex]i[/latex]-ый элемент [latex]j[/latex]-ой строки, иначе следует выбрать все элементы [latex]j[/latex]-ой строки, лежащие правее данного. Графически можно интерпретировать алгоритм таким образом: начиная с [latex]i[/latex]-го элемента первой строки, спускаться вертикально вниз по матрице до тех пор, пока не будет достигнута [latex]i[/latex]-ая строка, далее — двигаться вправо до конца строки. Наглядность алгоритма позволяет легко воплотить его программно.
Следует только пронаблюдать, как изменяются расстояния между элементами, лежащими один под другим, при движении вниз по строкам матрицы, что позволит легко перенести алгоритм на линейное представление верхней треугольной матрицы. Предлагаем читателю самому проделать это несложное, но наглядное упражнение, для лучшего понимания алгоритма.

Теперь можно перейти непосредственно к реализации.


Тесты

[latex]n[/latex] [latex]A[/latex] [latex]B[/latex] [latex]A^{2}-B^{2}[/latex]
2 1 2 5 7 4 8 -60 -48 -51
4 1 7 3 -2 3 1 9 2 8 11 4 5 11 -3 4 -7 22 1 4 0 -108 116 -8 -79 -434 -10 75 -109 290 -239

Реализация

ideone: http://ideone.com/Dyte8l


Тесты

Детали реализации

Задачи раздела носят обучающий характер, так что при реализации были произведены определенные обобщения, что делает решение более универсальным.

  • Формулировка задачи не оговаривает тип элементов матрицы, так что класс [latex]symmetric\_matrix[/latex] является шаблоном, пригодным для типов данных, поддерживающих операции сложения, вычитания и умножения (соответствующие операторы определены внутри класса).
  • Алгоритм бинарного возведения матрицы в степень полезен при решении более широкого круга задач, в связи с чем также реализован. При необходимости, программа легко обобщается на большие степени матрицы.
  • Предусмотрены три типа конструкторов: конструктор по умолчанию и два параметрических конструктора, один из которых позволяет заполнить матрицу некоторым наперед заданным значением.
  • Для удобства работы с заданным представлением данных, добавлен синтаксический сахар: перегружен оператор [latex][][/latex], осуществляющий доступ к заданному элементу матрицы в линейном её представлении.

e-olimp 4650. Граф-Турнир

Граф-турнир.

Постановка задачи

Построить на n вершинах турнир, расстояние между любой парой вершин в котором не превышает двух рёбер.

Алгоритм решения

Условию удовлетворяет любая тройка вершин, принадлежащих циклу длины три, следовательно, искомый граф сильно связен. Уместно взять за основу полный неориентированный граф [latex]K_n[/latex] (не ограничивая общности рассуждений, будем представлять граф на плоскости как правильный [latex]n[/latex]-угольник) и задать на нём ориентацию рёбер согласно набору правил:

  1. Контур графа (рёбра вида [latex](k, k+1)[/latex]) ориентирован по часовой стрелке.
  2. В дальнейших построениях будем отталкиваться от контура: каждая вершина графа должна находиться в хотя бы в одном цикле длины три с данной. Опишем процедуру построения такого орграфа: начиная с вершины под номером 1 будем просматривать все остальные вершины. Если на некотором шаге ребро, связывающее вершины, не ориентировано, то ориентируем его образом, противоположным ориентации ребра, соединяющего текущую вершину-исток и предыдущую по номеру вершину в обходе. Более конструктивно процедура формулируется так: обойти все вершины в порядке их следования в контуре. Пусть номер стартовой вершины для исходной итерации — [latex]V_{i}[/latex], рассматриваемой на данном шаге — [latex]V_{k}[/latex] Если ребро [latex]\left(V_{i}, V_{k}\right)[/latex] не ориентировано, и номера обеих вершин (не)чётны — задать ориентацию [latex]\left[V_{i}, V_{k}\right][/latex], иначе — [latex]\left[V_{k}, V_{i}\right][/latex].

КонтурЦиклИсключение
Исключение — граф [latex]K_4[/latex]: степень каждой вершины равна трём, следовательно, одно ребро каждой вершины не принадлежит контуру. Но таких рёбер всего два, следовательно, невозможно задать чередование ориентаций рёбер и получить четыре цикла длины 3. Для всех графов на большем числе вершин построение всегда возможно.

Реализация

ideone: http://ideone.com/XwY7fX
Засчитанное решение: http://codeforces.ru/contest/323/submission/10850799
Для решения задачи достаточно хранить граф в форме матрицы смежности.

ideone: http://ideone.com/eBcMcY

I. Новорічні іграшки

Задача с SEERC 2015, [latex]\frac {1}{8}[/latex] финала.

Формулировка

«У кожного свята є один недолік – рано чи пізно, але воно закінчується. Ось і новорічні свята завершились і малому Дмитрику необхідно скласти іграшки у коробки. Частину іграшок він склав у одну коробку, а частину у іншу. Старший брат Дмитрика Петрик навчається в математичному класі. І його цікавить чи можна перекласти всі іграшки у одну з коробок (кожна коробка вміщує усі іграшки), якщо з одної коробки у іншу можна перекладати стільки іграшок, скільки у іншій коробці.

Вхідні дані:
Два числа N і M — кількість іграшок у першій та другій коробці (1 ≤ N, М ≤ 2000000000).
Вихідні дані:
Bиведіть 1 – якщо можна перекласти іграшки у одну коробку, або 0 – якщо такої можливості немає.»

Алгоритм

  1. Ограничение на входные данные.
    Предположим, что при некоторых [latex]N[/latex], [latex]M[/latex] ответ положительный. Пусть [latex]c = N + M[/latex].
    Будем выстраивать последовательность шагов от конца к началу. Стартовая позиция — [latex]\left(c \quad 0 \right)[/latex](подарков в коробках). Очевидно, что прийти в неё можно только из [latex]\left( \frac {c}{2} \quad \frac {c}{2} \right)[/latex]. Определим вид предыдущей позиции: [latex]\begin{cases} a+b=c, \\ a-b=\frac { c }{ 2 } ; \end{cases}\sim \begin{cases} 2a=c+\frac { c }{ 4 } , \\ b=a-\frac { c }{ 2 } ; \end{cases}\sim \begin{cases} a=\frac { 3c }{ 4 } , \\ b=\frac { c }{ 4 } ; \end{cases}[/latex]. Принципиально важно, что показатель знаменателя на каждом шаге монотонно возрастает. В силу конечности [latex]c[/latex], процесс конечен. Меньший член пары имеет общий вид [latex]\frac {c}{2^{n}}[/latex], следовательно, [latex]c = N + M = 2k[/latex] (здесь и далее предполагается, что все переменные — некоторые натуральные числа).
    Заметим, что постоянный множитель [latex]k[/latex] не влияет на сходимость. Следовательно, на него можно сократить и суммы [latex]N + M[/latex]. Максимальный из таких [latex]k[/latex] будет [latex]gcd \left(N, M \right)[/latex].
    Полученный результат позволяет сформулировать необходимое условие: если решение есть, то сумма чисел [latex]N[/latex] и [latex]M[/latex] равна некоторой степени двойки с точностью до НОД([latex]N, M[/latex]).
    цепочка
  2. Достаточно условие сходимости.
    Пусть [latex]N, M[/latex] — некоторые числа, удовлетворяющие необходимому условию. Тогда [latex]\exists n: N=2^{ n }-M[/latex].
    Рассмотрим следующий шаг, предполагая, что [latex]N \ge M[/latex]: [latex]\left(2N \quad 2^{n}-2N\right) \sim \left(N \quad 2^{n-1}-N \right)[/latex]) — задачу удалось свести к подзадаче. Повторяя аналогичную процедуру, на [latex]n[/latex]-м шаге придём в позицию, эквивалентную [latex]\left(1 \quad 2^{0}-1 \right) \sim \left(1 \quad 0 \right)[/latex], т.е. последнему шагу. Следовательно, для любого набора данных, удовлетворяющих необходимому условию, решение существует. Следовательно, условие является необходимым и достаточным, с поправкой на тривиальный случай [latex]N = M[/latex].

Реализация

ideone: http://ideone.com/OxWVLi

ideone: http://ideone.com/Xnupjz

Детали реализации

Задачи тура подразумевали лаконичные реализации решений. Использование битовых операций позволяет легко ответить на вопрос, является ли сумма чисел некоторой степенью двойки, а также вычислить НОД двух чисел методом приведения в смятение, для чего используется, на мой взгляд, весьма красивое наблюдение о свойствах функции XOR.

e-olimp 4475. Часы

4475. Часы

Постановка задачи

Ученые разработали часы, которые могут налаживаться для отсчета времени на любой планете. Они состоят из шариков, лотка (очереди) и трех чаш: секундной, минутной и часовой. В каждый момент времени количество шариков в чашах показывает время (секунды, минуты и часы соответственно). Каждую секунду первый шарик из очереди попадает в секундную чашу. Если секундная чаша наполнилась (количество шариков равно количеству секунд в минуте на этой планете), то этот шарик переходит в минутную чашу, а остальные шарики переходят из секундной чаши в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в секундную чашу. Аналогично, при наполнении минутной чаши последний шарик переходит в часовую чашу, а остальные шарики из минутной чаши переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в минутную чашу. Если заполняется часовая чаша, то все шарики из нее переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в часовую чашу. Все шарики пронумерованы и в начальный момент времени находятся в очереди.

Написать программу, вычисляющую минимальное количество суток, необходимых для того, чтобы начальное положение шариков в очереди повторилось.

Во входном потоке содержится количество секунд в минуте [latex]S[/latex], минут в часе [latex]M[/latex], часов в сутках [latex]H[/latex] и число шариков [latex]K[/latex].

Алгоритм решения

  1. Интуитивно понятно, что положение шариков в очереди ежесуточно изменяется по одному и тому же закону, в силу однообразия процесса. Отыскать конкретный вид перестановки можно прямым моделированием часов, используя дек для описания лотка и стеки — каждой из чаш (у очереди задействованы оба конца, у чаш — только один).
  2. Определить порядок суточной перестановки можно и возведением её в степень, но это нерациональный способ. Используя теорему о разложении перестановки в композицию циклов (к слову, непересекающихся), можно заметить, что порядок каждого из циклов равен его длине. Если мысленно представить перестановку в виде ориентированного графа, то процесс поиска циклов сведётся к поиску в глубину: обойти каждую компоненту связности, зафиксировать число входящих в неё вершин (на илл.)
  3. Зная длины всех циклов, нетрудно заметить, что задача сводится к поиску НОК полученной последовательности длин. Обосновать такой переход можно индуктивно: порядок перестановки, представимой в виде композиции двух циклов, равен НОК их длин, а случай большего количества циклов в разложении сводится к рассмотренному последовательным рассмотрением пар циклов (результат не зависит от порядка рассмотрения в силу ассоциативности композиции).

Реализация:

ideone: http://ideone.com/nz2JlG
Засчитанное решение: http://www.e-olimp.com/solutions/1937971

Примечания

  • Экспериментально выяснено, что только тип long double является достаточно вместительным для избежания переполнения.
  • Операция взятия остатка для чисел с плавающей точкой не определена аппаратно, так что алгоритм Евклида вычисления НОД реализован в соответствии с его математическим описанием.
  • Модификатор fixed используется для предотвращения вывода чисел в научном формате (с использованием степеней десятки).

e-olimp 2510. Сортировка очередями

e-olimp 2510. Сортировка очередями

Постановка задачи

Рассматривается специальное устройство, содержащее входной поток, выходной поток и k очередей, пронумерованных числами от [latex]1[/latex] до [latex]k[/latex].

По заданной последовательности различных чисел, которую требуется отсортировать, составить программу для этого устройства, которая будет выводить в выходной поток те же числа, что поступили во входной поток, но упорядоченные по возрастанию.

Программа должна содержать ровно [latex]2n[/latex] операций, каждая из которых либо читает число из входного потока и добавляет его в одну из очередей, либо извлекает число из одной из очередей и выводит его в выходной поток.

Алгоритм решения

  • Естественная идея: поддерживать линейный порядок в каждой из очередей. Для этого следует совершать обход массива очередей сортировочной машины от первой к последней, пока не будет найдена очередь, последний элемент которой не больше данного, либо отсутствует вовсе.
  • Если на одном из шагов подходящей очереди не нашлось, то на таких входных данных задача неразрешима.
  • При выводе следует выбирать очередь, содержающую текущий минимальный доступный элемент, поддерживая линейный порядок в новом массиве.

Реализация:

Ideone: http://ideone.com/X37iWg
Засчитанное решение: http://www.e-olimp.com/solutions/1935453

Детали реализации:

В коде программы активно используется библиотека [latex]algorithm[/latex] и анонимные функции,
объявленные по месту использования (внутри соответствующих методов), что позволяет минимизировать число лишних сущностей
и сделать реализацию более декларативной.

  1. find_if() — найти первый элемент участка контейнера, удовлетворяющий логическому условию. Принимает итераторы
    на левую и правую границу интересующего участка, а также унарное логическое условие. Возвращает итератор на интересующий
    элемент или итератор на область за пределами участка, если условие не выполнилось ни разу.
  2. min_element() — найти минимальный элемент на заданном участке контейнера. Принимает итераторы на левую и правую
    границу интересующего участка и двухместный предикат, задающий отношение порядка. Возвращает итератор на интересующий
    элемент или за на область за пределами участка, если условие не выполнилось ни разу (пустой контейнер, некорректный порядок).